微分方程数值解法戴嘉尊第二版习题讲解.pdf

成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 微分方程数值解 习题解答 杨韧 吴世良(编) 杨韧 吴世良(编) 成都信息工程学院 数学学院 成都信息工程学院 数学学院 二 O 一 O 年四月编写 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 目 录目 录 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解.3 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法.8 第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法.16 第四章第四章 双曲型方程的差分方法双曲型方程的差分方法.25 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 第一章第一章 常微分方程数值解常微分方程数值解 1解: 由欧拉公式得 22 22 0.11 1 11 (,)(2)0.2 nn nnnnnnnn xx yyhf xyyhyyy + + =+=+=+ 由梯形公式得 22 1 22 1 1 112 22 111 12 11 22 111 12 11 (,)(,) (2)(2) () nn nn nnnnnn nn xx nnn xx yyh f xyf xy yhyy yhyhyh + + + + + + + 1 n + =+ =+ =+ 22 1 22 111 112 11 () nn nnnn xx hyyyhyh + + + +=+ 22 1 2 111 2 11 1 114 () 2 nn nn xx n h yhyh y h + + + + = 欧拉公式计算结果 n x n y () n y x () nn y xy 0 0 0 0 0.1 0.1000 0.0990 0.0010 0.2 0.1970 0.1923 0.0047 0.3 0.2854 0.2752 0.0102 0.4 0.3609 0.3448 0.0160 0.5 0.4210 0.4000 0.0210 0.6 0.4656 0.4412 0.0244 0.7 0.4957 0.4698 0.0259 0.8 0.5137 0.4878 0.0259 0.9 0.5219 0.4972 0.0247 1 0.5227 0.5000 0.0227 梯形公式计算结果 n x n y () n y x () nn y xy 0 0 0 0 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 0.1 0.0985 0.0990 0.4758*1.0e-3 0.2 0.1915 0.1923 0.8291*1.0e-3 0.3 0.2742 0.2752 0.9894*1.0e-3 0.4 0.3439 0.3448 0.9580*1.0e-3 0.5 0.3992 0.4000 0.7886*1.0e-3 0.6 0.4406 0.4412 0.5523*1.0e-3 0.7 0.4695 0.4698 0.3097*1.0e-3 0.8 0.4877 0.4878 0.0988*1.0e-3 0.9 0.4973 0.4972 0.0640*1.0e-3 1 0.5002 0.5000 0.1773*1.0e-3 2解：解：显然，是原初值问题的准确解。 x ey = 由梯形公式得 11 1 (,)(,) 2 () 2 nnnnnn nnn h yyf xyf xy h yyy + + =+ =+ 1+ 整理可得: 1 2 2 nn h yy h + = + 于是： 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ) )2 2 ( + + + = + = + = + = nn nnn h h y h h y h h y h h y? 亦即： n n h h y + = 2 2 因为0 xnhnh=+=， x n h =，令 h h t + = 2 2 ， 2 111 = th 有 22 2 1(1)(1)(1 2 x xxx ) x h tt n h ytt h t =+=+ + 从而 2 000 limlim(1)lim(1) xx x t n htt ytt e =+= 同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解. 3解: 局部截断误差: 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 1 1 1 1 1 111 11 11 11 1 111 () ()( , ( )()(, () ( , ( )(, () ( , ( )(, () ( )() ()() n n n n n n n n n n nnn x nnnn x x nn x x nn x x n x x nnn x Ry xy y xf x y x dxy xhf xy x f x y x dxhf xy x f x y xf xy xdx y xy xdx y xxxxxdx + + + + + + + + + + + = =+ = = = =+ 1 1111 2 11 (01) lagrange ()()() () n n x nnnnn x nn y xxxxxdxxxx h y xxx + + 1 +2 () =+ 精品课程微分方程数值解 1 1 1 1122 2222 22 2222 ()( , ( )(, ()(,) ( , ( )(, ()(, () (, ()(,) ( )() (, ()(, ( n n n n n n x hh nnnnnn x x hhhh nnnn x hh nnnn x hhhh nnn x y xyf x y xf xy xf xydx f x y xf xy xf xy x f xy xf xydx y xy xf xy xf xy + + + + =+ =+ + =+ 2 )(,) h nnn xf xydx+ 所以上式为 1 1 12 2222 ()() (, ()(, ()(,) n n n n x h nnn x x hhhh nnnnnn x ey xxxdx f xy xf xy xf xy + + + =+ + dx 2 3 18 () h nn eLh y xLM + +h 中点公式的整体截断误差： 1 1 111 22 22 2222 () ()( , ( )(,(,) () ( , ( )(, ()(, () (, ()(, ()(,(,) n n n n nnn x hh nnnnnn x x hh nnnnnn x hhhh nnnnnnnn y xy y xyf x y xf xyf xydx y xyf x y xf xy xf xy x f xy xf xy xf xyf xydx + + + = =+ =+ + 记 1 2222 (, ()(, ()(,(,) n n x hhhh nnnnnnnn x Ff xy xf xy xf xyf xy + =+ dx 注这里f满足Lipschitz条件, 所以有 22 22 2 2 | ()(, ()(,)| | ()|(, ()(,)| (| ()| (1)| hh nnnnnn hh nnnnnn h nnn h n FLh y xf xy xyf xy Lh y xyf xy xf xy LhL y xy LhL + + + + 综上有: 12 | |(1)| h nn RLhL| n + +， 即有 22 1 2 00 22 1 12 2222221 11 022 ()() 0 | (1)| (1) |1 (1)(1) |(1) nn nn R hLL h L XxL Xx LhL hR LhL hLhL hLhL h R ee Lh + + + ? 1 2 11、解： 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 11、解：令f(x,y)=-y+x+1 1 . 09 . 0) 1()1 () 1( 1 +=+=+= + x y x y x yyy n n n n n nnn hhh (n=0,1,2,9) )1(1 2 1 11 += + + x y x yyy n n n nnn h =(1- 2 h ) 2 ) 1( 2 hh x y n n +(-1 1 1 + + + x y n n ) =0.95) 1(05. 0) 1(05. 0 1 1 + + + x y x y n n n n 由初值y(0)=1出发，按上述公式计算，结果如下表所示： xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yn 1 1.005 1.0190251.041217 1.0708011.1070751.1494031.197210 1.249975 1.3072271.368541 12、计算结果与精确解比较。 解：由标准四阶P-K方程可得： += += += += += + kyxk kyxk kyxk yxk kkkkyy n n n n n n n n nn 34 23 12 1 4321 1 2 . 02 . 0 1 . 01 . 0 1 . 0 2 2 . 0 )22( 6 2 . 0 计算求解得： n 0 1 2 3 4 5 xn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 精确解 y(xn) 1 1.242806 1.583649 2.044238 2.651082 3.436564 P-K 解 yn 1 1.242806 1.583649 2.044238 2.651082 3.436564 误差误差 0 10 6 1.310 5 2.510 5 410 5 6.210 5 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 第二章第二章 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法 1解:由 1 11 0 0 (1 2 )()1,2,.,1 sin()0,1,. 01,2,. nnnn mmmm m nn M Ur Ur UUmM UmhmM UUn + + =+= = = 2 1 0.1,0.1,0.001,10 k hrkM hh = 得古典显式差分格式 1 11 0 0 0.80.1() sin(0.1)0,1,.10 01,2,. nnnn mmmm m nn M UUUU Umm UUn + + =+ = = U x t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 1 0 0.3090 0.5876 0.8090 0.9511 0 0.3060 0.5820 0.8011 0.9417 U x t 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 1 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0 0.9902 0.9417 0.8011 0.5820 0.3060 0 2. 解： 2 0.1,10 k khr h = Crank-Nicolson 格式为 111 1111 0 010 115()95()1,2,.1 sin(0.1)0,1,.10 01,2,. nnnnnn mmmmmm m nn UUUUUUmM Umm UUn + + +=+= = = 即有 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 111 10210 111 21321 111 87987 11 98109810 115()95() 115()95() 115()95() 115()95() nnnnn nnnnn nnnnn nnnnn UUUUUU UUUUUU UUUUUU UUUUUU + + + + += + += + += + += + ? 