数学模型课程设计-数学模型课程设计.doc

东 北 石 油 大 学 课 程 设 计 2016 年 7 月 6 日 课 程 数学模型课程设计 题 目 应用数学规划求解实际数学问题 学 院 数学与统计学院 专业班级 应数 13-1 班 学生姓名 学生学号 指导教师 东北石油大学课程设计任务书 课程 数学模型课程设计 题目 应用数学规划求解实际数学问题 专业 数学与应用数学 姓名 学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容主要内容 简单介绍数学规划问题的基础理论及本文所用的规划方法，了解 MATLAB 软件和 LINGO 软件的功能，进一步通过实例来掌握如何应用常用的规划方法建立数学模型及 求解。并利用本文所介绍的规划方法来求解 1998 年数学建模的投资收益和风险问题。 课程设计的要求：课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计， 模型解法与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优 缺点及改进方向。必要的计算机程序。 3.文档格式：参照东北石油大学课程设计撰写规范和数学模型课程设计教学 大纲 。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料：主要参考资料： 1 运筹学，清华大学出版社，北京，1990 2 赵锡军等，金融投资学，中国人民大学出版社，北京，1996 3 施阳，MATLAB 语言工具箱，西北工业大学出版社，西安，1998 4 邓刚毅，许剑勇，周斌，风险投资组合的线性规划模型，数学的实践与认识， 1999 年第 1 期 5 姜启源，谢金星，叶俊等，数学模型，高等教育出版社，北京，2013 完成期限 2016 年 6 月 27 日-7 月 6 日 指导教师 专业负责人 2016 年 6 月 27 日 东北石油大学本科课程设计论文 摘 要 在实际生活中，人们常常要做出各种决策。对决策者而言，他们的目标是追求效 用最大化或者利益最大化，而数学规划就为人们做出最优决策提供了一种手段，成为 团体或个人需要掌握的必不可缺的一种思想。如今，数学规划应用相当普遍，它在社 会和经济的管理和计划、军事的指挥和实施、工业产品和系统的设计与运行等诸多领 域，都有着十分广泛的应用。 本文简要介绍了数学规划问题中目标规划和非线性规划的概念、简史和应用，以 及常用的求解目标规划和非线性规划的方法，初步了解了规划问题的基本思想。此外， 本文还简要介绍了有关 MATLAB 和 LINGO 软件的功能和特点，以便于用其去处理实 际的数学规划问题。在对目标规划和非线性规划的相关内容做了简介之后，本文还列 举了单目标规划、多目标规划和非线性规划的相关实例，并用 LINGO 软件对所举实例 进行了编程求解，得出了模型的最优化配置方案和选择方案。最后，本文着重的探讨 了关于典型数学模型投资的收益和风险的决策最优化问题，列出了关于收益和风险的 双目标非线性规划模型，并结合生活实际，合理的对该模型进行了简化，最后得到了 关于投资的收益和风险的线性规划模型，并用 MATLAB 软件对该问题的相关数据进行 了编程求解，使投资者能够根据自己的风险偏好做出最优投资决策。 如今，数学规划已是运筹学和管理科学中最常用的一种建模工具和求解问题的方 法。无论是经济的发展，还是科学的进步，数学规划思想已经深深的嵌入经济和科学 的发展脉搏之中，成为它们的中流砥柱。今后，规划思想会成为团体和个人的决策工 具，它的影响和作用将会更加广泛。 关键字：关键字：目标规划、非线性规划、MATLAB、LINGO 东北石油大学本科课程设计论文 目 录 第第 1 1 章章 规划问题基础理论规划问题基础理论 .1 1 1.1 数学规划相关介绍.1 1.2 MATLAB 和 LINGO 软件相关介绍 .2 1.3 本章小结.3 第第 2 2 章章 数学规划常用方法简介数学规划常用方法简介 .5 5 2.1 单目标规划和多目标规划.5 2.2 非线性规划 .5 2.3 本章小结 .6 第第 3 3 章章 数学规划典型实例数学规划典型实例 .7 7 3.1 单目标规划经典案例.7 3.2 多目标规划经典案例 .8 3.3 非线性规划经典案例.10 3.4 本章小结 .12 第第 4 4 章章 应用数学规划求解典型数学模型应用数学规划求解典型数学模型 .1313 4.1 问题重述.13 4.2 问题分析.13 4.3 模型假设.14 4.4 符号说明 .14 4.5 模型的建立与求解.15 4.6 结果分析 .18 4.7 模型评价.19 4.8 本章小结 .19 结结 论论 .2121 参考文献参考文献 .2222 东北石油大学本科课程设计论文 1 第 1 章 规划问题基础理论 线性规划是运筹学的一个重要分支。自 1947 年丹捷格提出了一般线性规划问题求 解的方法单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。 特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线 性规划的适用领域更为广泛了。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、 交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域线性规划都可以发挥作用，它已成了 现代科学管理的重要手段之一。本文主要介绍有关目标规划和非线性规划的相关知识， 以及 MATLAB 和 LINGO 软件的功能。 1.1 数学规划相关介绍 1.1.1 目标规划 一、目标规划的概念 美国学者 A.查纳斯和 W.W.