(北师大2013版)七年级数学下册第四章三角形.ppt

第一节认识三角形（一）,第四章三角形,子洲三中乔智,最新北师大版七年级数学下册,我们来欣赏一些生活中的图片,在这些优美的画面中，这些物体的侧面都是什么几何图形？,学习目标,1、理解三角形及有关的概念，能用符号语言表示三角形.,2、探索并证明三角形内角和等于180,能发现直角三角形中两个锐角的关系.3、会按角将三角形进行分类。,全力以赴，激情投入！,1.你能从中找出四个不同的三角形吗？2.与你的同伴交流各自找到的三角形。3.这些三角形有什么共同的特点？,观察下面的屋顶框架图,实践出真知,三角形有三条边、三个内角、三个顶点、三条线段首尾顺次相接。,1.这些三角形有什么共同的特点？,由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,2.什么叫做三角形？,3.如何表示三角形？,三角形可用符号“”表示，如右图三角形记作：ABC,4.三角形的边可以怎么表示？,如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c,注意:,1.表示三角形时，字母没有先后顺序；2.如下图，我们把BC(或a）叫做A的对边，把AB（或c），AC（或b）分别叫做A的邻边.,边：,三角形中三边AB，BC，AC.,角：,三角形中有三个角：A，B，C.,顶点：,三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C.,1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（）,B,此图中有几个三角形？你能表示出来吗?,A,C,AC,AB，BC,2.如图三角形ABC记作：B的对边:邻边是:,C,吊塔为什么设计成三角形？,思考：,三角形的三个内角有什么关系?,在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180，你还记得这个结论的探索过程吗?,A,B,D,C,如图,当时我们是撕下两个角,把A移到了1的位置,把B移到了2的位置。,回顾与思考,拼一拼,说一说,如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释“三角形的三个内角和是180”吗？,a,b,拼一拼,说一说,三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180,E,D,证法一,法一,已知：ABC.求证：A+B+C=180,证明：在ABC的外部以CA为边作ACE=A.延长BC至D。ACE=AABCEB=ECDBCA+ACE+ECD=180A+B+BCA=180,法二,已知：ABC.求证：A+B+C=180,D,E,证明:延长BC至D,过C作CEBA.CEBAA=ACE,B=ECDBCA+ACE+ECD=180BCA+A+B=180,A,（）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由,(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?将所得结果与(1)的结果进行比较.,自学指导：,认真看课本P83想一想以前的内容，时间3分钟。思考下列问题1、三角形按角怎么分？2、什么叫锐角三角形、直角三角形、钝角三角形?3、直角三角形怎样表示？4、直角三角形的两个锐角有什么关系？,我的课堂我做主-我展示、我快乐,锐角三角形,三个内角都是锐角,钝角三角形,有一个内角是钝角,直角三角形,有一个内角是直角,直角三角形ABC用符号表示为,直角边是_和_，斜边是。,直角三角形的两个锐角,RtABC,BC,AC,AB,互余,1、,2、,3、,1、下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内,2、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30和60（）（2）40和70（）（3）50和30（）,（4）45和45（）,直角三角形,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,比一比：,知识技能,1.已知A，B，C是ABC的三个内角，A70，C30，B（）2.直角三角形一个锐角为70，另一个锐（）度。3.在ABC中，A=80，B=C，则C=（）4.如果ABC中，ABC=235，此三角形按角分类应为（）。,80,20,50,直角三角形,如图所示，以AB为边的三角形有,如图所示，以E为内角的三角形有,图中有个三角形.分别是,ABD、ABE,ACE、ABE,6,ABC,ADE,课堂检测：,1、,ABD、,ACE、,ACD、,ABC、,ADE,ABE、,即：RtABC中，C=90，则A+B=90。,1.三角形内角和定理:,三角形的内角和等于180。即：ABC中，A+B+C=1802.推论：直角三角形的两个锐角互余。,4.1认识三角形（一）,课堂小结,作业：,P84习题4.11,5题,E,谢谢合作!,第一节认识三角形（二）,第四章三角形,北师大七年级下册,(1)元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。,利用你发现的规律填空AB+ACBCAB+BCACAC+BCAB,(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?,议一议,在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择AB路线，而不选择ACB路线，难道小狗也懂数学？,C,B,A,三角形任意两边之和大于第三边,分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。,计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？,三角形任意两边之差小于第三边,有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。,想一想,解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=78，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。,你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？,2.两点之间的所有连线中，线段最短,1.三角形任意两边之和大于第三边,为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道,你知道吗,练一练,1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论。