2019年中考数学复习第八章专题拓展8.6突破中考压轴题（讲解部分）素材.pdf

第八章 专题拓展 突破中考压轴题 中考压轴题具有以下特点： 注重知识的综合运用每一道中考压轴题都融合了大量的 基础知识点，注重考查知识的融会贯通与综合运用能力 突出考查数学思想方法中考压轴题体现了丰富的数学思 想和数学方法，包括用字母表示数的代数思想，将实际问题转化 为数学问题的方程思想、函数思想，图形与数量互相转化的数形 结合思想，以及分类讨论思想等 关注思维的探索创新设置数学探索问题是压轴题的又一 特点，大多以函数、几何的动态问题为背景，融运动、开放、探索 于一题，立意新颖，灵活度高，能综合考查学生对基础知识的运 用能力，以及对图形的想象能力和创新思维能力 中考压轴题常见的类型有函数综合题和几何综合题两大 类，试题的难度系数在 之间，其中，以二次函数为核心内 容的压轴题比例较高 题型一 以二次函数为背景的三角形或四边形问题 例 （ 桂林， 分）如图，已知抛物线 与坐标轴分别交于点 （，）、（，）和点 ，动点 从原点 开始沿 方向以每秒 个单位长度移动，动点 从点 开始 沿 方向以每秒 个单位长度移动，动点 、 同时出发，当动 点 到达原点 时，点 、 停止运动 （）直接写出抛物线的解析式： ； （）求 的面积 与 点运动时间 的函数解析式；当 为何值时， 的面积最大？ 最大面积是多少？ （）当 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 （点 除外），使 的面积等于 的最大面积？ 若存在，求 出 点的坐标；若不存在，请说明理由 解析 （） （）由题意可得 （，）， （） （） （） 当 时，有最大值 （）存在当 的面积最大时，点 （，），（，） 如图，连接 ，在 中， 点 是 的中点，则 当点 与点 重合时， 有 点 （，） 设过点 （，），（，）的直线的解析式为 （ ）， ， ， ， ， 由平行线间的距离相等可知，当过点 的直线 或过点 的直线 与直线 平行时，直线 ，上的点与 构成的三 角形的面积都为 设过点 （，）的直线的解析式为 ， ， ， 直线 与抛物线 的交点坐标为（， ）， ， () 设过点 （，）的直线的解析式为 ， （）， ， 直线 与抛物线 的交点坐标为（， ）， ， ()， 符合条件的点为 （，）， ， ()， ， () 方法技巧 在动点问题中，要求出动点的轨迹，根据轨迹 建立适当的函数模型，再利用待定系数法求解其中的待定字母 好题精练 （ 湖北武汉， 分）已知点 （，），（，）在抛物 线 上 （）求抛物线的解析式； （）如图 ，点 的坐标为（，）（），直线 交抛物线于 另一点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，设抛物线与 年中考 年模拟 轴的正半轴交于点 ，连接 ，求证：； （）如图 ，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 从点 出发，沿射线 方向匀速运动，速度为每秒 个单位长 度，同时点 从原点 出发，沿 轴正方向匀速运动，速度 为每秒 个单位长度，点 是直线 与抛物线的一个交 点，当运动到 秒时，直接写出 的值 解析 （） 将点 （ ，），（，） 代入 有 ， ， 解得 ， ， 抛物线的解析式为 （）证明：设直线 的解析式为 （） 将点 （，）代入解析式，得， ， 直线 的解析式为 ， （，） 由 ， 消去 得 ， 解得 ， 点 的横坐标为 ，又 轴， 点 的坐标为（ ，） 设直线 的解析式为 （）， 则 （） ， ， 解得 ， ， 直线 的解析式为 设直线 的解析式为 （），易知点 的坐标为 （，）， 则 ， ， 解得 ， ， 直线 的解析式为 ， （） 或 或 或 详解： 由已知易得，（，），（，），由题意，知点 只可能在线段 上或 的延长线上 若 在线段 上，则利用 ，构造三角形相似，得 ， ()，代入抛物线 ，可得 () () ，解得 ； 若 在线段 的延长线上，则由 知点 为 的中点，构造三角形全等，得 （，），代入抛物线 ，可得 （）（） ，解得 综上 所 述， 的 值 为 或 或 或 思路分析 （）把 ， 两点坐标代入 ，解方程组 求出 ， 的值，即可得到抛物线的解析式； （）求出直线 和 的解析式，即可得证； （）用含有 的代数式表示出点 和 的坐标，分点 在线段 上和 的延长线上两种情况讨论，再结合 即可 得解 （ 山西， 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 经过坐标原点 ，与抛 物线的一个交点为 ，与抛物线的对称轴交于点 ，连接 ， 已知点 ， 的坐标分别为（，），（，）， （）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 和点 的坐标； （）试探究抛物线上是否存在点 ，使，若存 在，请直接写出 点 的坐标；若不存在，请说明理由； （）若点 是 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（，）， 直线 与直线 交于点 试探究：当 为何值时， 是等腰三角形 解析 （） 抛物线 经过点 （，），（，）， ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 （） ， 抛物线的对称轴为直线 又 抛物线与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为（，）， 点 的坐标为（，） 设直线 的函数表达式为 （） 点 （，）在直线 上， ，解得 直线 的函数表达式为 点 为直线 和抛物线对称轴的交点， 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 第八章 专题拓展 即点 的坐标为（，） （）抛物线上存在点 ，使 点 的坐标为（，）或（ ，） （）解法一： 分两种情况：当 时， 是等腰三角形 点 的坐标为（，）， 过点 作直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则 点 的坐标为（，） 设直线 的函数表达式为 （） ，解得 的函数表达式为 令 ，得 ，解得 点 的坐标为（，） 又 ， ， 即 ， 当 时， 是等腰三角形 当 时， ， 点 的坐标为（，） （） 又 ， ， 设直线 交 轴于点 ，其函数表达式为 （）， ，解得 的函数表达式为 令 ，得 点 的坐标为（，） ， ， ，解得 综上所述，当 的值为 或 时， 是等腰三角形 解法二：设抛物线的对称轴交直线 于点 ，与 轴交于点 分两种情况： 当 时， 为等腰三角形 当 时， ， 点 的坐标为（，） 点 的坐标为（，）， ，（） ， ， ， ， 又 轴， 四边形 是平行四边形 （） ， 轴， ， ， ， 当 时， 为等腰三角形 轴， ， ， （） （） 轴， ， 年中考 年模拟 当 的值为 或 时， 为等腰三角形 （ 山东潍坊， 分）如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 （，），点 （，）， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点 （）求抛物线的解析式； （）过点 且与 轴平行的直线 与直线 、 分别交于点 、，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标； （）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使 得以 、 为顶点的三角形与 相似？ 若存在，求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由 解析 （）把点 （，），（，）代入 ， 得 ， （）， （ 分） 解得 ， 抛物线的解析式是 （ 分） （） 轴，（，）， 由 ，解得 ， （，），（ 分） 设直线 的解析式是 （），将点 （，），（， ）代入，得 ， ， 解得 ， 直线 的解析式是 （ 分） 设点 的坐标为 ， ()，则点 的坐标为（， ）， 则 () ， ， 四边形 （） () () （ 分） 又 ， 当 时，四边形 的面积最大，最大值是 ， 此时点 的坐标是 ， () （ 分） （）存在 由 （） ， 得顶点 的坐标是（，）， 此时 ， ， 则在 中， ， 同理可得， ，（ 分） 在直线 上存在满足条件的点 ，如图， 易得 ， ， 当 时，设 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 当 时，设 （，）， 由 ， 得 ，解得 ，即 （，）（ 分） 综上，满足条件的点 有两个，坐标为（，）或（，） （ 分） （ 贵港， 分）如图，抛物线 与 轴交于 点 和点 （，），与 轴交于点 （，），其对称轴 为 （）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （）若动点 在第二象限内的抛物线上，动点 在对称轴 上 当 ，且 时，求此时点 的坐标； 当四边形 的面积最大时，求四边形 面积的 最大值及此时点 的坐标 解析 （） 抛物线 与 轴交于点 和 （， ），与 轴交于点 （，），其对称轴 为 ， ， ， ， 解得 ， ， 二次函数的解析式为 （） ， 顶点坐标为（，） 第八章 专题拓展 （）令 ，解得 或 ， （，），作 轴于点 ，令直线 与 轴交于点 ， 设点 （，）， ，且 ， ， ，即 ，解得 （舍去）或 ， 点 （ ，） 设 （，），则 ， 四边形 梯形 （） （） （）（） （） () ， 当 时，四边形取得最大值 ，当 时， ，此时 ， () 题型二 以二次函数为背景的圆的问题 例 （ 柳州， 分）如图，已知抛物线 （ ）的顶点坐标为 ，与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的 右侧），与 轴相交于点 （）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：（） （）的形式，并指出顶点 的坐标； （）在抛物线的对称轴上找点 ，使得 的值最小，并 求出其最小值和点 的坐标； （）以 为直径作 交抛物线于点 （点 在对称轴的 左侧），求证：直线 是 的切线 解析 （） （） （） () ， 抛物线的解析式化为顶点式为 () ， 顶点 的坐标是 ， () （）对于 （），令 ，即 （） ， 解得 或 （，），（，）， 时， （，） 连接 ，则 与对称轴 的交点为 ，连接 ， 则 ，根据两点之间线段最短可知此时 的值最小，最小值为 