2 3 9 n n n n 矩阵形式 1 11 22 1 88 1 99 11595 5115595 5115595 51159 nn nn nn nn UU UU UU UU + + + + = ? ? = 0.0136 0.0083 0.0048 0.0022 0.0299 0.0183 0.0105 0.0048 0.0521 0.0320 0.0183 0.0083 0.0848 0.0521 0.0299 0.0136 0.1344 0.0826 0.0473 0.0215 0.2109 0.1296 0.0743 0.0338 0.1296 0.2026 0.1161 0.0528 0.0743 0.1161 0.1811 0.0823 0.0338 0.0528 0.0823 0.1283 1 A 令 = 115 5115 5115 5115 5115 5115 5115 5115 511 A = 95 595 595 595 595 595 595 595 59 B 0.1283 0.0823 0.0528 0.0338 0.0215 0.0823 0.1811 0.1161 0.0743 0.0473 0.0528 0.1161 0.2026 0.1296 0.0826 0.0338 0.0743 0.1296 0.2109 0.1344 0.0215 0.0473 0.0826 0.1344 0.2131 0.0136 0.0299 0.0521 0.0848 0.1344 0.0083 0.0183 0.0320 0.0521 0.0826 0.0048 0.0105 0.0183 0.0299 0.0473 0.0022 0.0048 0.0083 0.0136 0.0215 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 = = 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 9 . 0sin 8 . 0sin 7 . 0sin 6 . 0sin 5 . 0sin 4 . 0sin 3 . 0sin 2 . 0sin 1 . 0sin 0 U 110 -0.7434 0.1646 0.1055 0.0675 0.0430 0.0271 0.0167 0.0096 0.0043 0.1646 -0.6378 0.2321 0.1485 0.0947 0.0597 0.0367 0.0210 0.0096 0.1055 UA BU = = 0.2321 -0.5948 0.2593 0.1652 0.1042 0.0641 0.0367 0.0167 0.0675 0.1485 0.2593 -0.5781 0.2688 0.1696 0.1042 0.0597 0.0271 0.0430 0.0947 0.1652 0.2688 -0.5738 0.2688 0.1652 0.0947 0.0430 0.0271 0.0597 0.1042 0.1696 0.2688 -0.5781 0.2593 0.1485 0.0675 0.0167 0.0367 0.0641 0.1042 0.1652 0.2593 -0.5948 0.2321 0.1055 0.0096 0.0210 0.0367 0.0597 0.0947 0.1485 0.2321 -0.6378 0.1646 0.0043 0.0096 0.0167 0.0271 0.0430 0.0675 0.1055 0.30900.1059 0.58780.2015 0.80900.2773 0.95110.3260 1.00000.3428 0.95110.3260 0.80900.2773 0.58780.2015 0.1646 -0.74340.30900.1059 = i 211 -0.7434 0.1646 0.1055 0.0675 0.0430 0.0271 0.0167 0.0096 0.0043 0.1646 -0.6378 0.2321 0.1485 0.0947 0.0597 0.0367 0.0210 0.0096 0.1055 UA BU = 0.2321 -0.5948 0.2593 0.1652 0.1042 0.0641 0.0367 0.0167 0.0675 0.1485 0.2593 -0.5781 0.2688 0.1696 0.1042 0.0597 0.0271 0.0430 0.0947 0.1652 0.2688 -0.5738 0.2688 0.1652 0.0947 0.0430 0.0271 0.0597 0.1042 0.1696 0.2688 -0.5781 0.2593 0.1485 0.0675 0.0167 0.0367 0.0641 0.1042 0.1652 0.2593 -0.5948 0.2321 0.1055 0.0096 0.0210 0.0367 0.0597 0.0947 0.1485 0.2321 -0.6378 0.1646 0.0043 0.0096 0.0167 0.0271 0.0430 0.0675 0.1055 0.10590.0363 0.20150.0691 0.27730.0951 0.32600.1118 0.34280.1175 0.32600.1118 0.27730.0951 0.20150.0691 0.1646 -0.74340.10590.0363 = i = 求解结果： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.95111.00000.95110.8090 0.5878 0.30900 0.1 0.1 0 0.1059 0.2015 0.2773 0.32600.34280.32600.2773 0.2015 0.10590 0.2 0.2 0 0.0363 0.0691 0.0951 0.11180.11750.11180.0951 0.0691 0.03630 x U t 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 3.