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暑假讲义 九年级数学 相似三角形 第1讲 相似图形与成比例线段 【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比 相等 ，如果 ，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解： 这四条线段是成比例线段练习一：1、如图所示：（1）求线段比、 （2）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？3、线段a、b、c、d的长度分别是、2、判断这四条线段是否成比例？4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是_5、已知线段a=、 b =、c=、若，则=_若，则=_6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b= c= d=C a=4 b=6 c=5 d=10D a= b= c=2 d=知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1） 基本性质：如果，那么（两边同乘，）在的情况下，还有以下几种变形 、（2） 合比性质：如果，那么（3） 等比性质：如果，那么例2 填空： 如果，则=、 =、 =、 =练习二：1、已知，求2、若，则=_3、已知，则下列各式中不正确的是（ ）A B C D 4、已知，则=_5、已知，求=_ 第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1. 理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“”表示相似三角形， 如ABC ;2. 知道相似多边形的主要特征3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用运用相似多边形的特征进行相关的计算。 【学习过程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, ABBC 与DEEF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, ABBC 与DEEF相等吗?(2) 问题，ABAC=DE（ ），BCAC=（ ）DF强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_截两条直线，所得的_线段的比_。应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1 如图、若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出= =_、BCEKFA =_。 求FK的长? 活动2平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的 对应线段成比例 3、 归纳总结：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_对应_线段_成比例_。例1:如图在中,，求EA的长解： /DE EA=例2如图，在ABC中，DEBC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长 分析：由DEBC，可得ADEABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长解：巩固练习 1.如图，在ABC中，DEBC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.2如图，在ABCD中，EFAB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长 能力提升1如图，ABCAED, 其中DEBC，找出对应角并写出对应边的比例式2如图，ABCAED，其中ADE=B，找出对应角并写出对应边的比例式归纳判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似练习2：1、 如图，在Rt中，DEAC交AB于D，交AC于E，如果DE=5，AE=12， AC=28.求AB的长2、在中，DE/BC，交AB于D，交AC于E，F为BC上一点，DE交AF于G，已知AD=2BD，AE=5，求（1）；（2）AC的长3、 如图：在中，点D、E分别在AB、AC上，已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=，由此判断DE与BC的关系是_,理由是_4、 如图：AM：MB=AN：NC=1：3，则MN：BC=_5、 如图：在中，四边形EDFC为内接正方形，AC=5，BC=3，求：AE：DF的比值。6、在中，D、E分别在AB、AC上，且DE/BC，如果，且AC10，求AE及EC的长。7如图，DEBC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h(设网球是直线运动) 第3讲 相似多边形【学习目标】1知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。2会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。 【学习过程】探究研讨活动1观察，图27.1-4(1)中的A1B1C1是由正ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、 相似形定义：具有 相同形状 的图形称为相似形2、 相似多边形：对应角 相等 ， 对应边成比例 的多边形叫相似多边形3、 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。3【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角_，对应边的比_反之，如果两个多边形的对应角_，对应边的比_，那么这两个多边形_几何语言：在ABC和A1B1C1中若则ABC和A1B1C1相似 （2）相似比：相似多边形_的比称为相似比问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：相似比为1时，相似的两个图形_，因此_形是一种特殊的相似形例题例1、（选择题）下列说法正确的是（ ）A所有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D例2、如图：已知，四边形ABCD与四边形相似，求，长和大小5解：四边形ABCD四边形 即 巩固练习11在比例尺为110 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离2如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3如图所示的两个五边形相似，求未知边、的长度4如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度27.1-6练习2：1、下列说法正确的是 （ ）A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知，在放大镜里看到的的度数是_3、在中，BC15cm，AC45cm,AB54，另一个与它相似的三角形最短边是5，则最长一边是 4、用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（ ）A 是原来的10倍B 周长是原来的10倍C每个内角都发生了变化D以上说法都不对5.四边形ABCD与四边形相似图形，且A与、B与、C与是对应点，已知AB10、BC8、CD、AD、，求四边形的其余三边的边长及周长。6.正五边形ABCDE正五边形，且，若，则CD相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形与它相似，相似比为，求等腰梯形的周长及面积。解：由已知得 AB5 、ADBC5、 DC12 等腰梯形ABCD的周长为5+5+5+1228 等腰梯形ABCD等腰梯形 设等腰梯形周长为l，则有 即 等腰梯形的周长为42 过A、B分别作、则EFAB5 DECF 在Rt中，AD、DE AE 等腰梯形ABCD的面积为 等腰梯形ABCD等腰梯形 设等腰梯形面积为S，则有 S 即等腰梯形的面积为练习3：1、已知多边形A与多边形B相似，且多边形A与多边形B的周长比为1：3，则2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为4、如果把一个1221的矩形按相似比为进行变换，得到的新矩形的周长为面积为5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm和4cm，它们的面积相差28，求这两个多边形的面积分别是多少？