2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题18 恒成立问题——最值分析法.doc

专题18 恒成立问题最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 最值法：讨论最值或恒成立； 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法-最值分析法.1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【经典例题】例1【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在R上的偶函数f(x)在0,+上单调递减，若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)2f(1)对任意x1,3恒成立，则实数a的取值范是（ ）A. 1e,2+ln33 B. 1e,e C. 1e,+ D. 2,e【答案】A【解析】 因为定义在R上的偶函数fx在(0,+)上递减，所以fx在(-,0)上单调递增， 若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)2f(1)对于x1,3上恒成立， 则2f(ax-lnx-1)2f(1)对于x1,3上恒成立，即f(ax-lnx-1)f(1)对于x1,3上恒成立，（2）当1a3，即0a13时，gx0在1,3上恒成立，gx单调递减， 因为最大值g1=a2，最小值g3=3a-ln30，所以ln33a2， 综合可得，a无解， （3）当11a3，即13a1时，在(1,1a)上，gx0恒成立，gx单调递增， 故函数最小值为g(1a)=1-ln1ag(1)=a,g(3)=3a-ln3,g(3)-g(1)=2a-ln3， 若2a-ln30，即ln3a0，则最大值为g3=3a-ln3， 此时，由1-ln1a0,g3=3a-ln32，求得1ea2+ln33， 综上可得ln3a1； 若2a-ln30，即13a12ln3=ln3，因为g3-g10，则最大值为g1=a， 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得0ax-lnx2在x1,3上恒成立，令gx=ax-lnx，求的函数gx的最大值和最小值，从而得到实数a的取值范围.例2.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2m，对任意x-2,2恒成立，则m的取值范围是( )A. -,7 B. -,-20 C. -,0 D. -12,7【答案】B【解析】设y=x33x29x+2，则y=3x26x9，令y=3x26x9=0，得x1=1，x2=3，32，2，x2=3（舍），列表讨论：f（2）=812+18+2=0，f（1）=13+9+2=7，f（2）=81218+2=20，y=x33x29x+2在x2，2上的最大值为7，最小值为20，关于x的不等式x33x29x+2m对任意x2，2恒成立，m20，故选：B例3已知函数，曲线在点处的切线方程为.其中为自然对数的底数（1）求的值（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）1,1；（2）.【解析】解：（1） （2）思路：恒成立不等式为：，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于的符号不确定（以为界），从而需进行分类讨论.当时，不等式变形为：，设，可观察到，则若要时，则需，进而解出，再证明时，即可.将的范围缩至时再证明时，即可.解：由（1）可得恒成立的不等式为：当时， 设，可得 在单调递增 ，即不等式恒成立当时， 同理，在单调递增 即时不等式在 恒成立综上所述， . 例4设函数（其中），已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.解：令，只需 令均成立， （上一步若直接求单调增区间，则需先对的符号进行分类讨论.但通过代入（，便于计算），解得了要满足的必要条件，从而简化了步骤.）解得 下面根据是否在进行分类讨论： 在单调递增. 则减增 恒成立，故满足条件综上所述：点睛：本道题的亮点在于代入以缩小的范围，并不是边界点，但是由于易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画的范围，故首选例5.【浙江高考题】设函数（1）若为的极值点，求实数（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）是的极值点或，经检验符合题意 （2）思路一：恒成立的不等式为，考虑选择最值法 当时，无论为何值，不等式恒成立（的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除，缩小的取值范围以方便后期讨论） ，记 恒成立，所以 （通过特殊值代入缩小的范围，便于分析讨论） （解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到与的关系：) 单调递增 若，只需点睛：本题有以下几处亮点：1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生2、对极值点的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题思路二：参变分离法：当时，无论为何值，不等式恒成立考虑,则不等式(体会将范围缩小后所带来的便利） 恒成立则只需成立设，在单调递增，再设,令即,由左边可得时，而单调递增，由此可得,(单调性+根符号）在单调增，在单调递减.