库珀在把线性规划应用于企业时，认识到企业经营具 有多目标的特点，因而在 1961 年首先提出了目标规划的概念和数学模型。目标规划是 解决企业多目标管理的有效方法，它是按照决策者事前确定的若干目标值及其实现的 优先次序，在给定的有限资源下寻找偏离目标值最小的解的数学方法。目标规划分为 单目标规划和多目标规划，单目标规划是多目标规划的特殊情形，是其最简单的一类。 二、目标规划的简史 目标规划的简史，主要是伴随着多目标规划问题的提出而发展起来的。目标最优 化思想，最早是在 1896 年由法国经济学家 V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度 考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标 规划问题和多目标的概念。1947 年，J.冯诺伊曼和 O.莫根施特恩从对策论的角度提 出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951 年，T.C.库普曼斯从生 产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。 同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩- 塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963 年，L.A.扎德从控制论方面 提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968 年，A.M.日夫里翁为了排除变 态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自 70 年代以来，多目标规 划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定 义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。 三、目标规划的应用 东北石油大学本科课程设计论文 2 企业人力资源需求预测是人力资源管理的一项重要工作，它可以帮助企业明确未 来的人力需求趋势，做好人才储备工作；同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、 各类职位人员的需求情况，做好企业的定岗定编工作。 1.1.2 非线性规划 一、非线性规划的概念 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要 分支。非线性规划研究一个 n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题， 且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。 二、非线性规划简史 非线性规划是 20 世纪 50 年代才开始形成的一门新兴学科。1951 年 H.W.库恩和 A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩塔克条件)的论文是非线性规划正式 诞生的一个重要标志。在 50 年代还得出了可分离规划和二次规划的 n 种解法,它们大 都是以 G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50 年代末到 60 年代末出 现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70 年代又得到进一步的发展。非线性规划 在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的 工具。 三、非线性规划的应用 非线性规划在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最 优化问题。例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最 高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本； 如何确定一个自动控制系统的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力 系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存 储量，既能保证供应，又使储存费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使 资金周转最快等。对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线 性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划 的方法去处理。 1.2 MATLAB 和 LINGO 软件相关介绍 1.2.1 MATLAB 相关介绍 MATLAB 是美国 MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视 化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括 MATLAB 和 Simulink 两大部分。 MATLAB 是 matrix非球 面的)、二次的、二次约束的和整数优化的问题，甚至不需要指定或启动特定的求解器， 因为LINGO会读取我们的方程式并自动选择合适的求解器。 4. 