2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法课件8 新人教B版选修2-2.ppt

数学归纳法,小明的爸爸有四个小孩,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,一、归纳法的原理：,大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？,试验,（1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。,推理,大球中装的全是红球,判断,考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确！,不完全归纳法和完全归纳法均称为归纳法。,试验,（2）从大球中取出所有的小球，,推理,大球中装的全是红球,判断,考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法得到的结论一定正确！,发现全是红色的。,在等差数列中，已知首项为，公差为，,思考：下列推理正确吗？,点评：这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果不一定可靠！,讨论：如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项公式是正确的？,二、讲授新课,其中道理可用于数学证明数学归纳法.,（1）第一张骨牌必须能倒下,（2）假若第k（k1）张能倒下时，一定能推倒紧挨着它的第k+1张骨牌,（游戏开始的基础）,（游戏继续的条件）,分析：能够使游戏一直连续运行的条件：,类似地，把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：,（递推基础）,（递推依据）,由（1）（2）知，游戏可以一直连续运行。,由（1）（2）知，命题对于一切nn。的自然数n都正确。,我们把以上证明关于自然数n的命题的方法，叫做数学归纳法。,数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果,那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。,（1）当n取第一个值n0时命题成立；（2）在假设当n=k(kN+，且kn0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式对任何都成立,下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：,例：求证：,证明：（1）当n=1时，等式左端等于1，右端也等于1，因此等式对n=1成立；,（2）假设当n=k时，等式成立，即假设,由此可见在假设等式对n=k成立的前提下，推出等式对n=k+1成立。于是可以断定等式对一切正整数n成立.,三、例题分析,例1用数学归纳法证明,证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,（2）假设当时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式对任何都成立,要证明的目标是：135（2k-1）2(k+1)1=(k+1)2,用数学归纳法证明:,练习1：,2462nn+1(nN)的步骤如下：,假设当nk时等式成立。即2462kk1,则2462k2（k1）,k12（k1）,（k1）1,这就是说，当nk1时等式成立。根据数学归纳法2462nn+1对nN都正确。,评析：用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！,证明：,当n=1时，左边2，右边3，等式不成立；,哪错了？,？,例2用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2.,证明:(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；(2)假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2.那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1=k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由(1)和(2)可以断定，等式对任何nN+都成立。,用数学归纳法证明：,练习2：,由(1)和(2)可以断定，等式对任何nN+都成立。,以上三道题告诉我们用数学归纳法证明命题的步骤（2）中，要注意对n=k到n=k+1的正确理解，以及由n=k到n=k+1的过程中所变化的部分。,评析：,练习A,1用数学归纳法证明：,练习3：,练习B,1.用数学归纳法证明：,练习4：,一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题.,五、小结,二、用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正