（1）3cm,4cm,5cm;(2)8cm,7cm,15cm(3)13cm,12cm,20cm;(4)5cm,5cm,11cm,2.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成个的不同的三角形。,（1）（3）,3,3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为。若第三边为偶数，那么三角形的周长。,4.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数，满足这些条件的三角形共有种，当c=时，所作出的三角形的周长最长。,5.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为。,练一练,3或5,10,5,25,9,思维探究,动动脑,某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？,A,B,C,D,1.通过本节课的学习，你有些什么收获和感想？,2.你还有无疑问,忆一忆提一提,第一节认识三角形（三）,第四章三角形,在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线(median).,三角形的“中线”,BE=EC,图511,B,C,如图51l，,AE是BC边上的中线.,它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流.,(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗?,三角形的三条中线的性质,三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心,在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?,B,A,C,用圆规画最简便。,你能通过折纸的方法得到它吗?,在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。,折痕AD即为三角形的A的角平分线。,三形的角平分线的定义,以前所学的“角平分线”是一条射线，,B,A,C,“三角形的角平分线”还是射线吗?,在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。,“三角形的角平分线”是一条线段。,D,1=2,1,2,图510,三角形的角平分线的性质,每人在纸张上分别画一个锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?,将你的结果与同伴进行交流.,三角形的三条角平分线交于一点.,已知ABC（如图），画中线AD和角平分线BE。,画一画,A,C,B,1.AD是ABC的角平分线（如图），那么BAC=BAD；2.AE是ABC的中线（如图），那么BE=_BC。,练一练,A,D,C,B,A,B,C,E,2,课内训练,1.如图在ABC中ACE=BCE,BD=CD,则AD是三角形_的_线，CE是三角形_的_线。,2.如图，在三角形ABC中,BD是角平分线，BE是中线，如果AC=10cm,则AE=_cm,如果ABC=60，则ABD=_,3.如图在三角形ABC中，AD平分BAC,DEAC交AB于E点，若BAC=40，则EDA=_,4.能把三角形的面积平分的是三角形的_,5.如图AD是ABC的BC边上的中线，DE是ADC的AC边上的中线，若ABC面积等于4，则ADE的面积等于_。,本课概要,三角形的“角平分线”、“中线”的概念与性质。,B,D,1=2,1,2,图510,A,C,BE=EC,图511,B,A,C,在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，,这个角的顶点与交点之间的,线段,连接一个顶点与它对边中点的线段，,三角形的三条中线交于一点.,三角形的三条角平分线交于一点,在ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,DBC的周长为25cm,求ADC的周长.,A,D,B,C,比一比,如图,在ABC中,角平分线BD，CE相交与O,则BOC与A有什么关系?如果设A为,求BOC(用表示).利用上述关系,计算:(1)当A=50时,求BOC;(2)当BOC=130时,求A.,A,O,D,E,B,C,如图，在ABC中，BP、CP分别是B、C的平分线，求证：BPC=90+A。,B,A,C,P,证明：,BP、CP分别是B、C的平分线(已知),1=,ABC,2=,ACB,（角平分线定义）,BPC+1+2=180,(三角形内角和定理),A+ABC+ACB=180,(三角形内角和定理),BPC=180(1+2),=180(ABC+ACB),=180(180A),=90+A.,最新北师大版七年级下册认识三角形（第四课时）,子洲县第三中学:乔智,回顾思考,你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?,放、,靠、,过、,画。,三角形的高,A,从三角形的一个顶点,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形的高(height),如图线段AD是BC边上的高.,图112,ADBCADB=ADC=90,锐角三角形的三条高,(1)你能画出这个锐角三角形的高吗?有几条呢？,(2)这三条高之间有怎样的位置关系？,将你的结果与同伴进行交流.,锐角三角形的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高都在三角形的内部。,A,B,C,D,E,F,直角三角形的三条高,将你的结果与同伴进行交流.,A,B,C,(1)画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是;,AB边,直角边AB边上的高是;,BC边,它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,D,斜边AC边上的高是_;_,BD边,画钝角三角形的三条高,你能画出钝角三角形的三条高吗？,BC边上的高是在三角形的内部还是外部?,外部,D,AB边上的高呢？,E,F,钝角三角形的三条高,A,B,C,D,F,钝角三角形的三条高交于一点吗？,钝角三角形的三条高不相交于一点,它们所在的直线交于一点吗？,将你的结果与同伴进行交流.,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,O,E,想一想,分别指出图113中ABC的三条高。