交互式模型或创建Turn-key应用程序 我们可以在LINGO内创建和求解模型，或者我们也可以从自己编写的应用程序中 直接调用LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提供了一整套建模环境来构建，求解 和分析我们的模型。对于构建turn-key解决方案，LINGO提供的可调用的DLL和OLE界 面能够从用户自己写的程序中被调用。LINGO也能够从Excel宏或数据库应用程序中被 直接调用. 东北石油大学本科课程设计论文 4 1.3 本章小结 本章主要介绍了目标规划和非线性规划的概念、简史以及它们在实际生活中的广 泛用处。并且介绍了将要用到的MTALAB和LINGO软件的功能和特点，以及它们在实 际生活中的用处。 东北石油大学本科课程设计论文 5 第 2 章 数学规划常用方法简介 2.1 单目标规划和多目标规划 2.1.1 单目标规化概念 单目标规划研究只有一个目标函数在给定区域上的最优化问题，它可能是线性规 划，也可能属于非线性规划范畴。在规划领域内，单目标线性规划问题是迄今为止最 容易求解的问题。但是在实际生活中，我们往往要求多个目标同时达到最佳，这时最 常用的方法是化多为少，即将多目标转化为一个目标来求解，所以单目标规划问题是 我们解决其他规划问题的基础，掌握它的求解法尤为重要。 2.1.2 多目标规化 多目标规划概念 多目标规划是数学规划的一个分支。它研究多于一个目标函数在给定区域上的最 优化。又称多目标最优化。通常记为 VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、科 学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多 个目标来比较，只有对各个目标进行综合衡量后，决策者才能做出合理的决策。 多目标规划求解方法 求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一是化多为少的方法，即把多目标化 为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；二是 分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下 一个目标最优解，直到求出共同的最优解。三是可以适当修正单纯形法来求解；四为 层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于 70 年代提出的，这是一种定性与定量相结合的 多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用 2.2 非线性规划 非线性规划概念 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要 分支。非线性规划研究一个 n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题， 且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。 非线性规划求解法 对于非线性规划问题的求解算法有很多，我们大致列出了以下三种较为常见的一 般的求解方法，分别是一维最优化方法、无约束最优化方法和约束最优化方法。 东北石油大学本科课程设计论文 6 1.一维最优化方法： 指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用价值，而且 大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。常用的一维最优化方法有黄金分 割法、切线法和插值法。 2.无约束最优化方法 ： 指寻求 n 元实函数 f 在整个 n 维向量空间上的最优值点的方法。这类方法的意 n R 义在于：虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束最优化方法可将有约束问题 转化为若干无约束问题来求解。无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。 这类迭代算法可分为两类。一类需要用目标函数的导函数，称为解析法。另一类不涉 及导数，只用到函数值,称为直接法。这些迭代算法的基本思想是：在一个近似点处选 定一个有利搜索方向，沿这个方向进行一维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同 样手段，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同， 可以有各种算法。属于解析型的算法有:梯度法（又称最速下降法） ，这是早期的解析 法，收敛速度较慢。牛顿法:收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。共轭梯度法: 收敛较快，效果较好。变尺度法:这是一类效率较高的方法。其中达维登-弗莱彻-鲍 威尔变尺度法，简称 DFP 法，是最常用的方法。属于直接型的算法有交替方向法(又称 坐标轮换法)、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等。 3.约束最优化方法： 指前述一般非线性规划模型的求解方法。常用的约束最优化方法有四种：拉格朗 日乘子法、制约函数法、可行方向法、近似型算法。 2.3 本章小结 本章主要介绍了数学规划问题的目标规划和非线性规划的概念及其常用的求解方 法，了解了他们的基础思想。并且这两种规划将要用到第三章和第四章中去解决实际 的数学问题。 