线性代数矩阵习题课ppt课件

,1、设,求An2An-1(n2)。,解：An2An-1=(A-2E)An-1,=0,线性代数习题课（一）,1,2、设n维向量=(a,0,0,a)T(a0),其中A的逆矩阵为B，求a的值。,A=E-T,B=E-T/a,解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E1-1/a-2a=0,a=-1/2,(a=1舍去),线性代数习题课（一）,2,3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1,求G-1。,G=E-(A+E)-1,=A(A+E)-1,G-1=(A(A+E)-1)-1=(A+E)A-1,=(A+E)(A+E)-1-(A+E)-1,由A与A+E均可逆可知G也可逆，且,线性代数习题课（一）,3,4、设四阶矩阵A=(,r2,r3,r4),B=(,r2,r3,r4),|A+B|=|+，2r2,2r3,2r4|,=8(|A|+|B|),=40,其中，r2,r3,r4均为4维向量，,且已知|A|=4,|B|=1,求|A+B|。,线性代数习题课（一）,4,5、设,且AX=A+2X,求矩阵X.,线性代数习题课（一）,5,解:因为AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而,又,线性代数习题课（一）,6,所以,线性代数习题课（一）,7,6、设,求An,线性代数习题课（一）,8,解：设A=E+H，,Hn=0(n3),，,H=,则H2=,其中,故An=(E+H)n,=nE+n-1H+n-2H2,=,线性代数习题课（一）,9,7、设矩阵,且r(A)=2，求和的值。,线性代数习题课（一）,10,解：A,又r(A)=2,故=5,=-1,线性代数习题课（一）,11,8、多项式,求f(x)中常数项的值。,解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为,d=-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3),=3,线性代数习题课（一）,12,9、设,求A2014。,解：注意到A3=-E,A6=E，,故A2014=(A6)335A3A,=-A,线性代数习题课（一）,13,10、计算行列式,解：,=24,线性代数习题课（一）,14,11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,(1)若|A|=0,则|A*|=0;,证明:,(2)|A*|=|A|n1.,线性代数习题课（一）,15,证(1):当A=0时,则|A|的所有代数余子式,从而A*=0,故|A*|=0.,当AO且|A|=0时,用反证法证明.,假设|A*|0,则有A*(A*)1=E,故,A=AE=AA*(A*)1=AA*(A*)1,=|A|E(A*)1=O,这与A0矛盾,故当|A|=0时,|A*|=0.,均为0,线性代数习题课（一）,16,(2)当|A|=0时,则由(1)得|A*|=0,从而|A*|=|A|n1成立.,当|A|0时,由AA*=|A|E得,|A|A*|=|AA*|=|A|E|=|A|n,由|A|0得,|A*|=|A|n1.,线性代数习题课（一）,17,12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是,证:A为可逆矩阵，则|A*|=|A|n-10，,故A*是可逆的。,又A*=|A|A-1，,故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1,=|A-1|A,显然A*(A-1)*=E，,故(A*)=(A-1)*。,可逆的，且(A*)=(A-1)*。,线性代数习题课（一）,18,13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中,A=diag(1,-2,1),A*为A的伴随矩阵，求矩阵B,解:|A|=-2,故A可逆，且A-1=diag(1,-1/2,1),又A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2),故2(E+A-1)BA=E,即B=(E+A-1)-1A-1/2,故B=diag(-1,1/2,-1),又(E+A-1)-1=diag(-1,1/2,-1),线性代数习题课（一）,19,14、设n阶矩阵A、B、A+B可逆，,试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。,证明：,A+B=A(A-1+B-1)B,|A+B|=|A|A-1+B-1|B|,又因为A、B、A+B可逆，,故A、B、A+B的行列式不为零。,故A-1+B-1的行列式不为零，,即A-1+B-1为可逆矩阵。,又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A,线性代数习题课（一）,20,15、设行列式，,解：,=34,第三行各元素余子式之和。