,直角边BC边上的高是;,AB边,直角边AB边上的高是;,CB边,D,E,F,D,图113,斜边AC边上的高是;,BD,AB边上的高是;,CE,BC边上的高是;,AD,CA边上的高是;,BF,例题精讲,例1、如图在ABC中，AD是ABC的高，AE是ABC的角平分线，已知BAC=82，C=40，求DAE的大小。,解：AD是ABC的高,ADC+C+DAC=180,DAC=180-(ADC+C),=180-90-40,=50,AE是ABC的角平分线且BAC=82,CAE=BAC=41,DAE=DAC-CAE=50-41=9,例题精讲,例2.如图在ABC中,AE,AD分别是BC边上的中线和高线,说明ABE的面积和AEC的面积相等.,问题1:三角形的面积公式是什么?,问题2:根据三角形的面积公式和图中的线段,你能表示ABE和ACE的面积吗?,问题3:结合中线定义知道哪两条线段相等,这样比较上面的两个三角形的面积表达式可得到结论了吗?,本课概要,从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形的高。,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线交于一点,三角形内部,直角顶点,三角形外部,课内练习,1.如图,阴影的三角形面积相等吗?为什么?,2.见课本P13课内练习1,2,和作业题1,2,拓展练习,拓展练习,B,3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（）A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的一条边上D.不能确定,D,D,感悟与反思,感悟与反思,通过这节课的学习活动你有哪些收获？,你还有什么想法吗？,作业,作业本(2)三角形的高,第二节全等图形与全等三角形,第四章三角形,一.全等图形请欣赏图片1,请欣赏图片2,两个能够重合的图形称为全等图形,1.观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。2.如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？,（1）,（2）,如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等,能够完全重合的两个三角形。,A,B,C,二.全等三角形,1.全等三角形的定义？,想一想,你能找到图中的对应顶点、对应边和对应角吗？,A,B,C,对应边相等，对应角相等,（全等三角形的对应边相等）,（全等三角形的对应角相等）,如图，ABCDEF,全等三角形的性质,A,B,C,D,E,F,三.全等三角形的性质,四.表示方法:ABC与DEF全等,记作：ABCDEF,A,B,C,D,E,F,注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,读作:ABC全等于DEF,全等三角形的性质,全等三角形的对应边相等,对应角相等.,议一议,p94(1)(2),做一做,你能将一个等边三角形分成两个全等三角形吗？,能把它分成三个,四个全等三角形吗？,小试身手,问题一:下列说法是否正确:,(1)边长相等的正方形都是全等图形。,(2)同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形。,(3)面积相等的两个三角形是全等三角形。,(4)两个全等三角形的面积相等。,(5)半径相等的两个圆是全等图形。,1、若AOCBOD，对应边是，对应角是；,A,B,O,C,D,2、若ABDACD，对应边是，对应角是；,3、若ABCCDA,对应边是，对应角是；,问题二,4、若ABEACD，对应边是，对应角是；,0,找一找,已知：ABCADC与BC对应的线段：_与AD对应的线段：_与AC对应的线段:_与ACB对应的角:_与B对应的角：_与BAC对应的角:_,DC,AB,AC,ACD,D,DAC,如图,若ABCEFC,CF=3cm,EFC=64,则BC=_cm,B=_.,3,64,巩固练习,如图:ABCCDA,写出其中相等的角,C,B,A,D,如图:ABCAEC,B=30,ACB=95,求出AEC各内角的度数.,A,B,C,E,如图,ABCDEF,求证:AD=BE,B,A,E,F,C,D,拓展训练：,如图1，你能将它分成两个全等的图形吗？可以用几种方法？能将它分成四个全等的图形吗？可以用几种方法呢？沿着图2的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形（至少找出两种方法），并与同伴交流。,1,2,如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案。,第三节探索三角形全等的条件(一),第四章三角形,复习:1.什么叫三角形？,全等三角形的对应边相等，对应角相等。,2.什么叫全等三角形？全等三角形有何性质？,三条线段首尾顺次连接而成的图形;,能够完全重合的三角形.,要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？,想一想,只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？,1.一个条件?,有一条边对应相等的三角形,(不一定全等),动手试一试,有一个角对应相等的三角形,结论:一个条件,并不能保证三角形全等.,(不一定全等),1.一个条件?,动手试一试,按照下面给出的两个条件画出三角形,并与其他同学的比一比!,(1)三角形的一个角为30,一条边为6cm;,(2)三角形的两条边分别是4cm和6cm;,(3)三角形的两个角分别是30和60.,2.两个条件?,动手试一试,(不一定全等),(1)三角形的一个角为30,一条边为6cm.,2.两个条件?,动手试一试,30o,6cm,(2)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.,(不一定全等),4cm,6cm,2.两个条件?,动手试一试,(3)三角形的两个角分别是：30，60.,结论：有两个条件对应相等也不能保证三角形全等.,(不一定全等),2.两个条件?,动手试一试,动脑想一想,3.三个条件?,(1)三个角;(2)三条边;(3)两角一边;(4)两边一角.,（1）已知三角形的三个角分别为30,60,90.,结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等。,3.三个条件?,动手试一试,3.三个条件?,动手试一试,（2）已知三角形的三条边分别为4cm，5cm，7cm。