东北石油大学本科课程设计论文 7 第 3 章 数学规划典型实例 3.1 单目标规划经典案例 案例简介自来水输送问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由 A，B，C 三个水库供应。四个区每 天必须得到保证的基本生活用水量（单位：1000t）分别为 30，70，10，10，但由于水 源紧张，三个水库每天最多只能分别供应自来水 50，60，50。由于地理位置的差别， 自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同（见表 2-1，其中 C 水库鱼 丁区之间没有输水管道） ，其他管理费用（单位：元/1000t）都是 450。根据公司规定， 各区用户按照统一标准 900 收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为 每天 50，70，20，40。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？ 表 3-1 从水库向各区送水的饮水管理费 引水管理费甲乙丙丁 A160130220170 B140130190150 C190200230 问题分析： 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题 目给出的数据看，A，B，C 三个水库的供水量为 160，不超过四个区的基本生活用水 量与额外用水量之和 300，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是 900（50+60+50）=144000 元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用 450（50+60+50）=72000 元也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管 理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。 模型建立： 决策变量为 A，B，C 三个水库（i=1，2，3）分别向甲、乙、丙、丁四个区 （j=1，2，3，4）的供水量。设水库 i 向 j 区的日供水量为。由于C水库与丁区之间 ij x 没有输水管道，即=0，因此只有 11 个决策变量。 34 x 目标函数： 111213142122 min160130220170140130zxxxxxx 东北石油大学本科课程设计论文 8 2324313233 190150190200230 xxxxx(3 1) 约束条件： 11121314 50 xxxx(32) 21222324 60 xxxx33 31323334 50 xxxx34 112131 3080 xxx35 122232 70140 xxx36 132333 1030 xxx37 1424 1050 xx3 8 01,2,3;1,2,3,4 ij xij39 对该问题的求解程序见附件 1. 运行结果： 图3-1 LINGO软件求得的供水策略 从 LINGO 软件求得的结果可以看出：A 水库向乙区供水 50，B 水库向乙、丁区分 别供水 50，10，C 水库向甲，丙分别供水 40，10，饮水管理费为 24400 元，利润为 144000-72000-24400=47600 元 3.2 多目标规划经典案例 实例简介选课策略： 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学 课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表 2-2 所示。那么，毕业时如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多， 东北石油大学本科课程设计论文 9 他可以选修哪些课程？ 表 3-2 课程情况 课程编号课程名称学分所属类别先修课要求 1微积分5数学 2线性代数4数学 3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数 4数据结构3数学；计算机计算机编程 5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数 6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程 7计算机编程2计算机 8预测理论2运筹学应用统计 9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数 问题分析： 从问题中可以得知选修课程的数量为一个目标，获得的学分也是一个目标，因此 该问题属于多目标规划问题，应该应用多目标规划的知识求解。 模型建立： 用=1表示选修表 2-2 中按编号顺序的 9 门课程（=0表示不选； i x i x i=1,2,3，9） 。问题的选修课程总数最少这一目标为： 9 1 min i i zx 3 10 所获学分最多这一目标可以表示为： 123456789 max544343223wxxxxxxxxx3 11 要得到多目标规划问题的解，通常需要知道决策者对每个目标的重视程度，称为偏好 程度。即分别赋予每个目标一定的权重，例如该同学觉得学分数和课程数这两个目标 大致上应该三七开，这时可以将这两个目标函数分别乘以 0.7 和 0.3，根据我们多目标 函数化为单目标函数的知识理论，可以将以上两个目标函数组成一个单目标函数，y 有： min0.70.3yzw3 12 约束条件包括两个方面： 第一，每人最少要学习 2 门数学课、3 门运筹学课和 2 门计算机课。