一元二次方程导学案

1 / 19 一元二次方程导学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 1 课时一元二次方程 一、学习目标 1理解一元二次方程的概念； 2知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式； 3会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项； 4理解一元二次方程根的概念 二、知识回顾 1多项式 3x2y-2x-1 是 三 次 二 项式，其中最高次项是 3x2y ，二次项系数为 0 ，一次项系数为 -2 ，常数项是 -1 2 含有未知数 的等式 叫方程，我们学过的方程类型有： 一元一次方程、二元一次方程、分式方程等 三、新知讲解 1一元二次方程的概念 等号两边都是 整式 ，只含有一个 未知数 （一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程 概念解读：（ 1）等号两边都是整式；（ 2）只含有一个未知数；（ 3）未知数的最高次数是 2三个条件缺一不可 . 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能2 / 19 化成 ax2+bx+c=0(a0) 的形式，这种形式叫做一元二次 方程的一般形式其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项 概念解读：（ 1） “a0” 是一元二次方程一般形式的重要组成部分 .如果明确了 ax bx c 0 是一元二次方程，就隐含了 a0 这个条件； （ 2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号 3一元二次方程的根的概念 使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 . 概念解读：（ 1）一元二次方程 可能无解，但是有解就一定有两个解；（ 2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解 四、典例探究 1根据定义判断一个方程是否是一元二次方程 【例 1】（ XX浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ） A x2+2x y=3B c（ 3x2 1） 2 3=0D x2 8=x 总结：一元二次方程必须满足四个条件： 3 / 19 是整式方程； 含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0. 练 1（ XX科左中旗校级一模）关于 x 的方程：（ a 1）+x+a2 1=0，求当 a= 时，方程是一元二次方程；当 a= 时，方程是一元一次方程 2把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项） 【例 2】（ XX 秋 忠县校级期末）一元二次方程（ 13x）（ x+3） =2x2+1 的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 总结：一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c是常数且 a0 ） （ 1）特别要注意 a0 的条件； （ 2）在一般形式中， ax2 叫二次项， bx 叫一次项， c 是常数项 ，其中 a， b， c 分别叫二次项系数、一次项系数和常数项 练 2 将方程 x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数 练 3（ XX东西湖区校级模拟）将一元二次方程4 / 19 4x2+5x=81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ） A 5， 81B 5， 81c 5， 81D 5x， 81 3根据一元二次方程的根求参数 【例 3】（ XX临淄区校级模拟）若 0 是关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+5x+m2 3m+2=0 的一根，则 m 的值为（ ） A 1B 0c 1或 2D 2 总结： 使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 .一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解 . 可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解 . 已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数 . 若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为 0.这一步容易被忽略，谨记 . 练 4（ XX绵阳模拟）若关于 x 的一元二 次方程（ a+1）x2+4x+a2 1=0的一根是 0，则 a= 练 5（ XX绵阳）关于 m 的一元二次方程 nm2 n2m2=0的一个根为 2，则 n2+n 2= 五、课后小测一、选择题 5 / 19 1（ XX春 莒县期中）下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A ax2+bx+c=0B x+y=2c x2+3y 5=0D x2 1=0 2（ XX泗县校级模拟）方程 x2 2x 5=0， x3=x，y2 3x=2， x2=0，其中一元二次方程的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 3（ XX 秋 沈丘县校级期末）要使方程（ a 3） x2+（ b+1） x+c=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A a0B a3 c a1 且 b 1D a3 且 b 1 且 c0 4（ XX石河子校级模拟）把方程 x（ x+2） =5（ x 2）化成一般式，则 a、 b、 c 的值分别是（ ） A 1， 3， 10B 1， 7， 10c 1， 5， 12D 1， 3， 2 5（ XX石河子校级模拟）关于 x 的方程（ 3m2+1）x2+2mx 1=0的 一个根是 1，则 m 的值是（ ） A 0B c D 0 或， 6（ XX祁阳县校级模拟）已知 x=3 是关于方程3x2+2ax 3a=0的一个根，则关于 y 的方程 y2 12=a的解是（ ） A B c D 以上答案都不对 7（ XX 秋 南昌期末）关于 x 的方程（ k+2） x2 kx6 / 19 2=0必有一个根为（ ） A x=1B x= 1c x=2D x= 2 二、填空题 8（ XX东西湖区校级模拟）已知（ m 2） x2 3x+1=0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的 取值范围是 9（ XX 秋 