七年级上 一元一次方程模型的应用教案(湘教版)

1 / 21 七年级上 一元一次方程模型的应用教案(湘教版 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 一元一次方程模型的应用 第 1 课时 【教学目标】 知识与技能 掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤 ;并能解答一元一次方程和、差、倍分问题的简单应用题 . 过程与方法 通过列方程解应用题 ,提高分析问题、解决问题的能力 . 情感态度 理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用 ,形成用数学知识解决问题的意识 . 教学重点 找出等量关系 ,列出方程 . 教学难点 找出等量关系 ,列出方程 . 【教学过程】 一、情景导入 ,初步认知 1.在小学算术中 ,我们学习了用算术方法解决实际问题的有2 / 21 关知识 ,那么 ,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决 ,若能解决 ,怎样解 ?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性 ? 某数的 3 倍减 2 等于它与 4 的和 ,求某数 .(用算术方法解由学生回答 ) 解 :(4+2)(3 -1)=3 答 :某数为 3. 如果设某数为 x,根据题意 ,其数学表达式为 3x-2=x+4 此式恰是关于 x 的一元一次方程 .解之得 x=3. 上述两种解法 ,很明显算术方法不易思考 ,而 应用设未知数 ,列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感 ,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一 . 2.我们知道方程是一个含有未知数的等式 ,而等式表示了一个相等的关系 .对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系 ,然后再将这个相等的关系表示成方程 . 下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤 . 【教学说明】 采用提问的形式 ,提高了学生的学习兴趣和动力 .再通过算术法与方程解决实际问题的方法对比 ,让学生明白方程的优越性 . 3 / 21 二、思 考探究 ,获取新知 1.探究 :某湿地公园举行观鸟活动 ,其门票价格如下 ,全价票20元 /人 ,半价票 10元 /人 . 该公园共售出 1200 张门票 ,得总票款 20000 元 ,问全价票和半价票各售出多少张 ? (1)此问题中 ,有何等量关系 ? 全价票款 +半价票款 =总票款 . (2)怎样设未知数 ? 设售出全价票 x 张 ,则售出半价票 (1200-x)张 . (3)根据等量关系列出方程 ,并求解 . x20+(1200-x)10=20000 解得 :x=800 所以半价票为 :1200-800=400(张 ) 即全价票售出 800 张 ,半价票售出 400张 . 【教学说明】 让学生体会找相等关系是列方程的关键所在 . 2.根据上面的解题过程 ,你能总结出一元一次方程解实际问题的一般步骤吗 ? 【归纳结论】 一元一次方程解实际问题的一般步骤为 : 【教学说明】 培养学生观察、概括及语言表达能力 . 三、运用新知 ,深化理解 1.教材 P98例 1. 4 / 21 2.某工厂的产值连续增长 ,去年的是前年的倍 ,今年的是去年的 2 倍 ,这三年的总产值为 550万元 ,前年的产值是多少 ? 解 :设前年的产值为 x,则去年的产值为 ,今年的产值为 2 ,则 x+2=550 =550 x=100 答 :前年的产值为 100万元 . 3.某面粉仓库存放的面粉运出 15%后 ,还剩余 42500kg,这个仓库原来有多少面粉 ? 分析 :题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出 15%;仓库中还剩余 42500kg.未知量为仓库中原来有多少面粉 . 