,(一定全等),三角形全等的条件:,一般地,有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成“边边边”或“SSS”,S边,AB=AB,BC=BC,AC=AC,（SSS）,数学表达式：,在ABC和ABC中,ABCABC,（SSS）,A,B,C,D,例:如图，在四边形ABCD中,AB=CD，AD=CB，则A=C.请说明理由。,AB=CD（已知）,AD=CB（已知）,BD=DB（公共边）,所以ABDCDB,所以A=C,(全等三角形的对应角相等),例题,动手做一做,准备若干长度适中的小木条，用其中三根木条钉成一个三角形的框架，它的形状和大小是固定的吗？如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗？,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。,你能找到图中的三角形吗？,你能说出为什么这些地方是三角形吗?,课内链接,1.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？,不一定全等,解：,A,B,C,D,E,F,RtABC和RtDEF不全等,课内链接,2.已知：如图AB=CD,AD=BC，E，F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对全等的三角形？说明理由.,3.已知：如图AB=CD,AD=BC.则A与C相等吗？为什么？,课内链接,分析：要说明A与C相等，可设法使它们在两个可以全等的三角形中，那么，全等三角形的对应角相等,为此变四边形为两个三角形。,解：A=C.,连接BD.,因为AB=CD,AD=CB,BD=DB所以ABDCDB所以A=C.,问题解决,如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？,如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？,小明的思考过程如下：,AB=AD,BC=DC,AC=AC,ABCADC,QRE=PRE.,你能说出每一步的理由吗？,这节课你学到了什么？,1.三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”),2.三角形具有稳定性。,SSS,1.如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由。,解：ABCDCB在ABC和DCB中AB=CDAC=DB=,所以ABC（）,DCB,动手做一做,2.如图，D，F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED，要使ABFECD，还需要条件,A,E,BF=CD或BD=CF,第四章三角形,第三节探索三角形全等的条件（第2课时）,情境导入,我们已学过识别两个三角形全等的简便方法是什么?识别三角形全等是不是还有其它方法呢？,情境导入,有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?,实践探究,我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?,1、角.边.角;,2、角.角.边,每种情况下得到的三角形都全等吗?,做一做,1、角.边.角;,若三角形的两个内角分别是60和80它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗?,你画的三角形与同伴画的一定全等吗?,2、角.角.边,若三角形的两个内角分别是60和45，且45所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?,分析：,这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？,两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”,练一练,1、如图，已知AB=DE，A=D，,B=E，则ABCDEF的理由是：,2、如图，已知AB=DE,A=D，,C=F，则ABCDEF的理由是：,角边角（ASA）,角角边（AAS）,巩固提高,巩固提高,1、完成下列推理过程：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（）,ASA,A,B,C,D,O,（）,公共边,2=1,AAS,3421CBBC,巩固练习：,如图，O是AB的中点，A=B，AOC与BOD全等吗？为什么？,我的思考过程如下：两角与夹边对应相等,AOCBOD,1请在下列空格中填上适当的条件，使ABCDEF。,在ABC和DEF中,ABCDEF（）,SSS,AB=DE,BC=EF,AC=DF,ASA,A=D,AB=DE,B=DEF,AC=DF,ACB=F,AAS,B=DEF,BC=EF,ACB=F,BC=EF,补充练习,A,B,C,D,E,1,2,2如图，已知，CE，12，ABAD，ABC和ADE全等吗？为什么？,解：ABC和ADE全等。12（已知）1DAC2DAC即BACDAE在ABC和ADC中,ABCADE,（AAS）,B,C,D,E,A,3如图：已知ABAC，BC，ABD与ACE全等吗？为什么？,ABDACE（ASA）,AEAD，BC，,BCAAADAE,AAS,实践探索,如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？,课堂小结,通过这堂课的学习你有什么收获?知道了哪些新知识？学会了做什么？,布置作业,P102知识技能2.3。,生活链接,课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”，你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）,第三节探索三角形全等的条件(三),第四章三角形,到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？,答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS）,根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？,答：两边一角相等,那么有几种可能的情况呢？,答：两边及夹角或两边及其一边的对角,（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？,结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”,以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？