西昌市校级期中）方程 2x2 1=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 10（ XX厦门校级质检）若 m 是方程 x2 2x=2 的一个根，则 2m2 4m+XX的值是 三、解答题 11把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （ 1） 5x2=3x； （ 2）（ 1） x+x2 3=0； （ 3）（ 7x 1） 2 3=0； （ 4）（ 1）（ +1） =0； （ 5）（ 6m 5）（ 2m+1） =m2 12（ XX春 亳州校级期中）已知关于 x 的方程（ m1） x2+5x+m2 3m+2=0 的常数项为 0， （ 1）求 m 的值； （ 2）求方程的解 7 / 19 13（ XX 春 嵊州市校级月考）已知，下列关于 x 的一元二次方程 （ 1） x2 1=0（ 2） x2+x 2=0（ 3） x2+2x 3=0 （ n） x2+（ n 1） x n=0 （ 1）求出方程（ 1）、方程（ 2）、方程（ 3）的根，并猜测方程（ n）的根 （ 2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可 14关于 y 的方程 my2 ny p=0（ m0 ）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少 典例探究答案： 【例 1】【解析】根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件：（ 1）未知数的最高次数是2；（ 2）二次项系数不为 0；（ 3）是整式方程；（ 4）含有一个未知数 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 解： A、方程含有两个未知数，故选项错误； B、不是整式方程，故选项错误； c、含未知数的项的最高次数是 4，故选项错误； 8 / 19 D、符合一元二次方 程的定义，故选项正确 故选： D 点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 练 1【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答 解：依题意得， a2+1=2 且 a 10 ， 解得 a= 1 即当 a= 1 时，方程是一元二次方程 当 a2+1=0或 a 1=0即 a=1时，方程是一元一次方程 故答案是： 1； 1 点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义只有一个未知数且未 知数最高次数为 2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0 ）特别要注意 a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 【例 2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可 解：一元二次方程（ 1 3x）（ x+3） =2x2+1 的一般形式是5x2+8x 2=0；它的二次项系数是 5，一次项系数是 8，常数项是 2 故答案为： 5x2+8x 2=0， 5， 8， 2 9 / 19 点评：一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c是常数且 a0 ）特别要注意 a0 的条件这是在解题过程中容易忽视的地方在一般形式中 ax2叫二次项， bx叫一次项， c 是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 练 2【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项 去括号，得 x2-x=5x 10. 移项、合并同类项， 得 x2-6x 10=0 其中二次项系数是 1，一次项系数为 -6，常数项为 10 练 3【解析】根据一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0 ）特别要注意 a0 的条件，其中 a，b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案 解：一元二次方程 4x2+5x=81 化成一般式为 4x2+5x 81=0， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为 4， 5， 81， 故选： B 点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0 ）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项， bx叫一次项， c是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 10 / 19 【例 3】【解析】把方程的一个根 0 直接代入方程即可求出 m的值 解： 0 是关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+5x+m2 3m+2=0的一根， （ m 1） 0+50+m2 3m+2=0，即 m2 3m+2=0， 解方程得： m1=1（舍去）， m2=2， m=2 ， 故选： D 点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握 练 4【解析】将一根 0 代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求 解： 一根是 0， （ a+1） （ 0） 2+40 +a2 1=0 a2 1=0，即 a=1 ； a+10 ， a 1； a=1 练 5【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到 4n 2n2 2=0，两边除以 2n得 n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式 =（ n+） 2 2，然后利用整体代入的方法计算 解：把 m=2代入 nm2 n2m 2=0得 4n 2n2 2=0， 所以 n+=2， 所以原式 =（ n+） 2 2 11 / 19 =（ 2） 2 2 =26 故答案为： 26 点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的 值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了代数式的变形能力 课后小测答案： 一、选择题 1【解析】根据一元二次方程的定义进行判断 解： A、当 a=0 时，该方程不是关于 x 的一元二次方程，故本选项错误； B、该方程中含有 2 个未知数，且未知数的最高次数是 1，它属于二元一次方程，故本选项错误； c、该方程中含有 2 个未知数，且未知数的最高次数是 