对中考动点问题思考及探究.doc

对中考动点问题思考与探究石排中学 邓沛森【摘要】 动点运动题是近年来的一个较为热点中考问题，这类题型不仅涉及知识点多，而且能将代数知识和几何知识紧密结合，教师在初三复习教学过程中，应注重以数学思想促进学生的思维发展，不仅让学生熟练掌握等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、三角函数、线段成比例、二次函数、或面积等基本知识和基本技能，教学中应该由浅到深，先易后难，通过变式教学，让学生紧紧抓住题目中的动与静的问题，动中取静，动态问题静态化，让考题复杂问题简单化，促进高效课堂，逐步培养学生解题能力，从而大大提高学生的学习兴趣。【关键词】 中考动点问题 动中取静 变式教学 探究动点运动问题是近年来的一个较为热点中考问题，这类题型不仅涉及知识点多，而且能将代数知识和几何知识紧密结合，而且很多时个作为压轴题，这样考查了学生的基本运算能力、又考察了学生的思维能力和空间想象能力，综合地体现了中考数学对学生的素质要求。近几年考查动点运动中的特殊知识点：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、三角函数、线段成比例、二次函数、或面积、最值等问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，教师在复习与教学过种中，需要应从易到难、从浅到深，通过变式教学，促进高效课堂，逐步培养学生解题能力，从而大大提高学生的学习兴趣。1.探究中考动点问题的有效方法11解中考动点问题方法与策略（1）动中取静。一般方法是抓住题目中的变化中的“不变量”，以不变应万变，动态问题静态化，根据题意理清题目中变化量与常量的关系。（2）确定数量关系。按照代数或图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。（3）从易到难、变式教学。教师中考复习时，应从易到难、从浅到深；教师通过变式教学，让复杂的问题简单化。（4）增强学生信心。积极鼓励学生迎难而上，有克服困难的态度与决心。例1.1（2010 四川成都）如图，在ABC中，B=，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_秒，四边形APQC的面积最小图3图2图1分析：探究本题的有效方法：（1）在题目上标箭头，这一步骤非常重要，让学明确方向感。（如图2）（2）设定运动时间t, AP=2t,BQ=4t,PB=12-2t，让“动“点变为“静”的式子。（如图3）（3）数量关系：四边形APQC的面积=ABC的面积PBQ的面积小结：考生对于这类问题通常摸不着头脑的，不知道用什么方法进行解决，为了应对中考动点运动问题，关键是教师在平时教学时教会学生基本方法，当学生掌握了基本方法后，才能对这类问题进行分析、解决，本题是抓住用字母t来表示“动点”的式，再利用“不变量”的三角形面积=（底X高）/2进行求解。12通过变式教学，化难为简，促进高效课堂针对这道动点的运动问题，中考的原题都较难，很多学生一看到这样的问题就会没有信心，教师在常规教学中，可能将本题目进行改编，通过此改编问题，通过变式教学，让学生更容易掌握。例1.2如图，在ABC中，B=，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，（1）那么经过几秒后，四边形APQC的面积最小？ 改编问题：（1）那么经过几秒后， PQAC？（2）那么经过几秒后，BPQ与BAC相似，（分类讨论（1）BPQBAC（2）BQPBAC）（3）那么经过几秒后，BPQ是等腰三角形（4）那么经过几秒后，BPQ的面是BAC面积的一半小结：通过简单的问题改编和变式训练，让学生掌握了勾股定理、线段成比例、相似三角形，直角三角形、二次函数和面积等知识，这些基本知识在动点运动中常考，这样比直接用中考动点原题好，让学生更容易掌握、提高了学生学习的兴趣、有利于对后续的教学。2中考动点问题分类探究动点运动题有很多，分类也很多，本文主要从以下四个方面进行研究：分别是（1）动点在三角形上运动（2）动点在四边形上运动（3）动点与圆相结合（4）动点在二次函数抛物线上运动。21动点在三角形上运动解中考动点问题通常利用方程、直角坐标系、勾股定理、三角函数，一次函数，二次函数等数量关系的知识点来进行解决问题。例2.1.1、如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒解答如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标考点：虽然本题是点的坐标问题，其实是动点在三角形上运动问题，利用平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理等定理的性质。（分析1）：（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理（也可以看成平行得到两个三角形相似，从而得到对应线段成比例），列线段比例式（这比例式就是“动”点中的“静”），求出t的值。解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103t。PQBO， ，即，解得t=。当t=秒时，PQBO。（分析2）：求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由APDABO得求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。（解答2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S与t之间的函数关系式为：S=（0t）。当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。（分析3）：求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解。（解答3）：如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）。小结：本题中，第（1）小问也可以改为APD与ABO相似三角形，把相似三角形的两组对应边成比例进行分类讨论，难度将什加大，这也是中考动点常考之一。动点问题，应用知识点比较比较推广：直角坐标系、勾股定理、相似、成比例线段、一次函数、二次函数、等相关知识，所以教师在常规教学过程中，注意把这些知识点浸透中考复习中，或作为重点来抓，这样为解决中考动点问题提供帮助。