已知量与未知量之间的一个相等关系 :原来重量 -运出重量 =剩余重量 设原来有 x 千克面粉 ,运出 15%x千克 ,还剩余 42500千克 . 解 :设原来有 x 千克面粉 ,那么运出了 15%x 千克 ,根据题意 ,得 x-15%x=42500 即 x-x=42500 x=42500 解得 ,x=50000. 经检验 ,符合题意 . 答 :原来有 50000千克面粉 . 4.某车间有 28 名工人 ,生产特种螺栓和螺母 ,一个螺栓的两5 / 21 头各套上一个螺母配成一套 ,每人每天平均生产螺栓 12个或螺母 18个 ,问多少工人生产螺栓 ,多少工人生产螺母 ,才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套 ? 解 :设 x 名工人生产螺栓 ,(28-x)名工 人生产螺母 ,列方程得 212x=18(28 -x) 解得 x=12, 生产螺母的人数为 28-x=16 答 :12 名工人生产螺栓 ,16 名工人生产螺母 ,才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套 . 5.蜘蛛有 8 条腿 ,蜻蜓有 6 条腿 ,现在有蜻蜓、蜘蛛若干只 ,它们共有 270条腿 ,且蜻蜓的只数是蜘蛛的 2倍少 5只 ,问蜘蛛、蜻蜓各有多少只 ? 解 :设有蜘蛛 x 只 ,蜻蜓有 (2x-5)只 , 则 8x+6(2x-5)=270 解方程得 x=15,2x-5=25 答 :蜘蛛有 15只 ,蜻蜓有 25只 . 6.在甲处劳动的有 27 人 ,在乙处劳动的有 19 人 .现在另调20人去支援 ,使在甲处的人数为在乙处的人数的 2倍 ,应调往甲、乙两处各多少人 ? 分析 :(1)审题 :从外处共调 20 人去支援 .如果设调往甲处的是 x 人 ,则调往乙处的是多少人 ?一处增加 x 人 ,另一处便增6 / 21 加 (20-x)人 .看下表 : 调动前调动后 甲处 27人 (27+x)人 乙处 19人 19+(20-x) (2)找等量关系 : 调人后甲处人数 =调人后乙处人数的 2 倍 . 解 :设应该调往甲处 x 人 ,那么调往乙处的人数就是 (20-x)人 .根据题意 ,得 27+x=219+(20-x). 解方程 27+x=78-2x, 3x=51, x=17. 20-x=20-17=3. 经检验 ,符合题意 . 答 :应调往甲 处 17人 ,调往乙处 3 人 . 7.整理一批图书 ,如果由一个人单独做要用 30h,现先安排一部分人用 1h 整理 ,随后又增加 6 人和他们一起又做了 2h,恰好完成整理工作 .假设每个人的工作效率相同 ,那么先安排整理的人员有多少 ? 解 :设先安排整理的人员有 x 人 ,依题意 ,得 +=1 解得 x=6. 7 / 21 经检验 ,符合题意 . 答 :先安排整理的人员有 6 人 . 【教学说明】 通过练习 ,巩固本节课所学的内容 . 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结 .教师作以补充 . 【课后作业】 布置作业 :教 材 “ 习题 ” 中第 4、 7、 8 题 . 第 2 课时 【教学目标】 知识与技能 学会用方程表示实际问题中的数量关系和变化规律 . 过程与方法 通过探索实际问题 ,培养学生应用数学的意识 ,体会数学的价值 . 情感态度 培养学生观察、分析、推理能力 ,渗透建模思想、方程思想、分类讨论思想 . 教学重点 正确地分析出应用题中的已知数、未知数 . 教学难点 能够准确地找出应用题的等量关系 . 8 / 21 【教学过程】 一、情景导入 ,初步认知 华冠超市把一种羊毛衫按进价提高 50%标价 ,然后再按 8 折(标价的 80%)出售 ,这样华冠每卖出一件羊毛衫就可盈利 80元 .这种羊毛衫的进价是多少元 ?如果按 6 折出售 ,华冠还盈利吗 ?为什么 ? 【教学说明】 通过学生进行实际调查 ,激发学生的学习兴趣 ,使每一名学生都成为知识的探索者、创新者 ,渗透方程思想、建模思想 ,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识 . 二、思考探究 ,获取新知 1.