故综上所述：点睛：思路二有另外几个亮点：1、缩小自变量范围的作用：使为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用2、在处理的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号.其中的单调性可以快速判断.增，增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数.例6.【2018届湖南省永州市高三下学期三模】已知f(x)=2aex-1+2alnx-b2,g(x)=2e2x-2+2ln2x-b22+a2.（1）若对任意的实数a，恒有f(x)g(x)，求实数b的取值范围；（2）当2a4,b=-10a时，求证：方程f(x)=2ex-1+ex恒有两解.【答案】()(-1,2)；()详见解析（）方程f(x)=2aex-1+ex化为ex-2alnx-5a=0，令h(x)=ex-2alnx-5a，利用导数求得函数hx的单调性与最值，得到h(x)在(e-3,x0)和(x0,e2)各有一个零点，即可得方程f(x)=2aex-1+ex恒有两解 试题解析：（）要使f(x)g(x)恒成立，即使2aex-1+2alnx-b20，只要保证0，=4(ex-1+lnx)2-4(2e2x-2+2ln2x-b22+b2)=-4e2x-2-4ln2x+8ex-1lnx+2b2-2b0，(ex-1-lnx)212b2-12b（i） 下面探究（i）式成立的条件，令t(x)=ex-1-lnx，t(x)=ex-1-1x，t(1)=0，当x(0,1)时，t(x)0， h(x)在（0，）上单调递增，h(1)=e-2a0，存在x0(1,2)使h(x0)=0，即ex0=2ax0，x0=2aex0，h(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增， h(x)在x0处取得最小值h(x0)=ex0-2alnx0-5a=2ax0-2aln2aex0-5a =2a(1x0+x0)-2aln2a-5a，1x0+x0(2,52)，h(x0)0，h(e2)=ee2-9a0，h(x)在(e-3,x0)和(x0,e2)各有一个零点，故方程f(x)=2aex-1+ex恒有两解点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解、函数的综合问题，同时注意数形结合思想的应用例7.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模（420模拟）】已知函数fx=x3-6x2+ax+ba,bR的图象在与x轴的交点处的切线方程为y=9x-18.（1）求fx的解析式；（2）若21x+k-80fx9x+k对x1,5恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）fx=x3-6x2+21x-26（2）9,22试题解析：（1）由9x-18=0得x=2.切点为2,0.fx=3x2-12x+af2=a-12=9a=21,又f2=8-24+2a+b=0b=-26，fx=x3-6x2+21x-26.（2）由fxfx-9x=x3-6x2+12x-26.设gx=x3-6x2+12x-26，gx=3x2-4x+4=3x-220对x1,5恒成立，gx在1,5上单调递增综上，k的取值范围为9,22.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（afxmin即可）； 数形结合(y=fx 图象在y=gx 上方即可)； 讨论最值fxmin0或fxmax0恒成立； 讨论参数.例8.【2018届湖南省益阳市高三4月调研】已知函数fx=2e+1lnx-3a2x+1（aR，e为自然对数的底数）.（1）讨论函数fx的单调区间；（2）当a=23时，xex+mfx恒成立，求实数m的最小值.【答案】(1)单调递增区间是0,22e+13a，单调递减区间是22e+13a,+.(2)-e.【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由fx0可求出函数的增区间，fx0对任意x0,+恒成立，所以函数fx的单调递增区间是0,+，无单调递减区间；当a0时，令fx0，得0x22e+13a；令fx22e+13a；所以函数fx的单调递增区间是0,22e+13a，则gx=ex+xex-2e+1x+1.显然gx在区间0,+上单调递增，且g1=0，所以当x0,1时，gx0；所以函数gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+上单调递增.所以gxmin=g1=e+m-0+1-10，解得m-e.即实数m的最小值是-e.点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式fx0和fx0，若关于x的不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围；（2）当nN*时，证明：n2n+4ln22+ln232 +ln2n+1nnn+1.【答案】（1）-1,+).（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由f(x)0，得-alnx+1x恒成立，令F(x)=lnx+1x.求出F(x)的最小值，即可整理，得-alnx+1x恒成立，即-a(lnx+1x)min.令F(x)=lnx+1x.则F(x)=1x-1x2=x-1x2.函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.函数F(x)=lnx+1x的最小值为F(1)=1.-a1，即a-1.a的取值范围是-1,+).