《复变函数与积分变换》2016年练习题1-6.pdf

复变复变函数与函数与积分积分变换变换练习练习一一 一、填空选择题（一、填空选择题（） 1求对数值(13)Lni . 2求值1i= . 30z 为 23 11 ( )f z zz 的 极点，0),(Rezfs . 4 设)(tf在) ,(上有定义且其傅里叶积分收敛， 则由积分 ttfF td e)()( i 建立 的)(tf与)(F之间的对应称作傅里叶变换， 由积分( )f t 建立的)(F与)(tf 之间的对应称作傅里叶逆变换。 5若 2 ( )3sin t f tttet，则函数( )f t的拉普拉斯变换为 . 61z 为( )Ln z的（ ）. （A）无定义点 （B）可导点 （C）不连续点 （D）连续点 7如果 0 fz存在，那么 fz在 0 z处一定有（ ）. （A）解析 （B）不解析 （C）不连续 （D）连续 8. 设幂级数 n n n za) 1( 0 在点3z收敛，且在iz21发散，则它的收敛半径R（ ）. （A） 2 （B）12 （C） 1 （D） 9. 以 z=0 为本性奇点的函数是（ ） （A） z zsin （B） 1 cosz z （C） 2 z zcos1 （D） ) 1z ( z 1 二、计算题计算题 10计算 6 1的值 11计算Re( ) C zz d的值，其中 C 是沿yx从 0 到1 i的直线段. 12计算积分 2 (1) (2) z C e z zz d的值，其中C： 3 2 z 的正向 13利用留数计算下列积分 2 2 1 (1) z z z z d 三、解答题三、解答题 14设 Ref zzz，问函数( )f z在何处可导，何处解析，并在可导处求出 fz 15将函数 2 1 ( ) (1) f z zz 在圆环 011z上展开成罗朗级数. 16 17.利用拉普拉斯变换求解微分方程23 t yyye满足初始条件(0)0y,(0)1 y 的特解( )y t. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习练习二二 一、填空选择题一、填空选择题 1函数 lnf zz的解析区域是（ ） 。 ( )A复平面； ( )B除去原点的复平面； ( )C除去实轴的复平面； ( )D除去原点与负实半轴的复平面. 2. 在复变函数中，如下判断正确的是（ ） 。 ( )Acosz是有界函数； ( )B z e是以2为周期的周期函数； ( )C若 0 z是( )f z的奇点，则( )f z在 0 z点不可导； ( )D( )f z在 0 z解析，则 ( )( )n fz也在 0 z解析 3罗朗级数 212 1zzzz 收敛域是（ ）. ( )A 1z ( )B01z ( )C1z ( )D 不存在的 4设0a ，利用拉氏变换的概念与性质，可得实积分 0 4 ecos(2)d at tt （ ） ( )A 2 2 4a ( )B 2 4 a a ( )C 8 2 2 4 a e a ( )D 8 2 4 a ae a 5 2 ( 3) i i 6设c为沿原点0到1 i 的直线段，则 2 c zdz . 7设 3 cos ( ) z f z z ，则Re( ),0s f z . 8 2 2 4 1 32 (4) z zz dz z . 9拉氏逆变换 1 23 162 19 L sss . 二、解答题解答题 10设 5 1 5 ( )(1) ,f zzi z求方程( )0fz 的所有根。 11设 22 f zyx izxyi，问函数( )f z在何处可导，何处解析，并在可导处 求出 fz . 12将函数 3 ( ) 2 z f z z 在圆环 2z 上展开成罗朗级数，并计算Re ( ,)s f . 三、计算题三、计算题 13计算积分 2 2 1 (1) z z z z d. 14. 应用留数定理计算积分 2 42 54 x dx xx . 15. 求积分 1 z z e dz z 的值，并由此证明 2 cos 0 cos(sin )2 t et dt ， 2 cos 0 sin(sin )0 t et dt . 四、解答题四、解答题 16 求函数 32 ( )(1)sin33 t f tttte的拉普拉斯变换。 17. 利用拉氏变换求解微分方程 26 (0)(0)1 t yyye yy . 复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习练习三三 一、一、判断下列命题的真假并在题后括号内划对错号判断下列命题的真假并在题后括号内划对错号. (1) |cos | 1z 恒成立； （ ） (2) 若)(zf在 0 z处解析，则 0 z是)(zf的可导点； （ ） (3) 设C是一条简单正向闭曲线,( )f z在以C为边界的有界闭区域D上解析, 0 z为D内任一 点，那么 0 0 ( ) d2() C f z zif z zz ； （ ） (4) 设( )f z在简单正向闭曲线C及其所围区域D内处处解析, 那么( )f z在D内具有2阶导数； （ ） (5) 若级数 1 n n z 收敛, 则 1| | n n z 必收敛. （ ） 二、填空题二、填空题. (1)3 1i的指数表达形式 ， 三角表达形式 ， 几何表达形式 . (2) 8的三个三次方单根 . (3) 1i= (4) 设C为单位圆周1z ，则 d C z z 。 (5) 设C为从0z到1 iz 的直线段，则d C zz 。 (6) 幂级数 0 ! n n n z 的收敛半径 。 三、解答题三、解答题. 1. 讨论函数 323 ( )3if zyyxx的可导性、解析性 2. 计算 | | 3 sin d (1)(2) z z z zz . 3.将函数 1 ( ) (1) f z z z 在圆环内1 |1|z 展为罗朗级数。 4. 