2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题四 数列 第1讲 等差数列与等比数列教案 理.doc

第1讲等差数列与等比数列1.(2018全国卷,理4)设Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于(B)(A)-12(B)-10(C)10(D)12解析:设等差数列an的公差为d,由3S3=S2+S4,得33a1+3(3-1)2d=2a1+2(2-1)2d+4a1+4(4-1)2d,将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.故选B.2.(2017全国卷,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(B)(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏解析:依题意可知,S7=381,q=2,所以S7=a1(1-27)1-2=381,解得a1=3.故选B.3.(2016全国卷,理3)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于(C)(A)100(B)99(C)98(D)97解析:9a1+982d=27,a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,a100=a1+(100-1)d=-1+99=98.故选C.4.(2017全国卷,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为(C)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:设等差数列首项为a1,公差为d,则a4+a5=2a1+7d=24,S6=6a1+652d=6a1+15d=48,由得d=4.故选C.5.(2017全国卷,理9)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为(A)(A)-24(B)-3(C)3(D)8解析:由a2,a3,a6成等比数列且a1=1得(1+2d)2=(1+d)(1+5d).因为d0,所以d=-2,所以S6=61+652(-2)=-24.故选A.6.(2016全国卷,理15)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.解析:设等比数列an的公比为q,则a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5,解得q=12,a1=8,a1a2an=a1nq1q2qn-1=a1nqn(n-1)2=8n12n(n-1)2=2-n2+7n2=2-(n-72)2+4942.当n=3或4时,a1a2an有最大值64.答案:647.(2018全国卷,理14)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.解析:因为Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以数列an是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以Sn=a1(1-qn)1-q=-1(1-2n)1-2=1-2n,所以S6=1-26=-63.答案:-638.(2018全国卷,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.(2)由(1)得Sn=a1+an2n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.1.考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第2527页) 等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2018山东济南二模)已知an是公差为2的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S5=15,则a5等于()(A)3(B)5(C)7(D)9(2)(2018湖南省两市九月调研)已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则a7-a9a5-a7的值为()(A)3(B)5(C)9(D)25(3)(2018福建百校高三临考冲刺)若干个连续奇数的和3+5+7+(4n-1)等于()(A)2n2+n(B)n2+2n(C)4n2+2n(D)4n2-1解析:(1)由题得S5=5a1+5422=5a1+20=15,所以a1=-1,所以a5=a1+4d=-1+8=7.故选C.(2)因为an是等比数列,所以a4=a5q,a7=a5q2,所以a4a7=a52q=9q=45,所以q=5,所以a7-a9a5-a7=(a5-a7)q2a5-a7=25.故选D.(3)把连续的奇数数列加1减1变成1+3+5+7+(4n-3)+(4n-1)-1,把相邻两项的和看成一个新的数列,为4+12+20+(8n-4)-1,所以变成首项a1=4,d=8的等差数列,所以Sn=4n+n(n-1)28-1=4n+4n2-4n-1=4n2-1.故选D.解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.