根据表中对每 门课程所属类别的划分，这一约束可以表示为 12345 2xxxxx3 13 35689 3xxxxx3 14 东北石油大学本科课程设计论文 10 4679 2xxxx3 15 第二，对于有先修课要求的课程，其约束条件可以表示为： 312 20 xxx3 16 47 0 xx3 17 512 20 xxx3 18 67 0 xx3 19 85 0 xx320 912 20 xxx321 1,2,90,1 i x i 322 LINGO 运行结果（LINGO 程序见附件 2）： 图 3-2 选课策略结果 3.3 非线性规划经典案例 实例简介原油采购与加工： 某公司用两种原油（A 和 B）混合加工成两种汽油（甲和乙） 。甲、乙两种汽油含 原油 A 的最低比例分别为 50%和 60%，售价分别为 4800 元/t 和 5600 元/t.该公司现有 原油 A 和 B 的库存量分别为 500t 和 1000t，还可以从市场上买到不超过 1500t 的原油 A.原油 A 的市场价为：购买量不超过 500t 时的单价为 10000 元/t；购买量超过 500t 但 不超过 1000t 时，超过 500t 的部分 8000 元/t；购买量超过 1000t 时，超过 1000t 的部分 6000 元/t.该公司应如何安排原油的采购和加工？ 问题分析：安排原油采购、加工的目标只能是利润最大，题目中给出的是两种汽 油的售价和原油 A 的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油 A 的支出之差。很明 东北石油大学本科课程设计论文 11 显，在我们建立模型的过程中将要用到分段函数，因此该模型属于非线性规划模型范 畴。 模型建立：设原油 A 的购买量为 x,根据题目所给数据，采购的支出 c(x)课表示为 如下是分段线性函数（以下价格以千元/t 为单位）： 10 10008 30006 x c xx x 0500 5001000 10001500 x x x 设原油 A 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为和，原油 B 用于生产甲、 11 x 12 x 乙两种汽油的数量分别为和，则本例的目标函数为： 21 x 22 x 11211222 max4.85.6zxxxxc x323 但是，对于这种非线性规划中含有分段函数的的模型，我们很难求解，于是我们 采用以下方法来化简该模型：将原油 A 的采购量 x 分解为三个量，即用，分 1 x 2 x 3 x 别表示以价格 10 千元/t、8 千元/t、6 千元/t 采购的原油 A 的数量，总的支出为 123 1086c xxxx 并且 123 xxxx 这时目标函数变为线性函数：223 11211222123 max4.85.61086zxxxxxxx224 约束条件： 根据加工两种汽油用的原油 A、原油 B 库存量的限制，和原油 A 购买量的限制， 以及两种汽油含原油 A 的比例限制可列得如下的不等式约束： 1112 500 xxx325 2122 1000 xx326 1500 x 327 11 1121 0.5 x xx 328 12 1222 0.6 x xx 329 由于只有当=500t时，才可以购买，即此时 0，这个条件可表示为： 1 x 2 x 2 x 12 5000 xx330 同理， 23 5000 xx331 123 0,500 x x x332 11122122 ,0 xx xxx 333 东北石油大学本科课程设计论文 12 LINGO 运行结果（LINGO 程序见附件 3）： 图 3-3 原油采购和加工的局部最优解 图 3-4 原油采购和加工的全局最优解 3.4 本章小结 本章主要根据典型例题更加详细的说明了目标规划和非线性规划的思想，并且利 东北石油大学本科课程设计论文 13 用 LINGO 软件对它们的经典案例进行了编程求解，同时感受到了 LINGO 在解决数学 规划问题中的强大功能。 东北石油大学本科课程设计论文 14 第 4 章 应用数学规划求解典型数学模型 随着全球经济的高速发展，改革开放的不断推进，社会主义市场经济在中国的不 断完善，金融投资在中国越来越普遍，无论年龄的高低、人们的学识渊博还是知识匮 乏，都是金融投资行业的一份子，全民投资的时代已经到来。然而投资是要承担风险 的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想， 对资金进行合理有效的配置，提高资金的使用效益，使投资者获得最优收益就显得尤 为重要。 4.1 问题重述 市场上有 n 种资产（如股票、债券、）Si( i=1,n)供投资者选择，某公司有数 额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产 进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si的平均收益率为 ，并预测出购买 Si 的风险 i r 损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干 i q 种资产时，总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来度量。购买 Si 要付交易费， 费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付 i p i u i u 费）。另外，假定同期银行存款利率是,且既无交易费又无风险。