探究 :某商店将某型号彩电按标价的八折出售 ,则此时每台彩电的利润率是 5%,已知该型号彩电的进价为每台 4000元 ,求该型号彩电的标价 . (1)此问题中 ,有何等量关系 ? 售价 -进价 =利润 . (2)怎样设未知数 ? 设彩电标价为每台 x 元 ,则售价为元 . (3)根据等量关系列出方程 ,并求解 . =40005% 解得 :x=5250 即 :彩电的标价为每台 5250元 . 2.交流讨论 :在销售问题中进价、售价、利润、利润率的关9 / 21 系式有哪些 ? 【归纳结论】 销售问题中的等量关系式有 : 商品利润 =商品售价 -商品进价 商品售价 =商品标价 折扣数 100%= 商品利润率 商品售价 =商品进价 (1+ 利润率 ) 年 10月 1日 ,杨明将一笔钱存入某银行 ,定期 3年 ,年利率是5%,若到期后取出 ,他可得到本息和 23000 元 ,求杨明存入的本金是多少元 ? (1)引导学生分析、解决问题 . (2)在存款问题中有哪些等量关系式 ? 【归纳结论】 存款问题中的等量关系式有 : 利息 =本金 年利率 年数 本息和 =本金 +利息 【教学说明】 明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式 ,寻找问题中隐藏的相等关系 .在平时的学习生活中 ,要好好把握各种问题的数量关系 ,可以作为一种知识的储备 ! 三、运用新知 ,深化理解 1.昨天陈管杰的妈妈到华冠花了 69 元买了一件衣服 ,这件衣服是按标价的 3 折出售的 ,这件衣服的标价是多少元 ? 解 :设这件羊毛 衫的标价是 x 元 ,根据题意 ,得 :=69 解得 :x=230 10 / 21 答 :这件衣服的标价是 230元 . 2.商场出售某种文具 ,每件可盈利 2 元 ,为了支援山区 ,现在按原售价的 7折出售给一个山区学校 ,结果每件仍盈利元 .问该文具每件的进价是多少元 ? 基本关系式 :进价 =标价 折数 -利润 解 :设该文具每件的进价是 x 元 . 根据题意得 : x=(x+2)- 解方程得 :x=4 答 :该文具每件的进价是 4 元 . 3.某商品的进价是 200元 ,标价为 400元 ,商店要求利润率不低于 25%的价格出售 ,求售货员最低可以打几折出售此商品 ? 解 :设打 x 折出售此商品 . 400x-200=20025% 则 x= 答 :售货员最低可以打折出售此商品 . 4.某企业存入银行甲、乙两种不同性质的存款 20 万元 .甲种存款的年利率为 %,乙种存款的年利率为 %,该企业一年可获利 9500元 ,求甲、乙两种存款各是多少元 ? 解 :设甲种存款为 x 元 ,依题意 : %x+(200000-x)%=9500, 解得 :x=50000, 11 / 21 乙存款 :200000-50000=150000(元 ), 答 :甲存款 50000元 ,乙存款 150000元 . 5.儿童节期间 ,文具商店搞促 销活动 ,同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8折优惠 ,能比标价省元 .已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元 ,那么书包和文具盒的标价各是多少元 ? 解 :设一个文具盒标价为 x 元 ,则一个书包标价为 (3x-6)元 ,依题意 ,得 (1-80%)(x+3x-6)= 解此方程 ,得 x=18, 经检验 ,符合题意 . 3x-6=48(元 ) 答 :书包和文具盒的标价分别是 48元 /个 ,18元 /个 . 6.某商店有两个进价不同的计算器都卖 64 元 ,其中一个亏本 20%,另一个盈利 60%.请你计算一下 ,在这次买卖中 ,这家商店是赚还是赔 ?若赚 ,共赚了多少元 ?若赔 ,赔了多少元 ? 解 :设一个价钱为 x 元 ,另一个价钱为 y 元 , 依题意得 : x(1+60%)=64, y(1-20%)=64, 所以 :x=40,y=80, 则 642 -(x+y)=128-120=8. 12 / 21 故盈利 8 元 . 答 :在这次买卖中 ,这家商店是赚了 ,共赚了 8 元 . 7.随着科学技术的发展 ,电脑价格不断下降 ,某一品牌电脑 ,每台先降价 m元 ,后连续两次降价 ,每次降价 25%,现售价为 n元 ,那么该电脑原来每台售价是多少元 ? 