热点训练1:(1)(2018柳州一模)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”,今共有粮98石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知乙分得28石,则“衰分比”为()(A)12(B)2(C)12或2(D)-12或12(2)(2018贵阳一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1=12,a2a6=8(a4-2),则S2 018等于()(A)22 017-12(B)1-122 017(C)22 018-12(D)1-122 018(3)(2018宜昌模拟)已知数列an满足5an+1=255an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)等于()(A)-3(B)3(C)-13(D)13解析:(1)设“衰分比”为q,则28q+28+28q=98,解得q=2或12,因为0q0,则其前n项和取最小值时的n的值为()(A)6(B)7(C)8(D)9(3)(2018河南洛阳市联考)在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16a9的值为()(A)-2+22(B)-2(C)2(D)-2或2(4)(2018浙江温州市一模)已知数列an是公差不为0的等差数列,bn=2an数列bn的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A,B,C,则()(A)A+B=C(B)B2=AC(C)(A+B)-C=B2(D)(B-A)2=A(C-B)解析:(1)由题得S7=72(a1+a7)=722a4=7a4=715=105.故选D.(2)等差数列的公差为正数,则a11=-a6,所以a6+a11=a8+a9=0,据此可得a80,故其前n项和取最小值时的n的值为8.选C.(3)因为a2,a16是x2+6x+2=0的两根,所以a2a16=2,又因为a2a16=a92,所以a92=2,所以a9=2,所以a2a16a9=22=2.选D.(4)因为an是公差不为0的等差数列,所以bn是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,可得A,B-A,C-B成等比数列,所以可得(B-A)2=A(C-B).故选D.(1)等差数列的主要性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,特别是m+n=2p(m,n,pN*)时,am+an=2ap,由此可得在等差数列中S2n-1=nan;把等差数列等距分段,各段之和还是等差数列;若an00,an0+10,则Sn0的值最大,若an00,则Sn0的值最小.(2)等比数列的主要性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,特别是m+n=2p(m,n,pN*)时,aman=ap2;把公比不等于-1的等比数列等距分段后,各段之和还是等比数列,若公比等于1,则各段之和既成等比数列也成等差数列.热点训练2:(1)(2018辽宁沈阳育才学校一模)在等差数列an中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9等于()(A)60(B)75(C)90(D)105(2)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,a7+a10=a8+a90,a90,所以n=8时,数列an的前n项和最大.答案:(1)B(2)8等差数列、等比数列的判定【例3】 (1)(2018凯里校级三模)已知数列an满足an+1=2an+2n+1,且a1=2.证明:数列an2n是等差数列;设数列cn=ann-log2ann,求数列cn的前n项和Sn.(2)(2018云南玉溪高三适应训练)已知数列an满足Sn=2an-n(nN*).证明:an+1是等比数列;求a1+a3+a5+a2n+1(nN*).(1)证明:由数列an满足an+1=2an+2n+1,且a1=2,两边除以2n+1得an+12n+1=an2n+1,即an+12n+1-an2n=1,又a121=1.所以an2n是以1为首项,公差为1的等差数列.解:由(1)得an2n=1+(n-1)1=n,所以an=n2n,所以cn=ann-log2ann=2n-n,所以数列cn的前n项和Sn=(21-1)+(22-2)+(23-3)+(2n-n)=(2+22+23+2n)-(1+2+3+n)=2(1-2n)1-2-n(n+1)2=2n+1-n(n+1)2-2,故数列cn的前n项和Sn=2n+1-n(n+1)2-2.(2)证明:由S1=2a1-1得a1=1,因为Sn-Sn-1=(2an-n)-2an-1-(n-1)(n2),所以an=2an-1+1,从而由an+1=2(an-1+1),因为a1+1=20,所以an+10,所以an+1an-1+1=2(n2),所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列.解:由得an=2n-1,所以a1+a3+a5+a2n+1=(2+23+22n+1)-(n+1)=2(1-4n+1)1-4-(n+1)=22n+3-3n-53.判断或证明一个数列为等差数列、等比数列的基本方法是定义法,即数列an,若满足对任意正整数n,an+1-an=d(常数)则其为等差数列,若满足对任意正整数n,an+1an=q(非零常数),则其为等比数列,其他证明方法均为定义法的直接应用或者变形.若通过递推关系an+1=qan判定数列an为等比数列时,一定要先判断a10,否则证明是不完善的.热点训练3:(1)(2018漳州二模)已知数列an满足nan-(n+1)an-1=2n2+2n(n=2,3,4,),a1=6.求证:ann+1为等差数列,并求出an的通项公式;数列1an的前n项和为Sn,求证:Sn0,Sn2=an+12-Sn+1,其中为常数.证明:Sn+1=2Sn+;是否存在实数,使得数列an为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.(1)解:nan-(n+1)an-1=2n2+2n(n=2,3,4,),a1=6,可得ann+1-an-1n=2,则ann+1是以首项为3,公差为2的等差数列,可得ann+1=3+2(n-1)=2n+1,则an=(n+1)(2n+1).证明:由1(n+1)(2n+1)12n(n+1)=121n-1n+1,可得数列1an的前n项和Sn=1a1+1a2+1an16+1212-13+13-14+1n-1n+1=16+1212-1n+116+14=512,即Sn0,所以Sn+10,所以Sn+1-2Sn-=0,所以Sn+1=2Sn+.解:存在.