（2）n2n+4为数列1(n+1)(n+2)的前n项和，nn+1为数列1n(n+1)的前n项和.即2lnn+1n1nn+1 =n+1-nnn+1 =n+1n-nn+1. (*)现证明2lnx1).构造函数G(x)=x-1x-2lnx (x1)，则G(x)=1+1x2-2x =x2-2x+1x20.函数G(x)在-1,+)上是增函数，即G(x)G(1)=0.当x1时，有G(x)0，即2lnxx-1x成立.令x=n+1n，则(*)式成立.综上，得1(n+1)(n+2)ln2n+1n 1n(n+1).对数列1(n+1)(n+2)，ln2n+1n，1n(n+1)分别求前n项和，得n2n+4ln22+ln232 +ln2n+1n0时，g(x)0恒成立；且f(x)满足：对xR，都有f(x+3)=f(x-3)；当x-3,3时，f(x)=x3-3x.若关于x的不等式gf(x)g(a2-a+2)对x-32-23,32-23恒成立，则a的取值范围是（ ）A. R B. 0,1 C. 12-334,-12+334 D. (-,01,+)【答案】D【解析】函数g(x)满足：当x0时，g(x)0恒成立，函数g(x)为R上的偶函数，且在0，+)上为单调递增函数，且有g(|x|)=g(x)，gf(x)g(a2-a+2)，x-32-23，32-23恒成立|f(x)|a2-a+2|恒成立，只要使得定义域内|f(x)|max|a2-a+2|min，由f(x+3)=f(x-3)，得f(x+23)=f(x)，即函数f(x)的周期T=23，x-3，3时，f(x)=x3-3x，求导得f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，该函数过点故选D【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得x-3，3时，f(x)=x3-3x的值域为-2，2， 还考查了函数恒成立2【2018届（衡水金卷调研卷）三】若存在x1e,e，不等式2xlnx+x2-mx+30成立，则实数m的最大值为（ ）A. 1e+3e-2 B. 2+e+3e C. 4 D. e2-1【答案】A【解析】2xlnx+x2-mx+30m2lnx+x+3x设hx=2lnx+x+3x，则hx=2x+1-3x2=x+3x-1x2当1ex1时，hx0，hx单调递减 当10，hx单调递增存在x1e，e，m2lnx+x+3x成立mhxmax，h1e=-2+1e+3e，he=-2+e+3eh1ehem1e+3e-2故选A.点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础.3【2018年高考理科数学原创押题预测卷01】已知函数f(x)=mxlnx，若关于x的不等式fxx-1在0，+上恒成立，则m的值为A. 1 B. 3 C. 12 D. 13【答案】AF(x)min=F(e1-mm)=1-me1-mm，要使F(x)0恒成立，须使1-me1-mm0恒成立.即e1-mm1m恒成立，两边取对数得，1-mmln1m，整理得lnm+1m-10.令gm=lnm+1m-1，则gm=m-1m2，显然当0m1时，gm1时，gm0于是函数gm在0，1上单调递减，在1，+单调递增.gmmin=g1=0，g(m)=0,m=1，故选A4若函数fx=kx-lnx在区间1,+上单调递增，则k的取值范围是_【答案】1,+)【解析】分析：求出导函数f（x），由于函数f（x）=kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立，变量分离求最值即可详解：f（x）=k1x，函数f（x）=kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k1x，而y=1x在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故答案为：1，+）5函数f(x)=x3-2x+c,g(x)=lnx+1，若f(x)g(x)恒成立，则实数c的取值范围是_【答案】c2【点睛】本小题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立,问题,考查利用导数研究函数的单调性,极值和最值等知识.首先根据fxgx,对函数进行分离常数,这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值,根据这个最值来求得参数的取值范围.6【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】若对任意的x1,5，存在实数a，使2xx2+ax+b6x (aR,b0)恒成立，则实数b的最大值为_【答案】9【解析】若对任意的x1,5，2xx2+ax+b6x (aR,b0)恒成立，可得：-x+bx+2a-x+bx+6恒成立，令fx=-x+bx+2，gx=-x+bx+6，(2)当b5,b25时，fxmax=f5=-3-b5，gxmin=g1=5-b，原问题等价于存在实数a满足：-3-b5a5-b，故-3-b55-b，解得：b10，则此时b；(3)当1b5,1b0,b5时，gxmin=g5=1-b5，原问题等价于存在实数a满足：2-2ba1-b5，故2-2b1-b5，解得：5-25b5+25，则此时1b5；当4-45b0,b5时，gxmin=g1=5-b，原问题等价于存在实数a满足：2-2ba5-b，故b+1b-3k(1-1x)在x(1,+)上恒成立，求k的最大值【答案】（1）a=1，f(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增；（2）7.而得到g(x)min=g(x0)，进而求范围即可. 