解：古典显格式 1 11 2 2 nnnnn mmmmm UUUUU kh + + + = 右边界 2 11 1 0( 2 nn MM x UUu O h xh + = = ) + = UU 11 nn MM 在右边界，以 n M U为基础建立古典显格式 1 11 (1 2 )() (1 2 )2 nnnnn MMMMM Ur Ur UUr Ur + + = += + 1 n M U =,? 古典显式差分格式 1 11 0 0 1 1 (12 )() 10,1,., 01,2,. (12 )20,1,. nnnn mmmm m n nnn MMM Ur Ur UU UmM Un Ur UrUn + + + =+ = = =+= 由 0 层的边界点U算UU右边界 0 10 1 12 1 01 0 m, n+1 其中 2 ,1 k rMh h = 截断误差 2 ()O kh+ m-1, nm, nm+1, n 4. 解：显式差分格式 1 11 2 ()2 nnnnn n mmmmm m UUUUU U kh + + + = 即 1 11 0 01 2 2 (12)() ()0,1,., ()1,2. ()1,2.1, nnn mmm m n n M Urr Ur UU Uf mhmM Ugnkk k UgnkkMhr h + + =+ = = = n m = h+ 截断误差O k 2 () 方法 I：矩阵方法讨论稳定性 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 矩阵形式 1 1 11 1 22 1 88 1 2 99 ()1 2 01 2 01 2 ()1 2 nn nn nn nn rg nkrrrUU rrrrUU rrrrUU rg nkrrrUU + + + + =+ ? ? ? ? 即 n nn eBUIU+= +1 C=I -1B=B 的特征值 2 2 122cos()14sin () 2 ( )max | |14sin ()| 2 i i i jj rrrkr MM j Akr M = += = 即 2 |14sin ()| 1 2 j kr M 时稳定， 1 2 r 时稳定。 方法 II：Fourier 级数(Von Neumann 方法)法讨论稳定性 10 001 01 1,0,112 Na Nbrrb 1 br = = = = 010 2 ( , )() (1 2)() 1 22cos()1 4sin 2 i hi h Gkerr er ee h rrrhr k =+ = += 22 |( , )| |1 4sin| |1 4sin| 1 22 hh Gkrkr = 要求 2 1 1 4sin1 2 h r 2 1 2sin1 22 h rr 即 1 2 r 时稳定。 5.解：显式差分格式 1111 1 11 2 ()2 nnnnn n mmmmm m UUUUU U kh + + + + = 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 即 111 11 0 01 2 2 (12)() ()0,1,., ()1,2. 11 ()1,2., nnn mmm m n n M rr Ur UUU Uf mhmM k Ugnkkr h Ugnkkhk n m MN + + += = = = = (1) 差分格式截断误差 2 ()O kh+ (2) 方法 I. 矩阵方法讨论稳定性 差分格式矩阵形式 (1) ) 1 1 11 1 2 1 1 2 22 11 2 88 1 2 1 (1) ) 99 2 0 0 rgnk nn UU rrr nn UU rrrr I nnrrrr UU rrr nn UU rgnk + + + + + =+ + + + + ? ? ? ? ? 即 11nn n AUIUeCA + =+= 11 ()| (122cos)|1 122cos j Arrr j M rrr M =+=精品课程微分方程数值解 6. 解：差分格式化为 1 11 (12)() nnn mmm Uiwr Uiwr UU + + =+ n m 方法 1：矩阵方法 2 224 1 22cos1 4sin () 2 ( )max| 1 16sin1 2 i i i jj iwriwiwr MM j Aw r M = += = + 显式差分格式不稳定。 方法 2：Fourier 级数法 010 2 (, )() (12)() 122cos14sin 2 ihih Gkeiwr eiwr ee h iwriwrhiwr =+ =+= 2224 |(, ) |116sin1 2 j Gkw r M =+ 显式差分格式不稳定 7. 7. 解：先将差分方程写成方程组形式 11 11 2 1 UUUVU2UU (1) VU nnnnnnn jjjjjjj nn jj kkh + + + + += = 11+ 用 Von-Neuman 可以得到增长矩阵的特征值为 22 22 1,2 22 22 121 16sin121 16sin 2(14 sin)12(1 8 sin) hh hh rr rr + = + 由此可得到稳定性结论如下 a, 当1 20+精品课程微分方程数值解 即得， 1,2 1=，故格式无条件稳定. 9. 解: 由 Von-Meuman 方法可以得到（1） （2）的增长因子分别为 12 12 22 122 2 22 22 (1)( , )14 (sinsin) 1 (2)( , ) 14 (sinsin hh hh Ghcr Gh cr = + = +) 由此可知（1）条件稳定 条件为 1 4 r ； （2）无条件稳定。 10. 解：消去 1 2 , , n l m U + 便可得到 1 , n l m U + 与的关系式, 即为 , n l m U 2 221 11 22224 nn22 xylmxy rrr cc U + = lm U 由 Von-Meuman 方法可以得到增长因子 12 12 222 22 22 2222 4sinsin ( , ) (12 sin)(12 sin) hh hh r Gh rcr = + c 显然无条件稳定。 