22动点在四边形上运动动点在四边形上运动是常考的题型之一，尤其在动点运动过程中如何得到平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等图形。因为动点与四边形相结合的考题难度适中、应用知识面比较广，所以中考动点问题在四边形上运动是重点之一。例2.2.1 如图，在等腰梯形ABCD中，AD4，BC9，B45动点P从点B 出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AB的长；（2）设BPx，问当x为何值时PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由考点：等腰梯形、二次函数的最值、菱形、解直角三角形的性质。分析：（1）作AEBC，根据题意可知BE的长度，然后，根据B的正弦值，即可推出AB的长度；（2）作QFBC，根据题意推出BPCQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，BAPBBAP45，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点解答：解：（1）作AEBC，等腰梯形ABCD中，AD4，BC9，BE（BCAD）22.5，B45，AB，（2）作QFBC，等腰梯形ABCD，BC45，点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BPx，BPCQx，BC9，CP9x，QFx，设PQC的面积为y，y（9x）x，即yxx，当x时，y的值最大，当x时，PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，等腰梯形ABCD，BC45，CQCPBPMP，BCMPB45，BMP45，BAPBBMP45，不符合三角形内角和定理，假设不存在，边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形小结：动点与四边形相结合的中考压轴题较为常考，尤其与平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形相结合的考题较多；本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可，本题的“动”是四边形的变化，“静”是产生平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形熟悉的图形23动点与圆相结合圆在初中中考是一个难点，如果圆与动点运动相结合，那大大增加难度，但只要以圆为载体，利用圆的有关性质，一般会与圆的切线、相似三角形、周长、面积相结合，熟练掌握圆的知识，很多问题化难为简。例2.3.1 （2011广西崇左）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4OA8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作O的切线交边BC于N（1）求证：ODMMCN；（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？ 考点：切线的性质；二次函数综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）依题意可得OMC=MNC，然后可证得ODMMCN（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=ADOA=8R，根据勾股定理求出OA的值（3）由1可求证ODMMCN，利用线段比求出CN，MN的值然后可求出CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长解答：（1）MN切O于点M，OMN=90；OMD+CMN=90，CMN+CNM=90；OMD=MNC；又D=C=90；ODMMCN，（2）在RtODM中，DM=x，设OA=OM=R；OD=ADOA=8R，由勾股定理得：（8R）2+x2=R2，6416R+R2+x2=R2，；（3）CM=CDDM=8x，又，且有ODMMCN，代入得到；同理，代入得到；CMN的周长为P=CM+CN+MN=（8x）+（x+8）=16所以，在点O的运动过程中，CMN的周长P始终为16，是一个定值点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识，当动点与圆相结合时，那中考的压轴题便大大地增加了难度，本题的“动”点中的“静”点就是直线与圆相切时，利用圆心到切线的距离等于半径。小结：处理与圆相切有关问题时常用的方法（1）直线与圆的相切的：利用圆心到切线的距离等于半径，立方程（2）解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.（3）解题需要利用勾股定理、三角形相似知识来解决24动点在二次函数抛物线上运动二次函数一般会放在中考的压轴题，难度较大，但是与动点相结合，会与平行四边形、矩形、菱形等相结合，也与面积的最值建立联系。关键是抓住几何、函数的性质特征。例2.4.1 （2012湖北孝感）如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQAC交x轴于点Q当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 _ 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)考点：二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质勾股定理，解一元二次方程。分析：（1）将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标。（2）求出直线BD的解析式，设定点P的坐标，由列式，根据二次函数最值原理，即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标。（3）如图，四边形PQAC是平行四边形时，CPx轴，点P在抛物线上，点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。C(0，3)，P（2，3）。如图，四边形PQAC是等腰梯形时，设P（m， ），过点P作PHx轴于点H，则H（m，0）。易得ACOQNP， 。OA=1，OC=3，HP=，即。AQ=AO+OHQH=。又由勾股定理得，。由四