知识点五：相似三角形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的判定方法：（1）判定方法一：定义判定（2）判定方法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似例题6：如图：DE/BC，交AB于D、交AC于E，若AD：DB2：，BC，求DE的长解： DE/BCADEABC AD：DB2：第1题图DE：BC2：5BC15 DE6练习题4：1、如图：DE/BC，则图中_,理由是_2、如图：AB/EF/DC，则图中相似三角形有_对，它们分别是_3、如图：在中，DE/BC，ADEC、BD1cm，AE4cm、BC5cm,求DE的长第2题图4、如图：AB/CD，OA：OD1：2，AB4cm，则CD的长为 （ ）A 2cmB 6cmC 8cmD 10cm5、如图：AB/CD，则图中有_对相似三角形 第4课时相似三角形的判定：【学习目标】1初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定方法的判定方法，2能够运用三角形相似的条件解决简单的问题 【学习重点】掌握3种判定方法，会运用3种判定方法判定两个三角形相似。【学习难点】（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似 【学习过程】知识回顾(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1活动11、如图，如果要判定ABC与ABC相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？活动2任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明方法（已知、求证、证明）如图27.2-4，在ABC和ABC中，求证ABCABC 证明 ：【归纳】 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似 判定方法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明计算得出，结合B=ACD，证明ABCDCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长解：例题2：如图：BC平分，AB4、BD10、BC，求证：ABCCBD证明： BC平分 AB4、BD10、BC 、 ABCCBD三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单说成：“两角对应相等，两个三角形相似” 若 则直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。 简单说成： 斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 若： 则例3.已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长（分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在ABE和AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似）巩固练习1 、填一填（1）如图3，点D在AB上，当 时， ACDABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 ，就可以使ADE与原ABC相似。ABDC图 3 ABCE图 42.。判断与是否相似并说明理由。AB5cmAC=15cm3下列说法是否正确，并说明理由（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形4.在中，、AB8cm、AC=10cm、DE=4cm、DF=5cm当_时ABCDE5如图：正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP3PC、Q是CD的中点，则_6如果在ABC中B=30，AB=5，AC=4，在ABC中，B=30AB=10，AC=8，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ 7如图，ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：ABCDEF8.(1)如图，ABC中，点D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD与ABC相似吗？说说你的理由（2）如图，ABC中，点D在AB上，如果ACD=B，那么ACD与ABC相似吗？ 能力提升1如图，ABAC=ADAE，且1=2，求证：ABCAED2已知：如图，P为ABC中线AD上的一点，且BD2=PDAD，求证：ADCCDP 3 、在ABC和ABC中，如果A80，C60，A80，B40，那么这两个三角形是否相似？为什么？4、已知：如图，ABC 的高AD、BE交于点F求证：5.已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE 第5讲 相似三角形的性质知识点六：相似三角形的性质：相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比例题1：与相似， CE15、AE30、DE40、AD20、DE/BC，求的周长 解： DE/BC ADEABC 相似比 CE15、AE30 AE30、DE40、AD20 的周长为20+40+3090 设周长为l 则有 l135 即的周长为135练习1：1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为_2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为,则=_3、两个相似三角形一对对应边的长分别为35cm和15cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别是_4、如图：在中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若的周长为20cm,则的周长为 （ ）A 5cmB 10cmC 12cmD 15cm5、如图：在梯形ABCD中，AD/BC，AC与BD相交于O，若与的周长之比为1：4，且BD12cm，则BO的长为_ cm相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方例题2：两个相似三角形一组对应边的长分别是3cm和4.5cm，若它们的面积和是78，则较大的三角形的面积是 （ ）A 42B 52C 54D 56练习2：1、 相似三角形的周长比等于_面积比等于_2、 已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为_面积比为_3、已知ABCABC，它们的周长分别为56cm、72 cm，则它们的面积比为_4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm，面积为1.2 cm的区域，这块区域的实际周长为_面积为_5、如图：在中，DE/FG/BC、且ADDFFB，则_相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比例题3：如图：在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，BMCE、MNBE，求BM：MN解：四边形ABCD正方形，边长为2，E是AB的中点 BE1 在中，BC2、BE1 CE 过点M作MNBE 练习3：1、 两个相似三角形的对应高的比为2：3，则对应角平分线的比为_,对应中线的比为_,面积比为_2、 已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm,那么这两个三角形的周长分别是_3、 若ABCABC，它们对应中线之比为m,则对应周长比为_,对应面积比为_4、 如图：在中，DE垂直且平分AC、AE/DF,则DF：BE_5、 如图：在中，DE/BC、与的相似比为5：4，交DE于M、已知MN2，求AN的长。