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 第三章第三章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法 1、解: (1)分别将，, 1,1lm U +1,1lm U +1,1lm U + , 1,1lm U 在(l,m)结点处做Taylor展开，并 代入 1,11,11,11,1, 2 1 (4 2 lmlmlmlml m UUUUU h + )0+=整理可得其截断误差为 2 ()RO h= (2)方法类似于(1), 同理可得其截断误差为 4 ()RO h= 2、解：作网格 22 125 ln(1)1 ln 39 += 22 234 (1)1 ln 39 +=ln 2 2 213 ln(0 1)ln 39 += 2 2 2 ln(1 1)ln 39 += 40 2 2 11 ln(0 1)ln 39 += 0 2 2 137 (1 1)ln 39 +=ln 22 116 ln (1)0 ln 39 += 22 225 ln(1)0 ln 39 += 五点差分格式 123 124 134 234 1016160 4lnlnln0.680725 9981 25372537 4lnlnln2.435345 9981 13251325 4lnlnln1.389376 9981 40344034 4lnlnln2.820791 9981 UUU UUU UUU UUU =+= +=+= +=+= +=+= 矩阵方程 1 2 3 4 41100.680725 14012.435345 10411.389376 01142.820791 U U AUK U U = 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 1 0.29170.08330.08330.0417 0.08330.29170.04170.0833 0.08330.04170.29170.0833 0.04170.08330.08330.2917 A = 1 0.634804 1.059992 0.798500 1.169821 UA K = 3、解：首先将网格进行剖分。由于h=0.5，一共有9个网格结点。如图所示的实 红点，其中虚红点是在计算过程中所需要的过度点。 对建立差分格式得： 11 U 1101211012 4UUUUU+= 0 0 2h 2h (1) 对建立差分格式。首先对直接应用五点差分格式 00 U 00 U 10100 10100 4UUUUU += (2) 显然, 与是网格虚点，需要消去，为此，在利用x=0,y=0的边界有如下 差分格式 10 U 0 1 U 101000 2UUhU = (3) 010 100 2UUhU = (4) 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 联立(2)-(4)得 100100 22(422 )UUhh U+= 0 h (5) 类似，对建立差分格式分别为 02 U 20 U 22 U 10 U 01 U 12 U 21 U 120102 22(422 )6UUhh U+= (6) 102120 22(422 )8UUhh Uh+= (7) 122122 22(422 )UUhh U0+= (8) 11200010 2(42 )UUUh U3h+= (9) 11020001 2(42 )UUUh U3h+= (10) 11202221 2(42 )UUUh U4h+= (11) 11022212 2(42 )UUUh U+= 3h (12) 联立(1), (5), (6)-(12)得 00 10 20 01 11 21 02 12 11 (422 )20200000 1(42 )1020000 02(422 )002000 100(42 )20100 010141010 00102(42 )001 000200(422 )20 0000201(42 )1 00000202(422 ) Uhh Uh Uhh Uh U Uh Uhh Uh Uhh + + + + + + + + 0 3 8 3 0 4 6 3 0 h h h h h h = h=0.5, 所以有 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 2 1 0 2 1 2 1 1 6202000000 1510200001 .5 0220020004 1005201001 .5 0101410100 0010250012 0002006203 0000201511 .5 0000020260 U U U U U U U U U = 解得， 00 1.1844U= 10 2.1317U= 20 7.0172U= ， 01 1.421U= ， ， ， 11 1.9784U= 21 2.8855U= 02 0.4655U= 12 1.4752U= ， 22 1.4536U= 4、 解:(1) 将 节 点 以 自 动 顺 序 排 列, 其 中 121 (,) q TTTT UUUU =? 121, (, i T iiqi UUUU =?) 则Dirichlet问题的差分格式可以写成方程组AU=b 其中A，B即为题中已给形式，b为由边界条件离散化后已确定的已知向量. (2)考虑 A AUU=,即有 121 11 21 A iiiA qqAq BUUU UBUUU UBUU + += += += ? ? 1 i 因B为对称阵，故存在正交阵Q使 121 (, TBB BP Q BQdiag) B = =? 用左乘以上各式 T Q 121 11 211 TTT A TTTT iiiA TTT qqAq Q BUQ UQ U Q UQ BUQ UQ U Q UQ BUQ U + += += += ? ? i 记则 T r VrQ U= 电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年4 月 成都信息工程学院精品课程微分方程数值解 121 11 21 BA iBiiA qBqAq VVV VVV VVV 1 i V + += += += ? ? V 选取以上方程组中的每一个小方程组的第j 个方程得到 ,1,2,1 ,1,