（=5%） 0 r 0 r 已知 n=4 时的相关数据如下： i S（%） i r（%） i q（%） i p（元） i u 1 S 282.51103 2 S 211.52198 3 S 235.54.552 4 S 252.66.540 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择的购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 试就一般情况对一般问题进行讨论，并利用以下数据进行计算（见附件 4） 。 4.2 问题分析 由于问题一和问题二都要求在所需投资资产数目和种类已知的情况下建立模型来 确定最优投资组合，因此我们先就一般情况（即设资产种类为 n）列出问题的模型，然 后分别根据问题一和问题二的数据编程求解。 在不考虑各项投资之间的相互影响的情况下，问题要我们做出一种决策，来确定 东北石油大学本科课程设计论文 15 每种资产的投资额。这是一个优化问题，目标函数包含两方面的要求：一是要求净收 益尽可能大，二是要求总风险尽可能低，即本题是一个双优化问题。一般情况下，这 两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，高收益往往意味着高风险， 反之也是一样的，所以我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案。但 是在一定的限制条件下，最佳投资组合还是可以确定的。 我们往往考虑在收益一定的情况下，决定风险最小的决策；或者在风险一定的情 况下，使得净收益最大；或者在收益和风险按确定好的偏好比例设计出最好的决策方 案。由于在实际生活中，不同的人对收益和风险的偏好程度不同，所以本文按照偏好 比例来对问题进行建模和求解。 4.3 模型假设 1. 投资数额M相当大，为便于计算，假设M=1； 2. n种资产之间是相互独立的； 3. 在投资的一段时间内，为定值，不受外界因素影响 i r i q i p 0 r 4. 净收益和总体风险只受 ，的影响，不受其它因素干扰 i r i p i q 4.4 符号说明 表 4-1 本章符号意义说明 n表示除储蓄外可以投资资产的数量 i S 表示第 i 种资产 1n S 表示储蓄存款，即选择存入银行 M表示资金总额 i r 表示第 i 种资产的平均收益率 i q 表示第 i 种资产的风险损失率 i p 表示第 i 种资产的交易费率 i u 表示第 i 种资产的购买额阈值 0 r 同期银行存款利率 i X投资占总额的比重（不含交易费率） ，以下简称投资 i S i Y投资的交易费占总额的比重，以下简称交易费 i S 1 f 表示组合投资的净收益 2 f 组合投资的总体风险 东北石油大学本科课程设计论文 16 权因子 4.5 模型的建立与求解 4.5.1 模型的建立 （一）基本模型 我们的目标是对各种资产投资以后, 不仅收益尽可能大, 同时总体风险还要尽可 能小, 所以我们的目标函数应为收益和风险两个函数。根据假设，在投资的一段时间 内各种资产的平均收益率和风险损失率是定值, 而且我们假定 M=1，因此我们可以建 立以下数学模型: 目标 1： 1 1 1 max() n iii i frXY 4 1 目标 2： 2 1 minmax() ii i n fq X 42 1 1 . .()1 n ii i stXY 43 其中 0 iii ii Yu p X p 0 0 i ii ii X Xu Xu 44 这是一个多目标非线性规划模型，并且当时，由于不是的连续函数，0 ii Xu i Y i X 故而目标函数 1 也不是连续函数，优化求解很困难。为此我们需要将以上模型转化为 一个线性规划模型。 （二）线性规划模型 1.目标函数的确定 该问题中要求收益最大、风险最小，而且一般情况下不同投资者对风险的偏好不 同，因此我们选择线性加权法来化多目标函数为单目标函数。因此总的目标函数为： 21 min1fff45 其中反映了投资者的风险偏好，它越小表示投资越冒险。特别地，表示只0 顾收益不顾风险，这样的人有可能获得最大收益；表示只顾风险而不顾收益，这1 样的人会将所有资金存入银行。 2.交易费函数的线性化近似 东北石油大学本科课程设计论文 17 由于在模型中出现了分段函数，我们很难对其进行优化，因此我们的首要问题是 将分段不连续函数表示为线性连续函数。为此，我们将表示为： i Y iii Yp X46 我们这样设置对阈值以下会有一定误差，担当投资规模充分大时，一方面，对于 前 n 种投资，如果确定要对它进行投资的话且投资规模很小的话，会白白浪费交易费， 对优化不利，因此最优解一般不会出现小的投资比例。另一方面，当投资总额很大时， 不足购买费阈值的追加费用对目标函数的影响不大。 3.风险函数的转化 令，那么必有.由于目标函数优化 f，从而最优解 22n Xf 2 1,2, iin q XXin 必可使达到.于是可得线性规划模型为： 1 max ii i n q X 2n X 1 2 1 min1 n iiin i fpr XX 47 1 1 2 11 . .0 01,2,2 n ii i iin i p X stq XX Xin 1,2,in48 4.5.2 模型的求解 利用 MATLAB 软件中的线性规划函数 linprog 对问题进行编程求解。对问题一求 解的 MATLAB 程序存放在附件 5 中，问题二的 MATLAB 求解程序存放在附件 6 中。 