找出函数 zf 1 2 sin(1) e (1)3 z z zz 的孤立奇点，并判断其类型。 四、解答题四、解答题. 1.计算积分 | | 1cscz zdz . 2.求解方程组 , 0)5 ()7 2( , 0)3 ()9 2( yyyxxx yyyxxx 0)0( )0( , 1)0( )0(yyxx; 中的( )x t。(提示：L 1 , 1 t e s L 22 cos, s at sa L 22 sin a at sa ) 复变复变函数与函数与积分积分变换变换练习练习四四 一、判断下列命题的真假并在题后括号内划对错号一、判断下列命题的真假并在题后括号内划对错号. 1.设 0 zz是函数( )f z的本性奇点，则 0 lim( ) zz f z 不存在也不为. ( ) 2.设 12 ,v v在区域 D 内都是u的共轭调和函数，则必有 12 vv. ( ) 3. 2zzk i ee 恒成立. （ ） 4.设 C 为正向圆周 0 1zz, n为整数，则积分 1 0 0 ()n C dz zz 必成立 .（ ） 5.对数函数Lnz 具有如下性质： 2121 )(LnzLnzzzLn . （ ） 6.若 0 z为)(zf的m阶极点，则 ),(Re 0 zzfs 0 0 1 lim()( ) ! m m m zz d zzf z mdz .（ ） 二、填空题二、填空题. 1. 设 (1)(2)(3) (3)(2) iii z ii ,则z 2. 设C为从(0,1)到(1,1)的直线段，则Re( )d C zzz 3. 积分 | | 1 1 (e cos)d 2 z z zz z = 4.幂级数 02 n n n n z 的收敛半径为 5.映射 zi zi 在zi处的转动角为 6.傅里叶逆变换是指由表达式 建立起来的 到 之间的对应. 三、解答题三、解答题. 1.设 3322 2f zxyx y i， 问函数( )f z在何处可导， 何处解析， 并在可导处求出 fz . 2. 计算 2 | | 2 d 1 z z e z z 的值. 3.将函数 1 ( ) (1)(2) f z zz 在圆环0 | 1z内展为罗朗级数. 4.计算 积分 3 | | 2 d () iz z e z zi 的值. 四、解答题解答题.（每题 8 分，共 32 分） 1.应用留数定理计算积分 2z 2 | | 2 e 1 z dz z . 2. 设F ( )f tF,求 F( )tf t 3. 利用拉氏变换求解方程 40 ,yy满足(0)2, (0)4yy的特解. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习练习五五 一、选择题一、选择题 1设 | 1| 3Pzz，则P为( ) (A)无界区域 (B) 多连通区域 (C)单连通区域 (D) 闭区域. 2. 函数),(),()(yxivyxuzf在点 000 zxy处连续的充要条件是( ) (A) 函数)(zf在区域 D 内可导 (B) 函数),(yxu在点 00 ,()xy 处连续 (C) 函数),(yxv在点 00 ,()xy 处连续 (D) 函数),(yxu和),(yxv在点 00 ,()xy 处连续. 3. 若),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，则下列命题中错误的是 ( ) (A) 函数)(zf在区域 D 内可导 (B) 函数),(),(yxvyxu是区域 D 内的调和函数 (C) 函数),(),(yxvyxu在区域 D 内满足柯西-黎曼方程 (D) 函数),(yxu是),(yxv在区域 D 内的共轭调和函数 4设C为|1|0zr的正向圆周，则 1 C z dz z ( ) (A) 0 (B) 2 i (C) 1 (D) 4 i 5. 下列级数中绝对收敛的是( ) (A) 1 (6+8 ) ! n n i n (B) 1 ) 1( n n (C) 1n n n i (D) 1 13 () 2 n n i 6下列函数中以0z为本性奇点的是( ) (A) 2 sin z zz (B) z zsin (C) zsin 1 (D) 1 ( ) z cos 7函数( )h z在单连通区域 D 内解析是函数( )h z在 D 内存在原函数的( ) (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非必要条件也非充分条件. 8指数衰减函数 ,0 ( )= 0,0 t et f t t （其中0）的傅里叶变换是( ) (A) 1 j (B) 1 j (C) 1 1j (D) 1 j 9若级数 0 ) 1( n n n za在3 -z处收敛，则它必在( ) (A) 1z处收敛 (B)0z处收敛 (C) 2z处发散 (D)以上全不正确 二、填空题二、填空题 10计算复值函数3(1)niL . 11已知C为|1| 2z 的正向圆周，求 3 z C e dz z . 12设 C 为正向圆周1|z,则积分 2 1 16 C dz z . 13幂级数 0 6 1 n n z n 的收敛半径 R= . 14映照射 2 zz在点1+zi处的伸缩率是 . 15设 k 为实常数， 2 ( )sinf ttktt,则)(tf的拉普拉斯变换为 . 三三、计算题、计算题 16讨论函数 3232 ( )3(3)f zyx yi xxy的解析性， 其中zxyi, 求导函数( )fz. 17利用留数计算 43 |z|=1/5 1 dz zz 18. 求函数 1 ( ) (1)(2) F jj 的傅里叶逆变换. 19. 求函数 1 ( ) (1)(2)(3) G s sss 的拉普拉斯逆变换. 20. 求积分值 5 cos (1) C z dz z ，其中C为正向圆周| |2z 21. 应用留数定理计算积分 22 1 (1) dx x .