解 :设原来的售价是 x 元 . 根据等式列方程得 :(1-25%)2(x-m)=n, 解得 x=n+m, 答 :原来每台的售价是 (n+m)元 . 【教学说明】 通过练习提高学生思维的广度 ;培养学生的发散思维和创新精神 . 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结 ,教师作以补充 . 【课后作业】 布置作业 :教材 “ 习题 ” 中第 1、 2 题 . 第 3 课时 【教学目标】 知识与技能 进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系 ,提高分析问题、解决问题的能力 . 过程与方法 13 / 21 通过自主探究与小组合作交流 ,能合理清晰地表达自己的思维过程 ,掌 握根据具体问题中的数量关系 ,列出方程 ,感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型 ,训练学生运用新知识解决实际问题的能力 . 情感态度 进一步体会数学中的化归思想 ,引导学生关注生活实际 ,建立数学应用意识 ,热爱数学 . 教学重点 利用线形示意图分析行程问题中的数量关系 . 教学难点 找出问题中的等量关系 . 【教学过程】 一、情景导入 ,初步认知 在行程问题中 ,最基本的等量关系式是什么 ? 【教学说明】 为本节课的教学作准备 . 二、思考探究 ,获取新知 1.探究 :星期天早晨 ,小斌和小强分别骑自行车从家里出发去参观雷锋纪念馆 ,已知他俩的家到纪念馆的路程相等 ,小斌每小时骑 10km,他在上午 10 时到达 ;小强每小时骑 15km,他在上午 9 时 30 分到达 ,求他们的家到雷锋纪念馆的路程 . 【教学说明】 引导学生分析题意 ,找出题目中的等量关系式 ,并列出方程解答 . 14 / 21 2.讨论 :在行程问题中还存在什么样的等量关系式 ? 【归纳结论】 相遇问题的基本关系 :各路程之和 =总路程 .追及问题的基本关系 :追及者的路程 -被追者的路程 =相距的路程 . 3.探究 :为鼓励居民节约用水 ,某市出台了新的家庭用水收费标准 ,规定 :所交水费分标准内水费与超标 部分水费两部分 ,其中标准内水费为元 /t,超标部分水费为元 /t,某家庭 6月份用水 12t,需交水费元 .求该市规定的家庭月标准用水量 . 本问题首先要分析所交水费元中是否有超标部分 ,由于12=( 元 ),小于元 ,所以含有超标部分的水费 ,则等量关系式为 : 月标准内水费 +超标部分水费 =该月所交水费 设月标准用水量为 xt,根据等量关系 ,得 +(12-x)= 解得 :x=8 所以 ,该市家庭月标准用水量是 8 吨 . 【教学说明】 分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题 .解决这 类问题的时候 ,我们先要确定所给的数据所处的分段 ,然后要根据它的分段合理地解决 . 4.班委会决定 ,由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22 支 ,送给山区学校的同学 .他们去了商场 ,看到圆珠笔每支15 / 21 5 元 ,钢笔每支 6 元 . (1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去 120元 ,问圆珠笔、钢笔各买了多少支 ? (2)若购圆珠笔可 9 折优惠 ,钢笔可 8 折优惠 ,在所需费用不超过 100元的前提下 ,请你写出一种选购方案 . 解 :(1)设圆珠笔买了 x 支 ,则钢笔买了 (22-x)支 ,根据题意得 : 5x+6(22-x)=120, 解得 :x=12. 所以 22-x=22-12=10. 答 :圆珠笔、钢笔分别买了 12支、 10支 . (2)是一道方案设计题 ,也是一道开放型题 ,答案不唯一 ,根据题意 ,圆珠笔的单价为 5=( 元 );钢笔的单价为 6=( 元 ),由于圆珠笔的单价小而钢笔的单价大 ,因此尽量圆珠笔多买些 . 