2018届高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步学案新人教B版选修.docx

2.2.2反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么？答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理(1)反证法的概念一般地，由证明pq转向证明：綈qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)反证法常见的几种矛盾与假设矛盾与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾与公认的简单事实矛盾(例如，导出01,00之类的矛盾)(3)反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论做出与命题结论相矛盾的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()类型一用反证法证明否定性命题例1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，4bac2.a，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故，不成等差数列反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的跟踪训练1已知正整数，a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾假设不成立，a，b，c不可能都是奇数类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理，1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.反思与感悟(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x3有且只有一个根证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则3,3，两式相除得1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3求证：两条相交直线有且只有一个交点证明设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60B每一个内角都小于60C有一个内角大于60D每一个内角都大于60答案B3“abCab Dab或ab答案D4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da与b相交答案D5已知f(x)x2pxq.(1)求证：f(1)f(3)2f(2)2；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于不成立，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.因为|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，这与|f(1)|2|f(2)|f(3)|2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于.用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.一、选择题1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾其中正确的为()A BC D答案A2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案D解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”3(1)已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；(2)已知a，bR，|a|b|2，(2)的假设正确4有下列叙述：“xy”的反面是“xy或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析对；错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角5设实数a，b，c满足abc1，则a，b，c中至少有一个数不小于()A0 B. C. D1答案B解析假设a，b，c都小于，则abc1，故与已知abc1相矛盾故选B.6设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2答案C解析假设a2，b2，c2，则180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设AB90.上述步骤的正确顺序为_答案9某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_答案甲解析假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判断偷珠宝的人是甲10完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因为7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数答案a11，a22，a77奇数0解析由假设p为奇数可知，(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数相矛盾11若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_答案(，21，)解析若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a0.这与abc0矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求证：方程f(x)0没有负数根证明假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，且ax0，0ax01，01，解得x02，这与x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根四、探究与拓展14若a，b，c，d都是有理数，都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_考点反证法及应用题点反证法的应用答案ab，cd解析假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.15已知等差数列an的前n项和为Sn，a1