2019高考数学二轮复习 专题四 第七讲 等差数列与等比数列课件 文.ppt

第七讲等差数列与等比数列,总纲目录,考点一等差、等比数列的基本运算,1.等差数列的通项公式及前n项和公式an=a1+(n-1)d;Sn=na1+d.,2.等比数列的通项公式及前n项和公式an=a1qn-1(q0);Sn=,1.(2018课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12,答案B本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=-10,故选B.,2.(2018课标全国,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.,方法归纳等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,d(或q),n,an与Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中a1和d(或q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.提醒注意等差数列中公差d=0的情况和等比数列中公比q=1的情况.,1.(2018湖南湘东五校联考)已知在等比数列an中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或,答案C当q=1时,an=7,S3=21,符合题意;当q1时,得q=-.综上,q的值是1或-,选C.,2.(2018湖北武汉调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3.(1)若a3+b3=7,求bn的通项公式;(2)若T3=13,求Sn.,解析(1)设an的公差为d,bn的公比为q(q0),则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=3,得d+q=4,由a3+b3=7,得2d+q2=8,联立和解得q=0(舍去)或q=2,因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)T3=b1(1+q+q2),1+q+q2=13,解得q=3或q=-4,或Sn=na1+n(n-1)d=n2-n或4n2-5n.,考点二等差、等比数列的性质,1.等差数列的性质(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;(2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差数列;(3)am-an=(m-n)dd=(m,nN*,且mn);(4)=(A2n-1,B2n-1分别为an,bn的前2n-1项的和).,2.等比数列的性质(1)若m,n,r,sN*,且m+n=r+s,则aman=aras;(2)an=amqn-m;(3)当an的公比q-1(或q=-1且m为奇数)时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等比数列.,命题角度一:等差(比)数列项的性质,1.(2018广东惠州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2+a3+a4=15,a7=13,则S5=()A.28B.25C.20D.18,答案B通解:设等差数列an的公差为d,由已知得解得所以S5=5a1+d=51+2=25,故选B.优解:由an是等差数列,可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5=25,故选B.,2.(2018河南洛阳第一次统考)已知数列an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10的值为()A.7B.-5C.5D.-7,答案D在等比数列an中,a5a6=-8,a4a7=-8,又a4+a7=2,解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.若a4=4,a7=-2,则q3=-,a1=-8,a10=a7q3=1,a1+a10=-7;若a4=-2,a7=4,则q3=-2,a1=1,a10=a7q3=-8,a1+a10=-7.综上可得,a1+a10=-7.,命题角度二:等差(比)数列和的性质,1.一个等差数列an的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为,则公差d等于()A.5B.6C.10D.12,答案A由题意可知解得又由等差数列的性质,可得S偶-S奇=6d,即192-162=6d,解得d=5.故选A.,2.设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则等于()A.2B.C.D.3,答案B由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,由=3可得,S6=3S3,S9-S6=2(S6-S3)=4S3,即S9=7S3,所以=.故选B.,方法归纳等差、等比数列性质应用问题求解策略(1)等差数列an的前n项和Sn=n(n为奇数)是常用的转化方法.(2)熟练运用等差、等比数列的性质,如m+n=p+q时,若an为等差数列,则am+an=ap+aq;若an为等比数列,则有aman=apaq,可减少运算过程,提高解题效率.,(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.,命题角度三:等差数列前n项和的最值问题,解析(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2,所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法归纳等差数列an的前n项和公式Sn=na1+d的变形为Sn=n2+n.(1)当d0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n,Sn)是抛物线y=x2+x上一系列孤立的点.当d0时,Sn有最小值;当d0),a1a6=2a3,而a1a6=a3a4,a3a4=2a3,a4=2.又a4+2a6=3,a6=,q=,a1=16,S5=31.故选D.,2.(2018吉林长春监测)在等差数列an中,已知a6+a11=0,且公差d0,则其前n项和取最小值时n的值为()A.6B.7C.8D.9,答案C由题意知a60,且a1+5d+a1+10d=0,所以a1=-d,又Sn=na1+d=(n-8)2-64,所以当n=8时,数列an的前n项和取得最小值.故选C.,3.(2018重庆调研)在各项均为正数的等比数列an中,若a5=5,则log5a1+log5a2+log5a9=.,答案9,解析因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以由等比数列的性质可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=52,则log5a1+log5a2+log5a9=log5(a1a2a9)=log5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log5=log559=9.,考点三等差、等比数列的判断与证明,命题角度一:等差数列的判定与证明,(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析(1)设an的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,命题角度二:等比数列的判定与证明(2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.,方法归纳判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题(1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前n项和公式法,但不作为证明方法.(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列.(3)=an-1an+1(n2,nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.提醒(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明,其他方法最后都会回到定义,如证明等,差数列可以证明通项公式是n的一次函数,但最后还得使用定义才能说明其为等差数列.(2)证明数列an为等比数列时,不能仅仅证明an+1=qan,还要说明q0,才能递推得出数列中的各项均不为零,最后