第6课时相似三角形应用举例（一）【学习目标】1进一步巩固相似三角形的知识 2能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度【学习难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题【学习过程】知识回顾1、判断两三角形相似有哪些方法?2、相似三角形有什么性质？探究研讨11、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO （思考如何测出OA的长？） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度解：巩固练习在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例）探究研讨2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 解：注意 ：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给出，先经历这一抽象的过程如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难，应与老师一起认真板书解答过程经典例题例题1：小强用以下方法来测量教学楼AB的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA=21m，当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB为多少米？解：由题意可知、 EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6mAB=13.44m 即教学大楼的高度AB是13.44m例题2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即再解x的方程可求出河宽解：例题3：小强用以下方法来测量教学楼AB的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA=21m，当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB为多少米？解：由题意可知、 EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6mAB=13.44m 即教学大楼的高度AB是13.44m练习：第1题图1、 已知如图：AB为树、AC是它的影长，AD是一段树干，AD的影长为AE，AC=8m、AE=2m、AD=1.5m,求树高AB的长2.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB。能力提高ABCD1.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使ACAB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DEAC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗? E 第1题图2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米第3题图 第2题图3、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB的高度为1.2米，（1）若吊环高度为2米，支点A为PQ中点狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下，移动支柱，当支点A移到PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？第4题图4.某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木，如图：他们想在和地带种植价格为10元/m2的太阳花，当地带种满花后已经花了500元，请预算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金地否够用？并说明理由。5、李乐同学要在校园里测量一棵大树的高度，他发现树旁有一根高2.5m的电线杆，当他与大树和电线杆站在同一条直线上时，其前后距离，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平距离为3m，电线杆与树间的水平距离为10m，同时他借助他1.7m的身高，确定了树的高度，你能分析他是如何计算出来的吗？6、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？ 第8课时位似（一）【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图【学习难点】利用位似将一个图形放大或缩小 【学习过程】探究研讨活动1提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的. 观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？ 图27.3-2通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 知识点八：位似1、 位似的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形。交点叫做位似中心。每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行2、 位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或例题1：已知和是位似图形，请找出位似中心A例2：把图1中的四边形ABCD缩小到原来的 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为12 作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图2问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图3 作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图4（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略可以让学生自己完成）例题3：如图：五边形ABCDE与五边形是位似图形，O为位似中心、OD，则为 （ D ）A 2:3B 3:2 C 1:2D 2:1例题4：三个顶点坐标分别为、画出它的以原点为位似中心，相似比为的位似图形。解：相似比为 点A的对应点的坐标为 即 类似的可以确定其他顶点的坐标 即 即相似比为点A的对应点的坐标为 即类似的可以确定其他顶点的坐标 3、 运用位似图形的有关概念解决具体问题例题5：印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32dm，上下各空白1dm，两边各空白0.5dm，设印刷部分从上到下的长是dm，四周空白处的面积为S（1）求S和x的关系式;（2）当要求四周空白处的面积为18,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个矩形的位似图形吗？说明理由。解：（1）印刷部分是矩形，长为，面积为32宽为矩形的长为，宽为 （2）当S=18时，则解得，即即用来印刷这张广告的纸张长为10dm，宽为5dm（3）内外两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都经过矩形中心，如图所示巩固练习11画出所给图中的位似中心2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍能力提升1已知：如图，ABC，画ABC，使ABCABC，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在ABC的外部；（2）位似中心在ABC的内部；（3）位似中心在ABC的一条边上；（4）以点C为位似中心 练习2：1、 如图：ADEABC， 与_位似图形（填“是”或“不是”）2、 利用位似图形 可以将一个图形_或_3、 下列说法正确的 ( )A 相似的两个