,A,B,C,D,E,F,2.5cm,3.5cm,40,40,3.5cm,2.5cm,结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等,小明做了一个如图所示的风筝，其中EDH=FDH,ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。,补充练习：,D,C,B,A,解：相等理由：AD是BAC的角平分线BADCADABACBADCADADADABDACD（SAS）BDCD,B,C,D,E,A,如图，已知ABAC，ADAE。求证：BC,C,E,A,B,A,D,证明：在ABD和ACE中,ABDACE（SAS）BC（全等三角形对应角相等）,F,E,D,C,B,A,如图，BE，ABEF，BDEC，那么ABC与FED全等吗？为什么？,ACFD吗？为什么？,4,3,2,1,如图，BE，ABEF，BDEC，那么ABC与FED全等吗？为什么？,ACFD吗？为什么？,在ABC与FED中,解：全等。BD=ECBDCDECCD。即BCED,ABCFED（SAS）,12,34,ACFD,小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。,E,C,B,A,D,如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。,学以致用,小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢?请帮助小颖想出一个办法来，并说明你的理由。,你的收获,1.今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？,边角边（SAS）,2.通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？,SSS，SAS，ASA，AAS,3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？,至少有一个条件：边相等,“边边角”不能判定两个三角形全等,布置作业P104习题4.81,4,第四节用尺规作三角形,第四章三角形,三角形的基本元素是和。,你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？自己动手试一试！,你会用尺规作一个角等于已知角吗？,边,角,回眸,1、已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。,已知：线段a,c,。,a,c,求作：ABC，使BC=a，AB=c，ABC=。,实践出真知,假设这个三角形已作出,B,A,C,a,c,1、已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。,对于边和角，你想先作，再作，最后作。,a,c,B,A,C,a,c,边,角,边,请按照给出的作法作出图形,B,C,ABC就是所求作的三角形。,你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？,B,A,C,a,c,a,c,温故-知新,1、已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。,回顾刚才作三角形的顺序,边,边,夹角,夹角,边,边,1、已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。,已知：线段a,c,。,a,c,求作：ABC，使BC=a，AB=c，ABC=。,对于边和角，你想先作，再作，最后作。,边,角,边,B,A,C,a,c,尝试自己作图，并用语言表述作法,(2)在射线BD、BE上分别截取BA=c，BC=a,(3)连接AC,ABC就是所求作的三角形。,(1)作=；,(2)在上截取，使=；,(3)以为顶点，以为一边，作=；,(4)作一条线段=；,(5)连接，或连接交于点；,(6)分别以，为圆心，以，画弧，两弧交于点；,你知道的常用作图语言有哪些呢？,豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？,你能帮他画出来吗？,求助,回顾基本作图,解决方法,2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。,已知：，线段c。,求作：ABC，使A=，B=，AB=c。,c,你能作出这个三角形吗？,A,B,C,c,假设这个三角形已作出,实践出真知,2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。,对于边和角，你想先作，再作，最后作。,A,B,C,c,实践出真知,角,角,边,作法：,(1)作DAF=；,(2)在射线AF上截取线段AB=c；,(3)以B为顶点，以BA为一边，作ABE=，BE交AD于点C。,ABC就是所求作的三角形。,D,A,F,B,C,E,你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？,A,B,C,c,2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。,回顾刚才作三角形的顺序,角,角,夹边,夹边,角,角,温故-知新,2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。,请按照给出的作法作出图形,对于边和角，你想先作，再作，最后作。,角,角,边,A,B,C,c,作法：,(1)作线段AB=c；,(2)以A为顶点，以AB为一边，作DAB=；,D,A,B,C,E,A,B,C,c,你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？,以B为顶点，以BA为一边，作ABE=，BE交AD于点C。,ABC就是所求作的三角形。,(3),3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。,已知：线段a，b，c。,求作：ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。,a,b,c,尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。,实践出真知,3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。,已知：线段a，b，c。,求作：ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。