因为Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),相减得an+1=2an(n2),所以an从第二项起成等比数列,因为S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,所以a2=1+0得-1,所以an=1,n=1,(+1)2n-2,n2,若使an是等比数列,则a1a3=a22,所以2(+1)=(+1)2,所以=-1(舍去)或=1,经检验=1符合题意.等差、等比数列的综合【例4】 (2018郑州三模)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为Sn,若a2+a8=22,且a4,a7,a12成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若Tn=1S1+1S2+1Sn,证明:Tn34.(1)解:因为an为等差数列,且a2+a8=22,所以a5=12(a2+a8)=11,由a4,a7,a12成等比数列,得a72=a4a12,即(11+2d)2=(11-d)(11+7d),因为d0,所以d=2,所以a1=11-42=3,故an=2n+1(nN*).(2)证明:因为Sn=n(a1+an)2=n(n+2),所以1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2,所以Tn=1S1+1S2+1Sn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+234,故Tn34.解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想,即列出等差数列、等比数列基本量的方程或者方程组,解方程或者方程组求得基本量,求出等差数列、等比数列的通项公式,在此基础上求解其他问题.热点训练4:(2018江西南昌二模)已知各项均为正数且递减的等比数列an满足:a3,32a4,2a5成等差数列,前5项和S5=31.(1)求数列an的通项公式;(2)若等差数列bn满足b1=a4-1,b2=a3-1,求数列abn的前n项和.解:(1)由a3,32a4,2a5成等差数列得3a4=a3+2a5,设an公比为q,则2q2-3q+1=0,解得q=12或q=1(舍去),所以S5=a1(1-125)1-12=31,解得a1=16.所以数列an的通项公式为an=1612n-1=12n-5.(2)设等差数列bn的公差为d,由b1=a4-1,b2=a3-1得b1=1,d=a3-a4=4-2=2,所以bn=2n-1,abn=122n-6,数列abn的前n项和Tn=12-4+12-2+122n-6=16(1-14n)1-14=6431-14n. 【例1】 (1)(2018陕西省西工大附中八模)已知等差数列1,a,b,等比数列4,a-1,b+4,则该等比数列的公比为()(A)52(B)-12(C)52或-12(D)10或-2(2)(2018江西赣州红色七校联考)已知等差数列an的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则a1+a5+a9a2+a3等于()(A)6(B)5(C)4(D)3解析:(1)根据题意,得1+b=2a,(a-1)2=4(b+4),解得a=-1,b=-3或a=11,b=21,因为等比数列的公比为a-14,所以公比为-12或52.故选C.(2)由题意,设等差数列an的首项为a1,公差为d,因为a2,a4,a8成等比数列,所以a42=a2a8(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得d=a1,所以a1+a5+a9a2+a3=3a1+12d2a1+3d=15a15a1=3.故选D.【例2】 (2018福建泉州5月质检)已知等差数列an中,a1=2,a2+a4=16.(1)设bn=2an,求证:数列bn是等比数列;(2)求an+bn的前n项和.(1)证明:设an的公差为d,由a2+a4=16,可得(a1+d)+(a1+3d)=16,即2a1+4d=16,又a1=2,可得d=3,故an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1,依题意,bn=23n-1,因为bn+1bn=23n+223n-1=23=8,故bn是首项为4,公比为8的等比数列.(2)解:an的前n项和为n(a1+an)2=n(3n+1)2,bn的前n项和为b1-bnq1-q=4-23n-1231-8=1723n+2-47,故an+bn的前n项和为n(3n+1)2+1733n+2-47.【例3】 (2018湖南岳阳一中一模)已知数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列.(1)求证:数列Sn+n+2成等比数列;(2)设bn=nan,求数列bn前n项和Tn.(1)证明:因为n,an,Sn成等差数列,所以2an=n+Sn,又an=Sn-Sn-1(n2),所以2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即Sn=2Sn-1+n,所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2,即Sn+n+2=2Sn-1+(n-1)+2.又因为S1+1+2=40,所以Sn+n+2是首项为4,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)知Sn+n+2是以4为首项,2为公比的等比数列,所以Sn+n+2=42n-1=2n+1,又2an=n+Sn,所以2an+2=2n+1,所以an=2n-1,故bn=nan=n(2n-1)=n2n-n,所以Tn=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n),Tn=2+(n-1)2n+1-n(n+1)2.【例4】 (2018江西二模)已知等差数列an的公差d0,a1=0,其前n项和为Sn,且a2+2,S3,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(2n+2)22n+Sn+1,数列bn的前n项和