详解：(1)f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1x-2ax2=x-2ax2，x=a处的切线斜率为f(a)=a-2aa2=-1a因此切线方程为y-f(a)=-1a(x-a)，即y-lna-1-2aa=-1a(x-a) 又切线过(0,4)，代入上式解得a=1，f(x)=x-2x2可得f(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增 （2）x(1,+)时，1-1x 0，2f(x)k(1-1x)等价于k2(lnx+1+2x)1-1x记g(x)= 2(lnx+1+2x)1-1x =2(xlnx+x+2)x-1，g(x)=2(x-lnx-4)(x-1)2 由零点存在定理可知，存在x0(5.5,6)，使得(x0)=0，即x0-lnx0-4=0 且x(1,x0)时，g(x)0故x(1,x0)时，g(x)单调递减，x(x0,+)时，g(x)单调递增g(x)min=g(x0) =2(x0lnx0+x0+2)x0-1由可得g(x)min=g(x0)=2x0(x0-4)+x0+2x0-1 =2(x0-2) (7,8) 故k的最大值为7点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min0 ，若f(x)0恒成立f(x)maxg(x) 恒成立，可转化为f(x)ming(x)max（需在同一处取得最值） .8已知函数fx=ax-1-lnx，xR.（1）讨论函数fx的单调区间；（2）若函数fx在x=1处取得极值，对x0,+，fxbx-2恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1) 当a0时， fx的单调递减区间是0,+，无单调递增区间；当a0时，fx的单调递减区间是0,1a，单调递增区间是1a,+;(2) b1-1e2.详解：（1）在区间0,+上， fx=a-1x=ax-1x，当a0时， fx0时，令fx=0得x=1a，在区间0,1a上，fx0，函数fx单调递增.综上所述：当a0时， fx的单调递减区间是0,+，无单调递增区间；当a0时，fx的单调递减区间是0,1a，单调递增区间是1a,+（2）因为函数fx在x=1处取得极值， 所以f1=0，解得a=1，经检验可知满足题意由已知fxbx-2，即x-1-lnxbx-2，即1+1x-lnxxb对x0,+恒成立，令gx=1+1x-lnxx，则gx=-1x2-1-lnxx2=lnx-2x2，易得gx在0,e2上单调递减，在e2,+上单调递增，所以gxmin=ge2=1-1e2，即b1-1e2.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min0，若f(x)0恒成立，转化为f(x)maxg(x)恒成立，可转化为f(xmin)g(x)max9已知全集U=R,A=x|-x2+3x-20, B=x|2|x-1|1.(1)求集合AB；(2)函数f(x)=xlnx-ax, g(x)=x-2，对一切xA，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）AB=1,2（2）a2+1(x)=lnx+2x-1，结合导函数研究函数的单调性可得x的最小值为(2)=ln2. 则a2+1.试题解析：（1）求解一元二次不等式可得A=1,2，求解分式绝对值不等式可得B=-1,11,3，AB=1,2.(2) 由f(x)g(x)得xlnx-axx-2对一切x 1,2恒成立.alnx+2x-1对一切x 1,2恒成立. 令(x)=lnx+2x-1，(x)=1x-2x2=x-2x2 ，x在1，2上单调递减，x在2，2上单调递增；x的最小值为(2)=ln2. a2+1.10【2018届【衡水金卷】已知函数f(x)=lnx+k，g(x)=ex，其中k为常数，e=2.71828是自然对数的底数.（1）设F(x)=f(x)g(x)，若函数F(x)在区间1e,e上有极值点，求实数k的取值范围；（2）证明：当k=1时，1-xf(x)0，即h(1e)h(e).故若函数F(x)在1e,e上有极值点，只需h(1e)=e-1+k0,h(1)=1+k0,则1-ek-1，所以k的取值范围为(1-e,-1).（2）由题意，知要证1-xlnx-x0，当x(e-2,+)时，m(x)1+e-2.综上，当k=1时，1-xlnx-x(1+e-2)exx+1.命题得证.11【2018届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数f(x)=ex(3x-2)，g(x)=a(x-2)，其中a,xR.（1）求过点(2,0)和函数y=f(x)的图像相切的直线方程；（2）若对任意xR，有f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f(x0)g(x0)，求a的取值范围.【答案】（1）y=x-2，y=9e83x-18e83.（2）1a9e83.（3）a53e,1)(7e3,5e4.【解析】试题分析：（1）先设切点为(x0,y0)，求导可得切线斜率为ex0(3x0+1)，再建立切线方程为y-y0=ex0(3x0+1)(x-x0)，将(2,0)代入方程可得3x02-8x0=0，即x0=0,83，进而求得切线方程为：y=x-2或y=9e83x-18e83.（2）将问题转化为对任意xR有ex(3x-2)a(x-2)恒成立，当x(-,2)时，aex(3x-2)x-2aex(3x-2)x-2max，利用导数工具求得Fmax(x)=F(0)=1，故此时a1；当x=2时，恒成立，故此时aR；当x(2,+)时，aex(3x-2)x-2aex(3x-2)x-2min，利用导数工具求得Fmin(x)=F(83)=9e83，故此时a9e83.综上：1a9e83.（3）因为f(x)g(x)，由（2）知a(-,1)(