,显然M31+M32+M33+M34=D,=34,线性代数习题课（一）,21,线性代数习题课（一）,16、设1=(1,1,1)T,2=(1,2,3)T,1=(1,3,t)T,(1)问t为何值时，向量组1、2、3线性无关？,(2)问t为何值时，向量组1、2、3线性相关？,线性相关时，将3由1、2线性表出。,解：(1,2,1)=,故t=5时，向量组1、2、3线性相关，,且3=-1+22,22,线性代数习题课（一）,17、设1=m1+32+3,2=21+(m+1)2+3,3=-21-(m+1)2+(m-1)3,其中向量组1、2、3线性无关，,试讨论向量组1、2、3线性相关性。,23,线性代数习题课（一）,解：,(123)=,(123),=m(m-2)(m+1),故m=0,否则向量组线性无关。,或m=-1,或m=2,时向量组线性相关。,24,1、设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，,det,(-1)n3,det(A)=1/3,则,线性代数习题课（一）,25,2、设三阶方阵A0，B=,且AB=0，则t=,4,解：设A=(1,2,3),则,AB=(1+22+33,31+42+53,51+t2+33),由于AB=0，则B的列向量为AX=0的解,又三阶方阵A0，故AX=0至多有两个,线性无关的解向量,即r(B)2。,线性代数习题课（一）,26,3、若n阶矩阵A满足方程,A2+2A+3E=0,则A-1=,4、设A为三阶矩阵，且|A|=1,则|2A-1+3A*|=,53=125,线性代数习题课（一）,27,5、设A=,则An=,线性代数习题课（一）,设A=,则An=,A2n+1=,A2n=,28,6、设A=,则A-1=,7、设=(a1,a2,an)0,=(b1,b2,bn)0,且A=T，则r(A)=,1,r(AB)minr(A),r(B),线性代数习题课（一）,设A=,则A-1=,29,8、设A为4阶方阵,则r(A*)=,1,r(A*)=,n,若r(A)=n,1,若r(A)=n-1,0,若r(A)n-2,(2)若矩阵A的秩r(A)=2，,A*为A的伴随矩阵，,则r(A*)=,0,线性代数习题课（一）,(1)若矩阵A的秩r(A)=3，,30,线性代数习题课（一）,9、设A为43矩阵，且r(A)=2,而,B=,则r(AB)=,2,10、设A=,且r(A)=3,则k=,-3,31,11、设三阶矩阵A=,B=,且|A|=2,|B|=3,则|3A|=,|A+B|=,|A-B|=,|AT+BT|=,54,20,0,20,线性代数习题课（一）,32,作业题答案,1、设矩阵,则(1)A+B=,2A-3C=,B-C=,(2)若矩阵X满足A+2X=C,则X=(C-A)/2=,33,(3)若矩阵Y满足(2A+Y)+3(B-Y)=0,则Y=(2A+3B)/2=,(4)若矩阵X、Y满足3X-Y=2A,X+Y=B,则X=(2A+B)/4=,则Y=(3B-2A)/4=,作业题答案,34,2、设矩阵A=,B=,则ABT=,=,作业题答案,35,线性代数习题课（一）,3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、,行最简形矩阵、及标准型。,A=,36,作业题答案,37,作业题答案,4、求A的逆矩阵,(AE)=,38,作业题答案,5、解矩阵方程:,(AB)=,(AX=B),X=,39,作业题答案,6、解矩阵方程:,(AXB=C),=,A=E(r1,r2)=A-1,B=E(r2,r3)=B-1,X=A-1CB-1=,E(r1,r2),E(r2,r3),40,作业题答案,7、设矩阵A、B满足AB=2B+A,且A=,解、有题设可知：(A-2E)B=A,(A-2EA)=,B=,41,8、计算行列式,=64,作业题答案,42,作业题答案,9、求矩阵A的伴随矩阵及逆矩阵。,矩阵A的代数余子式为：,A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2,A23=1,A33=-1,A的伴随矩阵为：,矩阵A行列式：,|A|=-2,A的逆矩阵为：,43,作业题答案,10、设A=,则A,若r(A)=1,则k=1;,若r(A)=2,则k=-2;,若r(A)=3,则k1,k-2.,44,作业题答案,11、设A=,则A,若r(A)=2,则,=,=,故a=5,b=1,45,第二章n维列向量,12.已知向量组,1=(1,1,1,2),2=(3,1,2,5),3=(2,0,1,3),4=(1,-1,0,1),(2)求出该向量组所有的极大无关组；,(1)求该向量组的秩；,(3)确定一个极大无关组，并将其余向量,5=(4,2,3,7),用该极大无关组线性表出,复习,46,第二章n维列向量,解：,(1T,2T,3T,4T,5T)=,极大无关组为：,且3=-1+2，,4=-21+2,1,2；,1,3；,1,4；,1,5；,5=1+2,2,