当买圆珠笔 19支 ,钢笔 3 支时 , 19+3=( 元 )100(元 )满足条件 ; 当买圆珠笔 20支 ,钢笔 2 支时 , 20+2=( 元 )100(元 )满足条件 ; 当买圆珠笔 21支 ,钢笔 1 支时 , 21+1=( 元 )100(元 )满足条件 . 故有三种方案 ,圆珠笔 19 支 ,钢笔 3 支或圆珠笔 20 支 ,钢笔16 / 21 2 支或圆珠笔 21 支 ,钢笔 1 支 . 【教学说明】 这一层次及时鼓励学生通过观察、分析、小组讨论 ,找出其中的等量关系 ,并尝试用文字语言表述出来 ,有利于提高学生的分析问题能力和语言表达能力 . 三、运用新知 ,深化理解 1.教材 P101例 3、 P103例 4. 2.某城市出租车起步价为 8 元 (3 公里以内 ),以后每千米 2元 (不足 1km 按 1km 算 ),某人乘出租车花费 20 元 ,那么他大概行驶了多远 ? 解 :设这个人大概行驶 x 公里 ,根据题意得 : 8+2(x-3)=20 解得 :x=9 答 :这个人大概行驶 9 公里 . 3.甲、乙两列火车的长为 144m 和 180m,甲车比乙车每秒多行 4m.两列火车相向而行 ,从相遇到全部错开需 9s,问两车的速度各是多少 ? 解 :设乙车每秒行驶 xm,则甲车每秒行驶 (x+4)m, 根据题意得 :9(x+x+4)=144+180, 整理得 :2x=32, 解得 :x=16,x+4=20. 答 :甲车每秒行驶 20m,乙车每秒行驶 16m. 4.甲、乙两地的路程为 360千米 ,一列快车从乙站开出 ,每小17 / 21 时行 72千米 ;一列慢车从甲站开出 ,每小时行 48千米 . (1)若两列火车同时开出 ,相向而行 ,经过多少小时两车相遇 ? (2)若快车先开 25 分钟 ,两车相向而行 ,慢车行驶了多少时间两车相遇 ? 解 :(1)设两车同时开出相向而行 ,经 x 小时两车相遇 ,即72x+48x=360, 解得 :x=3, 答 :经过 3 小时两车相遇 . (2)设慢车行驶 y 小时两车相遇 ; 根据题意有 :48y+72(y+)=360, 解得 :y=. 答 :慢车行驶了小时两车相遇 . 5.某城市按以下规定收取每月煤气费 ,用煤气如果不超过60m3,按每立方米元收费 ;如果超过 60m3,超过部分按每立方米元收费 .已知某用户 10 月份的煤气费平均每立方米元 ,求该用户 10月份应交的煤气费是多少元 ? 解 :由 10月份煤气费平均每立方米元 ,可得 10月份用煤气一定超过 60m3, 设 10月份用了煤气 x 立方米 ,由题意得 : 60+(x -60)=x, 解得 :x=75(立方米 ), 则所交电费 =75=66( 元 ). 18 / 21 答 :10月份应交煤气费是 66元 . 6.某水果批发市场香蕉的价格如下表 : 购买香蕉数 (千克 )不超过 20千克 20千克以上但 不超过 40千克 40千克 以上 每千克价格 6 元 5 元 4 元 张强两次共购买香蕉 50 千克 (第二次多于第一次 ),共付出 264 元 ,请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克 ? 分析 :由于张强两次共购买香蕉 50 千克 (第二次多于第一次 ),那么第二次购买香蕉多于 25千克 ,第一次少于 25千克 .由于 50 千克香蕉共付 264 元 ,其平均价格为元 ,所以必然第一次购买香蕉的价格为 6元 /千克 ,即少于 20千克 ,第二次购买的香蕉价格可能是 5元 ,也可能是 4元 .我们再分两种情况讨论即可 . 解 :(1)当第一次购买香蕉少于 20 千克 ,第二次购买香蕉 20千克以上但不超过 40千克的时候 ,设第一次购买 x千克香蕉 ,第二次购买 (50-x)千克香蕉 ,根据题意 ,得 : 6x+5(50-x)=264 解得 :x=14 19 / 21 50-14=36(千克 ) (2)当第一次购买香蕉少于 20千克 ,第二次购买香蕉超过 40千克的时候 ,设第一次购买 x千克香蕉 ,第二次购买 (50-x)千克香蕉 ,根据题意 ,得 : 6x+4(50-x)=264 解得 :x=32(不符合题意 ) 答 :第一次购买 14千克香蕉 ,第二次购买 36千克香蕉 . 7.某移动通讯公司开设了两种业务 :一是 “ 全球通 ”, 使用者先缴纳 50 元月租费 ,然后每通话 1 分钟再付 通话费元 ;二是 “