人教版九年级数学 第22章 二次函数知识点汇总 上册.doc

二次函数知识点汇总 姓名： 。1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。一三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。二顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。三交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。五平移式。2，把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2，抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.六距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。七对称轴式。1，抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。1，已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。八对称式。1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2.求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。十判别式式。1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。12.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程是二次函数当y的值为0时的情况(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与