以下分别为问题一和问题二的求解结果： 对问题一的求解结果为： 图 4-1 n=4 时的优化结果 对问题一所得结果进行统计分析，对不同的风险偏好所对应的投资组合进行汇总， 汇总结果如表 4-2 所示： 东北石油大学本科课程设计论文 18 表 4-2 问题一的投资组合 i S 00.1 0.7 0.80.9 1 1 S 0.99010.99010.36900.23760.0000 2 S 0.00000.00000.61500.39600.0000 3 S 0.00000.00000.00000.10800.0000 4 S 0.00000.00000.00000.22840.0000 存银行 0.00000.00000.00000.00001.0000 净收益 0.26730.26730.21650.20160.0500 风险 106.07470.02480.00920.00590.0000 对问题二的求解结果为： 图 4-2 一般情况下的优化结果 a) b) 对问题二的投资组合进行汇总，汇总结果如表 4-3 所示： 东北石油大学本科课程设计论文 19 表 4-3 问题二的投资组合 00.10.20.30.4-0.50.6-0.70.80.9-1 10.00000.00000.00000.00000.00000.00000.08740.0000 20.00000.00000.20510.00000.00000.00000.06800.0000 30.94340.94340.00000.16580.12690.10710.06120.0000 40.00000.00000.00000.00000.00000.15310.08740.0000 50.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 60.00000.00000.00000.00000.00000.00000.09420.0000 70.00000.00000.18100.14630.11190.09450.05400.0000 80.00000.00000.00000.00000.22790.19250.11000.0000 90.00000.00000.00000.18670.14280.12060.06890.0000 100.00000.00000.30770.24870.19030.16070.09180.0000 110.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 120.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 130.00000.00000.26760.21630.16550.13980.07980.0000 140.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 150.00000.00000.00000.00000.00000.00000.15970.0000 存 银 行 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000 净 收 益 0.40940.40940.34330.33520.32050.30500.21300.0500 风 险 119.25320.56600.12310.09950.07610.06430.03670.0000 4.6 结果分析 （1）从表4-2中得到问题一有五个典型最优组合,从表4-3中得知问题二有八个典型 最优组合。对于不同风险承受能力,选择该风险水平下的最优投资组合。例如:对问题 一：若风险承受水平是0.02, 那么取=0.2时的决策方案。 权重 投资 东北石油大学本科课程设计论文 20 （2）我们以问题一中的收益、风险和权重的相关数据做出他们之间的关系，如图 4-3所示: 图 4-2 收益和风险随权重的变化趋势 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 200 220 240 260 280 收 收 收 收 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 50 100 150 收 收 收 收 从图中发现，净收益和风险都是权重的单调下降函数，说明谨慎程度越强，风 险越小但收益也越小，具有明确的实际意义 （3）从图4-1和图4-2中，我们发现当=0时的收益为所有偏好程度中的最大收益， 但这时风险也是较其它偏好程度的最大风险，而且风险的增大倍数远远大于收益的增 大倍数，这就意味着在现实生活中的风险偏好者可能做出的决策。当=1时，风险为 0，具有这种偏好的人将资金存入了银行，这是风险躲避者的人做出的决策。这两种极 端情况也具有明确的实际意义，与现实生活吻合的较好。 4.7 模型评价 （1）模型的最大优点是: 计算过程稳定性好,而且速度快，我们对各种加权因子, 求得了最优化决策方案，使投资者可以根据自己的风险偏好程度，选择相应的投资组 合，获取最大利润。 （2）模型的缺点是：当对某项资产的投资小于其阈值或者投资总额相对较少时， 该线性规划模型所求的解可能不是最优解，结果的正确性与投资总额M有关。即该模 型适用于投资总额较大的投资者使用。 4.8 本章小结 东北石油大学本科课程设计论文 21 本章研究的是投资的收益和风险决策模型，应用本文前两章所介绍的目标规划和 非线性规划的方法理论，并结合MATLAB和LINGO两种优化软件，对模型进行了求解。 本章首先通过对实际问题的分析，列出了关于双目标规划和非线性规划的基本模型。 其后，通过结合实际背景，根据投资者的风险偏好、采用线性加权综合两个设计目标， 对目标函数进行了简化，而且对交易费函数合理的进行了线性化近似。最后，通过将 风险函数转化为决策变量，我们在原有基础模型的基础上增加了转化风险函数的约束 条件后就将模型合理的化为了线性规划模型，并借助MATLAB软件得到了最优决策。 东北石油大学本科课程设计论文 22 结 论 随着人类的社会实践，数学规划的知识和思想在越来越多的领域显示了它的应用 性和实用性。它是指在一系列客观或主观限制条件下寻求合理分配有限资源使所关注 的某个或多个指标达到最大或最小的数学理论和方法。我们社会中的每个人