高中新生函数变量意识培养初探.doc

高中新生函数变量意识培养初探 函数是高中数学学科体系中最基本、最重要的概念之一，函数是中学数学的重点知识，包含的内容非常广泛，它的概念和思想渗透高中数学教学的各个方面.学生学习函数知识最主要的是树立函数观点，并自觉养成用函数的观点和方法解决各类相关的复杂问题的习惯. 中国论文网 /9/view-13003226.htm高中数学注重数学思维品质的培养，注重数学思维逻辑的建立，强调学生要善于从具体到抽象的概括归纳与总结，注重培养学生学习数学中的“变式思想”“数形结合思想”“形变等价思想”“化归趋同思想”等数学思想与方法. 函数观点下的变量意识形成不易 在初中函数是这样定义的：如果在某变化过程中有两个变量x与y，并且对变量x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，变量x叫自变量，y叫因变量. 高中在学习了映射以后，用映射对函数进行了新定义：设A、B是两个非空数集，在对应法则f下，对于自变量x在集合A内的任意一个值，在集合B中都有唯一元素y与之对应，且集合B中任意一个元素在集合A中都有原象与之对应，那么在这条件下的映射称之为函数.并且，如果y是x的函数，特记为y=f（x），f是对应法则，x是自变量.并且集合A称作函数的定义域，设值域为M，则MB. （1） （2） （3） （1）是映射不是函数，（2）（3）既是映射又是函数. 从函数的两种定义知道，构成一个函数必有三要素：定义域、对应法则和值域.通过函数概念在不同历史时期的演变及发展史不难发现： 一、函数自变量的相对独立性 例1函数f（2x）的定义域是-1，1，求函数f（log2x）的定义域. 分析在这里，函数定义域是指独立自变量x的范围是-1x1，故122x2，从而f（x）的定义域是12，2，而我们所要求的函数f（log2x）的定义域显然既不是-1，1，也不是12，2，而应根据f（x）中x12，2得x2，4.从而求解得x12，2. 在这里2x与log2x中的变量x其意义是不一样；二是2x与log2x在f作用下的取值范围是相同的.又如， 例2已知函数f（x-2）=x2-3x+5，求f（2）的值. 分析这里f（2）=f（4-2），即x=4.从而f（2）=f（4-2）=42-34+5=9.在这里充分注意到自变量的独立性，从而避免了通过想办法求解f（x）的解析式这一繁杂的过程.用同样方法不难求解下面的题目. 二、函数自变量的整体性 函数自变量在具有独立性的同时，有时往往又具有待定的整体性. 例3已知f（x2-4）=lgx2x2-8，求函数的定义域. 分析f（x2-4）与f（x）是两个不同的函数，如果通过求解x2x2-80，得x22或x0，且g（1）0，这样就可不难求得x的正确取值范围是x3. 二、建构函数的思想 例6已知a，b，cR且|a|-1. 分析原不等式等价于ab+bc+ca+10，也即（b+c）a+（bc+1）0，因为这里a（-1，1），这是一个很重要的信息条件，利用好这个信息条件是解决本问题的关键.如果有变量意识，构建一个以“a”为自变量的函数，令这个函数f（a）=（b+c）a+（bc+1），符合题意条件不外乎下面两种情形： （1）若b+c=0，tf（a）=bc+1，由|bc|0； （2）若b+c0，由于一次函数的单调性，只需满足f（-1）0且f（1）0即可， 因f（-1）=（-b-c）+1+bc=（b-1）（c-1）0，同理f（1）0. f（a）在|a|0.从而问题得证. 三、变量自身的函数特征 分析变量自身函数特征，能够抓住问题的主要方面，防止在认知上出现偏差. 例7已知函数y=lg（mx2-4x+m-3）的值域是全体实数，求实数m的取值范围. 分析对函数y=lgax的值域是R，其定义域为（0，+），这一点学生深信不疑，但在其具体的解题过程中，普遍学生是这样做的： 解设t=mx2-4x+m-30，要使原函数的值域为R，须不等式满足m0且4.引导学生把函数t=mx2-4x+m-3（m0），且0）有最小值t0，这里t的范围是tt0，+），无法保证t（0，+），学生一目了然，终于明白了自己认识上的错误.这里mx2-4x+m-3是一个函数，正确解法如下： 解设t=mx2-4x+m-3，当m=0时，t=-4x-3，t（-，+），而（0，+）（-，+），符合题意；当m0时，0即可得0m4，此时t的范围含（0，+）部分，符合题意；当m0时，不合题意，由此