2019高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案 理.doc

第三讲导数的简单应用、定积分考点一导数的几何意义、定积分1导数公式(1)(sinx)cosx；(2)(cosx)sinx；(3)(ax)axlna(a0)；(4)(logax)(a0，且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf (x0)，相应的切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)对点训练 解析答案D 解析答案A 解析答案 解析答案22快速审题看到求切线，想到用导数的几何意义；看到定积分，想到微积分的基本定理和图形(1)求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程；已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程(2)利用定积分求平面图形面积的方法利用定积分求平面图形的面积，一般先正确作出几何图形，再结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值考点二利用导数研究函数的单调性1若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f (x)0或f (x)0，即当0ax20，故此时函数f(x)在上递增，在和上递减，综上，0a0”变为“aR”，其他条件不变，则f(x)的单调性如何？解由例2解的内容知：f(x)，x(0，)，令h(x)ax2xa.当a0时，h(x)0恒成立，所以f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，同例2解的内容综上：a0时，函数f(x)在(0，)上递增0a0”变为“aR”试讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x0时，x0，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x1，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，当a1时，1，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)上单调递减；当1a0时，10，则1x，令f(x)0，则0x，所以函数f(x)在区间(0,1)和上单调递减，在区间上单调递增；当a，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x1，所以函数f(x)在区间和(1，)上单调递减，在区间上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在定义域(0，)上单调递减；当1a0时，函数f(x)在区间(0,1)，上单调递减，在区间上单调递增；当a0，函数f(x)单调递增；当x(1，)时， f (x)0，所以2ax2x10恒成立，即f (x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增若0，即0a或a0，方程2ax2x10的两根为x1，x2.当a0，x20, f (x)0，函数f(x)单调递增；当x时，2ax2x10, f (x)0，函数f(x)单调递减当0ax10.当x时，2ax2x10, f (x)0，函数f(x)单调递增；当x时，2ax2x10, f (x)0, f (x)0，函数f(x)单调递增综上，当a0时， f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；当a时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当0a时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a0，右侧f (x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f (x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得角度1：根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围解析f (x)x，由f (x)0得(xm)0，xm或x.显然m0.当且仅当0m2或02m时，函数f(x)在区间(0,2)内有且仅有一个极值点若0m2，即00，当x(m,2)时，f (x)0，函数f(x)有极大值点xm.若00，当x时， f (x)4.(2)不等式f(x1)f(x2)恒成立f(x1)f(x2)alnx1xax1alnx2xax2.由(1)可知x1x2a，x1x2a，f(x1)f(x2)a(lnx1lnx2)(xx)a(x1x2)aln(x1x2)(x1x2)22x1x2a(x1x2)alna(a22a)a2a，lnaa1，令ylnaa1，则y.a4，y0，ylnaa1在(4，)上单调递减，yln43，ln43.的最小值是ln43.研究极值、最值问题的3个关注点(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值对点训练1角度1(2018福建泉州一模)函数f(x)ax3(a1)x2x2(0x1)在x1处取得最小值，则实数a的取值范围是()A(，0 B.C. D(，1解析f(x)3ax22(a1)x1，x0,1，a0时，f(x)2x10，x1，x2，a0时，若f(x)在x1处取最小值，只需x10且x21，解得0a，a0时，若f(x)在x1处取最小值，只需x11或x20，解得a0，f(x)单调递增；x(2,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)极小值f(1)1.故选A.答案A2(2018全国卷)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_解析解法一：由f(x)2sinxsin2x，得f(x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx2，令f(x)0，得cosx或cosx1，可得当cosx时，f(x)0，f(x)为增函数，所以当cosx时，f(x)取最小值，此时sinx.又因为f(x)2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)，1cosx0恒成立，f(x)取最小值时，sinx，f(x)min2.解法二：f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)，f2(x)4sin2x(1cosx)24(1cosx)(1cosx)3.令cosxt，t1,1，设g(t)4(1t)(1t)3，g(t)4(1t)312(1t)2(1t)4(1t)2(24t)当t时，g(t)0，g(t)为增函数；当t时，g(t)，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10，所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等有时出现在解答题第一问3近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略热点课题6导数与函数的单调性与最值感悟体验已知函数f(x)ax2(a2)xlnx，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x23xlnx(x0)，所以f(x)2x3，所以f(1)2，f(1)0.所以切线方程为y2.(2)函数f(x)ax2(a2)xlnx的定义域为(0，)，当a0时，f(x)2ax(a2)，令f(x)0，解得x或x.当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增所以f(x)在1，e上的最小值为f(1)2，符合题意；当1e，即a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值为ff(1)2，不符合题意；当e，即0a时，f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)在1，e上的最小值为f(e)f(1)2，不符合题意；综上，实数a的取值范围是1，)专题跟踪训练(十二)一、选择题1(2018福建福州八校联考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln，则f(1)()Ae B2 C2 De解析由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.答案B2函数f(x)x的极值情况是()A当x1时，取极小值2，但无极大值B当x1时，取极大值2，但无极小值C当x1时，取极小值2；当x1时，取极大值2D当x1时，取极大值2；当x1时，取极小值2解析求导得f(x)1，令f(x)0，得x1，函数f(x)在区间(，1)和(1，)上单调递增，在(1,0)和(0,1)上单调递减，所以当x1时，取极大值2，当x1时，取极小值2.答案D3(2018聊城模拟)已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()解析由题图知当0x1时，xf(x)0，此时f(x)1时，xf(x)0，此时f(x)0，函数f(x)递增所以当x1时，函数f(x)取得极小值当x1时，xf(x)0，函数f(x)递增，当1x0，此时f(x)0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,1 B(1，) C(0,1) D1，)解析根据2可知函数的导数大于或等于2，所以f(x)x2(x0，a0)，分离参数得ax(2x)，而当x0时，x(2x)的最大值为1，故a1.故选D.答案D5(2018湖北荆州调研)已知直线ykx2与曲线yxlnx相切，则实数k的值为()Aln2 B1 C1ln2 D1ln2解析由直线ykx2与曲线yxlnx相切，设切点为P(x0，y0)，对于yxlnx，易得y1lnx，k1lnx0，又kx02x0lnx0，可得x02，kln21，故选D.答案D6(2018广东深圳期末)已知函数f(x)xlnxaex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A. B(0，e) C. D(，e)解析由题意可得f(x)lnx1aex，因函数f(x)xlnxaex有两个极值点，则直线ya和g(x)的图象在(0，)内有2个交点，易得g(x)(x0)，令h(x)lnx1，则h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)maxg(1)，而x0时，g(x)，x时，g(x)0，故要使直线ya和g(x)的图象在(0，)内有2个交点，只需0a0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1,1)都成立令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1,1)上单调递增所以g(x)0，所以x2(a2)xa0对xR都成立所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减12(2018辽宁五校模拟)已知函数f(x)2lnxx22ax(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，且f(x1)f(x2)2ln2恒成立，求a的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令x2ax10，则a24，当02时，0，方程x2ax10有两个不同的实根，分别设为x3，x4，不妨令x3x4，则x3，x4，此时0x30，当x(x3，x4)时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上，当02时f(x)