高三数学递推数列求通式公式教案.doc

递推数列求通式公式专题一：由数列的前几项写通项公式 例1（1）1 （2） （3）1 ，0 ，-1 ，0 ，1 ，0 ，-1，0 （4）1，3，7，15，31专题二：由求例2：已知数列1，2，4， 的前项和 求及， 例3：设数列的前项和为，已知， 设，求数列的通项公式？答：依题意， 即，由此得 因此 可求通项公式为 练习： 数列的通项公式？专题三：求数列的最大 小项。 例3：已知数列的通项公式 （）试求该数列有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数，若没有，说明理由。练习：已知 （），则该数列在前30项中，最大项与最小项是第几项？专题四：递推数列通项公式的求法请牢记以下各种类型的递推数列及的求法，考试一般就如下类型。1 （能够求和） 方法累加法 法 例1：在数列中， ， 求数列的通项公式？ 答案 2. 方法累乘法 法 例2: 在数列中， ,求数列的通项公式？ (提示) 答案3. ( ,为常数): 方法 参数法 方法 方程组法 例3: 在数列中, ,求数列的通项公式？ 法(参数法) 设 对比已知 令 则数列是以 为首项,公比为2的等比数列.法(方程组法) 由 ,故得:,这是数列以为首项,2为公比的等比数列. 4. 例4. 在数列中, 求数列的通项公式？解:由已知,令练习: 在数列中, ,且,求数列的通项公式？解:由 有法一: (待定系数法) 设 则 整理有 所以 则 法二: 有,设,由 用迭带法解之, (注右边当作两数列,等比,与等比差数列,故能求和)5.分式递推数列,一般取”倒”的方法: 形式 例5. 在数列中, , 求数列的通项公式？解: ,令则有.6.(第5类型变形)类型,一般处理为:若,则转化为从而为等差数列 .若,则可化为 ,即转化为类型3.例6. 已知数列满足, ,求数列的通项公式？解:由题薏知:, ,是首项为,公比为的等比数列. 即练习: 已知数列满足,当时,其前项和满足,求数列的通项公式？解: 当时, 即 , 是以2为公差,为首项的等差数列. , 当时, 故 7（了解）. 类型,一般为等式两边取倒数后转化为的形式.例7 .已知数列满足,求数列的通项公式？解: 由题设知.即可求得, 为首项,为公比的等比数列. 则 ,整理得8(了解).对于类型,一般采用待定系数法,转化为等式两边取倒数,变为的形式. 也可用特征方程的根求系数.例8: 数列满足,且记,求数列的通项公式？及数列的前项和? 解:法一:由题设知,代入递推关系,整理得: 即, . 是首项为,公比为2的等比数列.故,即. ,. 点评:若试图从中求,进而求,将会走进死胡同.将条件代入上式,转化为类型3,从而解决.法二: (特征方程) 有已知:,故解有 即 ， 则相除,有,故数列是以为首项, 以为公比的数列, 则. 故,则法三. 有已知:,设,得,令,即当时,有 ,当时,有 则相除,有,故数列是以为首项, 以为公比的数列, 则例9. 在数列中, ,求数列的通项公式？ 解,( 带待定系数法) 令 得或.(任选一个算) 当时, ,化简向类型5转化. 令向类型3转化:.再求解. 9 (,)类型,常用对数转化.,得转化为3型.例10. 在数列中, , , , 求数列的通项公式？ 解: 是以 首项为的等比数列. . 10. (二次一阶递推数列)一般分解因式降次,为能否化生为熟. 例11. 在数列中, , .求数列的通项公式？ 在数列中, , .求数列的通项公式？二.二阶递推数列. (,为常数).常向等比数列转化,用带待定系数. 例12. 在数列中, ,.,求数列的通项公式？ 解:令,比较 或或 均为等比数列. , ,两式相减:. 法2.只要一组 得,这是以为首项3, 的等比数列, , (用迭代法) 作业: 在数列中, ,求 ()11(了解周期数列).,(T).对任意的正整数都成立,可利用周期性解决.例13. 在数列中, ,对所以的正整数有:求? 解,由 故,两式相加. , 是以6为周期. ,经计算.12归纳猜想型 例14:已知数列满足求猜想并证明你的结论. 解:由 猜想 证明:当时,成立 假设时成立,即则时, 即时也成立.13运用1.已知定义在上的函数,对任意的且时,都有.记,则数列中, CA B C D分析: ,再由迭加法.22. .已知函数,正项等比数列满足,则 CA 99 B 101 C D分析: 因为,且.3数列满足,数列的前2010项的和为403,则的值是 A A 10 B 9 C 8 D 7分析(考查数列的周期性与转化思想) 设,.求得 所以数列周期为2 由 4.已知两个等差数列，的前项和，且，则5已知两个等差数列，的前项和，且，则注意：3,4的解法是有区别的6已知数列的前项和满足，（1） 证明：当时，（2） 求数列的的通项公式。（3） 设为数列的前项和，证明：解：（1）由 ，得当时，。 则有，故（2）当时， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列。 又。 则（3） 当时, 当当时， 即证:7. 已知数列的前项和,且,.求的通项公式.解:所以: 则当时, ,又当时, 所以8.已知数列的前项和,且当时. (1)求的值(2)若,求数列的通项公式(3)设数列的前项和,证明法一(猜想归纳法)(1) 由,易知,(2) 由(1)知: 猜想: 证明:当时,显然成立.假设时也成立,即,当时,由知即证. 则,故(3) 令所以则即证又所以 =即证.法二(1)略 (2) 当时. 即 则 有 而 所以 即 故是以2为公比的数列, 法三 直接由得代入中,化间有再解之. (点拨,以后如此递推关系可以考虑此法)(3)由 则从而 即证.9.在数列,中,且成等差数列, 成