全国通用版2019版高考数学总复习专题一高频客观命题点1.4平面向量精选刷题练理.doc

1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验对方向1.(2018全国6)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析 如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2017全国12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.3.(2015全国7)设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案A解析如图:AD=AB+BD,BC=3CD,AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.4.(2015全国13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12解析由题意知存在常数tR,使a+b=t(a+2b),得=t,1=2t,解之得=12.新题演练提能刷高分1.(2018重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+b共线,则实数的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b与n=2a+b共线,存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故选C.2.(2018山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量BF=()A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案C解析BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C.3.(2018安徽安庆二模)在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得BM=AB+AC,则+=()A.12B.-12C.2D.-2答案B解析因为点D在边BC上,所以存在tR,使得BD=tBC=t(AC-AB).因为M是线段AD的中点,所以BM=12(BA+BD)=12(-AB+tAC-tAB)=-12(t+1)AB+12tAC,又BM=AB+AC,所以=-12(t+1),=12t,所以+=-12.故选B.4.(2018安徽淮南一模)已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且AM=xAB,AN=yAC(x,y0),则3x+y的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233答案D解析如图,M,N,G三点共线,MG=GN,AG-AM=(AN-AG).G是ABC的重心,AG=13(AB+AC),13(AB+AC)-xAB=yAC-13(AB+AC),13-x=-13,13=y-13,解得(3x-1)(3y-1)=1,结合图象可知12x1,12y1,令3x-1=m,3y-1=n12m2,12n2,故mn=1,x=1+m3,y=1+n3,故3x+y=1+m+1+n3=43+m+n343+213mn=43+233,当且仅当m=33,n=3时等号成立,故选D.5.(2018山东菏泽一模)已知在ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,BE=mAB+nAC,则m+n=.答案-12解析如图所示,BE=BD+DE=BD-12AD=BD-12(AB+BD)=12BD-12AB=1234BC-12AB=38BC-12AB=38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC.又BE=mAB+nAC,所以mAB+nAC=-78AB+38AC,所以m+78AB+n-38AC=0.又因为AB与AC不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.(2018四川“联测促改”)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+yAF,则x+y=.答案75解析B,M,F三点共线,存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三点共线,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验对方向1.(2016全国3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D解析由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选D.2.(2016全国3)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A解析由题意得cosABC=BABC|BA|BC|=1232+321211=32,所以ABC=30,故选A.3.(2018全国13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.4.(2016全国13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.新题演练提能刷高分1.(2018东北三省三校二模)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),则t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故选C.2.(2018广东汕头期末)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若bc,则实数t=()A.1B.-1C.2D.2答案A解析由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),bc,bc=(-1,1)(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选A.3.(2018福建福州期末)已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()A.26B.32C.10D.6答案B解析a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b=(3,3),|c|=9+9=32,故选B.4.(2018贵州凯里二模)已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,则=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.(2018百校联盟全国联考)向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,则BC的坐标为.答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.当t=2时,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6).命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验对方向1.(2018全国4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2018全国8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案D解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.3.(2017全国12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.4.(2016天津7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B解析设BA=a,BC=b,则DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AFBC=-54ab+34b2=-58+34=18,应选B.5.(2017天津13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.新题演练提能刷高分1.(2018河北石家庄一模)点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则ACAB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圆的性质知ABC=90,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以ACAB=|AC|AB|cosBAC=|AC|AB|AB|AC|=|AB|2=4,故选D.2.(2018山东烟台期末)在ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点,则AMAN=()A.109B.209C.89D.83答案B解析|AB+AC|=|AB-AC|,BAC=90.又M,N分别为BC的三等分点,AMAN=AB+13BCAC+13CB=ABAC+13ABCB+13BCAC+19BCCB=0+13110110+13103310-191010=13+3-109=209.故选B.3.(2018安徽马鞍山质监)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,E,F分别为BC,CD的中点,则AEEF=()A.12B.-32C.32D.-12答案D解析在菱形ABCD中边长为2,BAD=60,ABAD=22cos 60=2,又AE=AB+BE=AB+12AD,EF=12BD=12(AD-AB),AEEF=(AB+12AD)12(AD-AB)=1212AD2+12ABAD-AB2=12124+122-4=-12,故选D.4.(2018陕西西安八校第一次联考)在ABC中,已知ABAC=92,|AC|=3,|AB|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AMAN的值是()A.112B.132C.6D.7答案B解析ABAC=92,|AC|=3,|AB|=3,ABAC=|AB|AC|cos A=33cos A=92,cos A=12.A(0,),A=3,ABC是等边三角形,即|BC|=3.M、N分别是BC边上的三等分点,AM=AB+BM=AB+13BC,AN=AC+CN=AC+13CB=AC-13BC,AMAN=AB+13BCAC-13BC=ABAC-13ABBC+13BCAC-19|BC|2,ABAC=33cos 60=92,ABBC=33cos 120=-92,BCAC=33cos 60=92,AMAN=AB+13BCAC-13BC=92-13-92+1392-1=132,故选B.5.(2018河北唐山一模)在ABC中,C=90,|AB|=6,点P满足|CP|=2,则PAPB的最大值为()A.9B.16C.18D.25答案B解析取AB的中点D,连接CD.设PC与CD的夹角为,则PAPB=(PC+CA)(PC+CB)=PC2+PC(CA+CB)+CACB=PC2+PC(CA+CB)=22+PC2CD=4+2PCCD=4+2|PC|CD|cos =4+223cos =4+12cos ,所以当=00时,PAPB的最大值为16.故选B.6.(2018吉林长春质量监测)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2,点E满足AE=12ED,点F为CD的中点,若ADBE=-2,则CDAF=.答案-7解析如图,建立平面直角坐标系,设C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-23t,13,Ft2,12,AD=(t,1),BE=-23t,43,CD=(-t,1),AF=3t2,12,ADBE=-2,-23t2+43=-2,解得t2=5,CDAF=-32t2+12=-7.命题角度4平面向量数量积的应用高考真题体验对方向1.(2016山东8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.2.(2017全国13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案23解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos 60+4|b|2=22+42112+41=12,所以|a+2b|=12=23.3.(2017山东12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.答案33解析e1,e2是互相垂直的单位向量,可设a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=ab|a|b|=3-22+1=12,即3-=2+1,解得=33.新题演练提能刷高分1.(2018安徽宣城二调)已知在ABC中,A=120,且AB=3,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为()A.2215B.103C.6D.127答案A解析因为APBC,所以APBC=AB+ACAC-AB=-AB2+AC2+(-1)ACAB=0,因此-32+42+(-1)34cos 120=0,所以=