,（1）作一条线段BC=a；,（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；,（3）连接AB,AC。,ABC就是所求作的三角形。,a,b,c,作法：,你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？,小结经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？,1、假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；,2、在草图上标出已给的边、角的对应位置；,3、从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；,4、在3的基础上逐步向所求图形扩展。,1、你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。,a,b,分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。,我们一起做！,已知：直角，线段a，b,求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b,作法：,(1)作DCE=90,(2)在射线CD、CE上分别截取CB=a，CA=b,(3)连接AB,ABC就是所求作的三角形。,C,D,E,B,A,2、已知和、线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，另一个内角等于，且的对边等于a。,a,提示：先作出一个角等于+，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角。由此转换成已知和及其这两角的夹边a，求作这个三角形。,我们一起做！,a,B,C,A,E,F,G,作法：1、作+的补角,2、作GBE=,3、在射线BE上截取BC=a,4、以C为顶点，CB为一边作FCB=,5、射线BG与射线CF相交于点A,ABC就是所求作的三角形。,你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？,已知线段a，b和，求作ABC，使其有一个内角等于，且的对边等于a，另有一边等于b。,a,b,分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。,拓展提高,b,a,a,A,B,M,N,C,C,作法：1、作MAN=,2、在射线AM上截取AB=b,3、以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C，C,4、连接BC，BC,ABC和ABC就是所求作的三角形。,同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？,感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。,a,c,两边及夹角,两边及一边的对角,b,a,a,A,B,M,N,C,C,回顾与反思,谈谈你本节课的,收获与感受,第四章三角形,5利用三角形全等测距离,请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与ABC全等，比比看谁快！,A,B,C,A,C,B,在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。,议一议,这位聪明的八路军战士的方法如下：,战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。你觉得他测的距离准确吗？,A,C,B,D,A,C,B,D,理由：在ACB与ACD中，,BAC=DAC,AC=AC（公共边）,ACB=ACD=90,全等三角形的对应边相等,小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘，他想知道最远两点A、B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。,A,B,A,B,C,E,D,方案一：在能够到达A、B的空地上取一适当点C，连接AC，并延长AC到D，使CD=AC，连接BC，并延长BC到E，使CE=BC，连接ED。则只要测ED的长就可以知道AB的长了。,理由:在ACB与DCE中，,BCA=ECD,AC=CD,BC=CE,(全等三角形的对应边相等),方案二：如图，先作三角形ABC,再找一点D，使ADBC，并使AD=BC，连结CD，量CD的长即得AB的长,方案三：如图，找一点D，使ADBD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。,BA=BC,1.利用三角形全等测距离，主要是解决哪些问题？,2.利用三角形全等测距离有哪些方法？,E,C,D,C,D,C,D,解决办法：,如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明EDCABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定EDCABC的理由是(）A、SSSB、ASAC、AASD、SAS,B,做一做，比比看谁的速度快！,2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（）A、AO=COB、BO=DOC、AC=BDD、AO=CO且BO=DO,D,如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径。现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？,中点C,A,B,做一做,3.如图是挂在墙上的面大镜子，上面有两点A、B。小明想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直接测量。小明做了如下操作：在他够的着的圆上找到一点C，接下去小明却忘了应该怎么做？你能帮助他完成吗？,A,B,E,D,C,课堂小结,1、知识：利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。依据：全等三角形的性质。关键：构造全等三角形。2、方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形。3、数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想。,3、本节课我们学习了利用全等三角形的性质测，还学会了把生活中实际问题转化为几何问题。在测量的过程中，要注意利用已有的条件和选择适当的。测量方法越越准确越好。,距离,方