八年级(上)培优专题一： 角的平分线.doc

八年级（上）培优专题一： 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图20，12，AEOB于E，BDOA于D，交点为C 求证：AC=BC 说明：本题若用全等方法证明点C到OA、OB距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法例7 已知：如图21，ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例11 如图26，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等练习：1如图27，在ABC中，B=90，AD为BAC的平分线，DFAC于F，DE=DC求证：BE=CF 2已知：如图28，AD是ABC的中线，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求证：（1）AD是BAC的平分线；（2）AB=AC 3在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ 4如图30，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 5如图31，E为ABC的A的平分线AD上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 6如图32，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求证：A+C=1807如图33所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C求证：AD+BC=AB 8已知，如图34，ABC中，ABC=90，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE 9ABC中，AB=AC，A=100，BD是B的平分线求证：AD+BD=BC 10如图36，B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）A9 B8 C7 D6 11如图37，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于