2，它属于二元二次方程，故本选项错误； D、符合一元二次方程的定 义，故本选项正确 故选： D 点评：本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0 ）特别要注意 a0 的条件这12 / 19 是在做题过程中容易忽视的知识点 2【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中 x2 2x 5=0， x2=0是一元二次方程 解：方程 x2 2x 5=0， x3=x， y2 3x=2， x2=0，其中一元二次方程是 x2 2x 5=0， x2=0 故选： B 点评：本题考查了一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫一元二次方程 3【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： （ 1）未知数的最高次数是 2； （ 2）二次项系数不为 0 解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为 0 得， a30 ， a3 故选： B 点评：一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c是常数且 a0 ）特别要注意 a0 的条件当 a=0 时，上面的方程就不是一元二次方程了，当 b=0或 c=0时，上面的方程在 a0 的条件下，仍是一元二次方程，只不过 是不完全的一元二次方程 4【解析】 a、 b、 c 分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项 解：由方程 x（ x+2） =5（ x 2），得 13 / 19 x2 3x+10=0， a 、 b、 c 的值分别是 1、 3、 10； 故选 A 点评：本题考查了一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0 ），在一般形式中 ax2叫二次项， bx叫一次项， c 是常数项其中a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 5【解析】一元二次方程的根就是能 够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 解：把 1 代入方程得 3m2+1+2m 1=0，解得 m=0或， 故选： D 点评：本题的关键是把 x 的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解 6【解析】由于 x=3是关于 x 的方程 3x2+2ax 3a=0 的一个根，根据方程解的含义，把 x=3代入原方程，即可解出 a 的值，然后再解出关于 y 的方程的解 解： x=3 是关于 x 的方程 3x2+2ax 3a=0 的一个根， 332+2a3 3a=0， 解得： a= 9， 则关于 y 的方程是 y2 12= 9， 解得 y= 14 / 19 故选： c 点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值 7【解析】分别把 x=1、 2、 2 代入（ k+2） x2 kx 2=0中，利用一元二次方程的解，当 k 为任意值时，则对应的 x的值一定为方程的解 解： A、当 x=1 时， k+2 k 2=0，所以方程（ k+2） x2 kx 2=0必有一个根为 1，所以 A 选项正确； B、当 x= 1 时， k+2+k 2=0，所以当 k=0时，方程（ k+2）x2 kx 2=0有一个根为 1，所以 B 选 项错误； c、当 x=2时， 4k+8 2k 2=0，所以当 k= 3 时，方程（ k+2）x2 kx 2=0有一个根为 2，所以 c 选项错误； D、当 x= 2 时， 4k+8+2k 2=0，所以当 k= 1 时，方程（ k+2）x2 kx 2=0有一个根为 2，所以 D 选项错误 故选 A 点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 二、填空题 8【解析】根据一元二次方 程的定义得到 m 20 ，然后解不等式即可 15 / 19 解：根据题意得 m 20 ， 所以 m2 故答案为： m2 点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 9【解析】一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b，c 是常数且 a0 ），在一般形式中 ax2 叫二次项， bx 叫一次项， c 是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 解：方程 2x2 1=化成一般形式是 2x2 1=0， 二次项系数是 2，一次项系数是，常数 项是 1 点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 10【解析】根据一元二次方程的解的定义得到 m2 2m=2，再变形 2m2 4m+XX得到 2（ m2 m） +XX，然后利用整体代入的方法计算 解：根据题意得 m2 2m=2， 所以 2m2 4m+XX=2（ m2 m） +XX=22+XX=XX 故答案为 XX 点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含16 / 19 有 一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 三、解答题 11【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可 解：（ 1）方程整理得： 5x2 3x=0， 二次项系数为 5，一次项系数为 3，常数项为 0； （ 2） x2+（ 1） x 3=0， 二次项系数为 1，一次项系数为 1，常数项为 3； （ 3）方程整理得： 49x2 14x 2=0， 二次项系数为 49，一次项为 14，常数项为 2； （ 4）方程整理得： x2 1=0， 二次项系数为 ，一次项系数为 0，常数项为 1； （ 5）方程整理得： 11m2 4m 5=0， 二次项系数为 11，一次项系数为 4，常数项为 5 点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0 ）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项， bx叫一次项， c是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 12【解析】（ 1）首先利用关于 x 的方程（ m 1） x2+5x+m2 3m+2=0的常数项为 0 得 出 m2 3m+2=0，进而得出即可； 17 / 19 （ 2）分别将 m 的值代入原式求出即可 解：（ 1） 关于 x 的方程（ m 1） x2+5x+m2 3m+2=0 的常数项为 0， m2 3m+2=0， 解得： m1=1， m2=2， m 的值为 1 或