《直线的倾斜角与斜率》导学案

1 / 11 直线的倾斜角与斜率导学案 直线的倾斜角与斜率导学案 一、教学内容分析 “ 直线的倾斜角和斜率 ” 一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法 坐标法。 本课时涉及到两个概念 倾斜角和斜率 ,它们都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从 “ 形 ”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从 “ 数 ” 的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点 的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 2 / 11 1.理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为 “ 参照系 ” ，用统一的标准刻画几 何元素的思想方法。 2.理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中， “ 两点确定一条直线 ” 是没有 “ 参照系 ”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知 “ 两个点可以确定直线的方向 ” ，这与 “ 一个点和直线 的方向确定一条直线 ” 是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点为： 3 / 11 直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识 倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法 斜率概念本质的认识。 四、教学过程设计 （一）引言 在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现在我们采用另一种研究方法 坐标法来研究几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。 解析几何是 17 世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。 本章我们研究的是直线与方程 ,这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进行，是借助于 “ 形 ” 研究“ 数 ” 的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于 “ 数 ” 研究 “ 形 ” 的问题，也就是用 “ 坐标法 ” 进行研究。本课时我们将研究最基础的知识 直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。 4 / 11 设计意图 ：使学生了解新内容特点和研究方法，发挥先行组织者的作用，揭示本课时的研究方法。 （二）形成倾斜角的定义 问题：请你在平面直角坐标系 中画出两条直线，说出他们的不同之处。 （ 1）（ 2） 预设的答案 : 图 (1)中的两条直线都经过点 P,但 “ 倾斜程度 ” 不同。 图 (2)中的两条直线 “ 倾斜程度 ” 相同，但没有公共点。 辅助问题 1：直线的倾斜程度是以什么为参照的？ 教师引导形成统一的认识 :以 x轴或 y轴为基准都可以，习惯上以 x 轴为基准。 辅助问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？ 预设的答案 : （ 1）两点确定一条直线； （ 2）一点及直线相对于 x 轴的 “ 倾斜程度 ” 。 5 / 11 辅助问题 3：两直线相交可以形成 4 个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？ 教师引导形成统一的认识 :用图中的 1 。这个角就叫做直线的倾斜角。 设计意图 ：从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法。 问题：在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相对x 轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。 ( )(2)(3)(4) 设计意图 ：在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过给各种类型的直线标注倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。 学生活动：标出各条直线的倾斜角，并用自己的语言描述倾斜角的特征。 预设的结果： （ 1）标出各条直线的倾斜角（略）； （ 2）形成倾斜角的定义： 6 / 11 倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为 0。 问题 3：根据定义，倾斜角 的取值范围是什么呢 ? 答案： 0180。 （三）形成斜率的定义 问题 4：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。 设计意图 ：利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。 预设的回答：可以用坡角与坡度来表示。坡度的定义是： 教师引导：我 们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。 斜率的定义：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即。 问题 5：（ 1）完成下面的表格 1，并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。 表 1 7 / 11 30o 45o 60o 120o 135o 150o k=tan （ 2）根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在 0，180）内变化时，斜率 k 如何变化？并填写 表 2。 表 2 的取值范围 0o90o =90o 8 / 11 90o180o k 的取值范围 k 关于的单调性 设计意图 ：初步体验斜率与倾斜程度的关系，并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系。 活动方式：学生独立完成，并交流认识斜率的意义，及倾斜角与斜率的关系。 预设的结论：倾斜角 是 90o 的直线没有斜率；倾斜角 不是 90o 的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于 0 的直线的倾斜角 为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于 0 的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。 9 / 11 （四）探究斜率公式，初步体会坐标法 问题 6：已知直线将过两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），试用点 P1、 P2的坐标表示直线的斜率 k？ 设计意图 ：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。 学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分 组合作，分别求解。通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。 思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。 解决过程：（略）。 交流完善：辅助问题： 1.各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、 P2 这两点坐标顺序有关系吗？为什么？ 2.当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论还适用吗？ 形成结论： 斜率公式：经过两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）（ x1x2）的直 线的斜率公式是：。 10 / 11 （五）初步应用，巩固双基 例 1.如图，已知 A(3， 2),B(-4， 1),c（ 0， -1） ,求直线 AB， Bc， cA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 设计意图 ：巩固本课时所学的基本知识。 解：（略）。 例 2.在平面直角坐标系中，画出经过点（ -1， 2）且斜率分别为 1， -1，和 2 的直线。 设计意图 ：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想 。 （六）反思小结，提高认识 问题 7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？ 预设的回答： 1明确了确定直线位置的几何要素。（两种） 2理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。 3经历了用代数方法刻画斜率的过程 ,感受了数形结合11 / 11 与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。 七、目标检测