一元二次方程根的判别式教案

1 / 7 一元二次方程根的判别式教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址一元二次方程根的判别式 教学目标 【知识与技能】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证 . 【过程与方法】 经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点 . 【情感态度】 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲 . 【教学重点】 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证 . 【教学难点】 从具体题目来推出一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的b2-4ac 的情况与根的情况的关系 . 教学过程 一、情景导入，初步认知 同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二2 / 7 次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我 . 【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态 . 二、思考探究，获取新知 1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？ 2.观察求根公式回答下列问题： （ 1）当 b2-4ac0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有几个根？ （ 2）当 b2-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有几个根？ （ 3）当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有两个不相等实数根即， . 当 =b2 -4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）有两个相等实数根 . 当 =b2 -4ac0 所以，原方程有两个不相等的实数根 . （ 2）将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+9=0 因为 =b2 -4ac=(-12)2-449 =0 所以，原方程有两个相等的实数根 . （ 3）将原方程化为一般形式，得 2-7y+5=0 因为 =b2 -4ac=(-7)2-455 =-510 所以，原方程没有实数根 . 【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣 . 三、运用新知，深化理解 4 / 7 1.已知方程 x2+px+q=0有两个相等的实根，则 p 与 q 的关系是 【答案】 p2-4q=0 2.若方程 x2+px+q=0 的两个根是 -2 和 3，则 p， q 的值分别为 . 【答案】 -1， -6 3.判断下列方程是否有解： （ 1） 5x2-2=6x（ 2） 3x2+2x+1=0 解析：演算或口算出 b2 4ac，从而判断是否有根 解：（ 1）有（ 2）没有 4.不解方程，判定方程根的情况 . （ 1） 16x2+8x=-3（ 2） 9x2+6x+1=0 （ 3） 2x2-9x+8=0（ 4） x2-7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b2-4ac 的值大于0、小于 0、等于 0 的情况进行分析即可 解：（ 1）化为 16x2+8x+3=0 这里 a=16， b=8， c=3， b2-4ac=64-4163= -1280 方程有两个不相等的实根 （ 4） a=1， b=-7， c=-18 b2-4ac=（ -7） 2-41 （ -18） =1210 方程有两个不相等的实根 5.若关于 x 的一元二次方程（ a-2） x2-2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+30 的解集（用含 a 的式子表示） 分析：要求 ax+30 的解集，就是求 ax-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0因为一元二次方程（ a-2） x2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（ -2a） 2-4（ a-2）（ a+1） 0 就可求出 a 的取值范围 解： 关于 x 的一元二次方程（ a-2） x2-2ax+a+1=0 没有实数根 （ -2a） 2-4（ a-2）（ a+1） =4a2-4a2+4a+80 即 ax-3,x -3/a 所求不等式的解集为 x-3/a 6.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 （ 1）当 m=3时，判断方程的根的情况； （ 2）当 m=-3 时，求方程的根 分析：（ 1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式=b2 4ac的值的符号即可判断：当 0，方程有两个不6 / 7 相等的实数根；当 =0 ，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 . （ 2）把 m 的值代入方程，用因式分解法求解即可 . 解：（ 1） 当 m=3 时 ， =b2 -4ac=22-43= -8 0， 原方程无实数根 . （ 2）当 m=-3 时，原方程变为 x2+2x-3=0， （ x-1）（ x+3） =0， x -1=0， x+3=0. x1=1 ， x2=-3. 7.已知一元二次方程 x2+px+q+1=0 的一根为 2 (1)求 q 关于 p 的关系式； (2)求证：抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴有两个交点 分析：（ 1）根据一元二次方程的解的定义，把 x=2代入已知方程即可求得 q 关于 p 的关系式； （ 2）由关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根的判别式的符号来证明抛物 线 y=x2+px+q 与 x 轴有两个交点 解：（ 1） 一元二次方程 x2+px+q+1=0 的一根为 2， 4+2p+q+1=0 ， 即 q=-2p-5； （ 2）证明：令 x2+px+q=0则 =p2 -4q=p2-4（ -2p-5） =（ p+4） 2+4 0，即 0， 所以，关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实数根即抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴有两个交点 7 / 7 【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间 . 四、师生互动、课堂小结 先 小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结 .教师作以补充 . 课后作业 布置作业 :教材 “ 习题 ” 中第 1、 2、 3 题 . 教学反思 本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念