设直线 的解析式为 ， （，），（，）， ， 直线 的解析式为 令 ，得 ， 点坐标为 ， () （）设点 的坐标为 ， () （，），（，）， ， () 以 为直径的 的半径为 ， 即 () () () ， 化简整理得 ， 即（）（）（）（） 解得 （与 重合，舍去）， ， （在对称轴的右 侧，舍去），（与 重合，舍去）， 点 的坐标为（，） ， ()， ， ()， () () ， () （） ， () 点 在 上， 直线 是 的切线 好题精练 （ 梧州， 分）如图，抛物线 与坐标轴交 于 ， 三点，其中 （，），（，）连接 ，在第一象 限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 年中考 年模拟 交 于点 （）求此抛物线的解析式； （）在 上取点 ，使点 与点 关于点 对称以 为圆 心， 为半径作圆，当 与其中一条坐标轴相切时，求 点 的横坐标； （）过 点作直线 交 于 ，当 的面积最大 时，在抛物线和直线 上分别取 ， 两点，并使 ， 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 ， 两 点的横坐标 解析 （） ， 两点在抛物线 上， ， ， 解得 ， 所以所求的抛物线的解析式为 （）易知 （，）根据计算，求得经过 ， 两点的直线为 设 点的 坐 标 为 ， ()， 则 点 坐 标 为 ， () 点 与点 关于点 对称 点 的坐标为 ， () 若 与 轴相切，则必须有 ， 即 () 解得 ，（舍去） 若 与 轴相切，则必须有 ， 即 () 解得 ，（舍去） 综上所述，以 为圆心， 为半径作圆，当 与其中一条坐 标轴相切时，点 的横坐标为 或 （）点 ， 的横坐标分别为 ， 或 ， （ 崇左， 分）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐 标是（，）， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于 ， 两点 （） 则 点 ， ， 的 坐 标 分 别 是 （ ， ）， （ ， ），（ ， ）； （）设经过 ， 两点的抛物线解析式为 （） ，它的 顶点为 ，求证：直线 与 相切； （）在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，且点 在 轴的上 方，使 是等腰三角形如果存在，请求出点 的坐 标；如果不存在，请说明理由 解析 （）连接 ，则 垂直于 轴， ， 在 中， ， 同理，在 中， （，），（，），（，） （）把 （，）代入 （） ， 解得 ， （） ， ， () 则 ， ， 与 相切 （）设 （，）， 当 为顶点时，在 中， （） ， （） ， ， 点 在 轴上方， ， 所以 （ ，） 当 为顶点时，在 中， ， ， 点 在 轴上方， ， 所以 （，） 当 是顶点时， 和 重合， （，） 综上，当 的坐标为（，）或（，）或（，）时， 是等腰三角形 题型三 以几何知识为背景的压轴题 例 （ 贵港， 分）已知： 是等腰直角三角 形，动点 在斜边 所在的直线上，以 为直角边作等腰直 角三角形 ，其中，探究并解决下列问题： （）如图，若点 在线段 上，且 ， ，则： 线段 ， ； 猜想 ，三者之间的数量关系为 ； 第八章 专题拓展 （）如图，若点 在 的延长线上，在（）中所猜想的 结论仍然成立，请你利用图给出证明过程； （）若动点 满足 ，求 的值（提示：请利用备用图 进行探求） 解析 （） 是等腰直角三角形， ， ， ， 作 于点 ，则 ， ， 在 中， 为等腰直角三角形， ， （） （）， （） （）， ， 在 中，由勾股定理得 ， ， 为等腰直角三角形， ， （）如图，过点 作 ，垂足为 为等腰直角三角形， ， （） （） ， （） （）， ， 在 中，由勾股定理可知 ， ， 为等腰直角三角形， ， （）如图，过点 作 ，垂足为 当点 位于点 处时， ， 在 中， 由 勾 股 定 理 得 ， 当点 位于点 处时， ， 在 中，由勾股定理得 （） ， 在 中，由勾股定理得 综上所述， 的值为 或 好题精练 （ 四川绵阳， 分）如图，已知 中，点 从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动，到达点 停止运动，在点 的运动过程中，过点 作直线 交 于 点 ，且保持 再过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ，将 关于直线 对称后得到已知 ， ，设点 运动时间为 （）， 与 重叠部分的面积为 （） （）在点 的运动过程中，能否使得四边形 为正方形？ 如果能，求出相应的 值；如果不能，说明理由； （）求 关于 的函数解析式及相应 的取值范围； （）当 取最大值时，求 的值 解析 （）能（ 分） 如图，过 作 于点 ，四边形 为正方形时，易知 ， 因为 和 都是等腰直角三角形， 所以 ，所以 （）， 易证，所以 ， （ 分） 即 ，解得 （ 分） 年中考 年模拟 （）如图，当点 恰好落在 上时，连接 ，记 与 交 于点 ， 由已知得， ， 所以 ， 易证，所以 ， 即 ，解得 （ 分） 当 时，易证，所以 ， 即 ，解得 ()， （ 分） 此时 () ；（ 分） 当 时，如图，设 与 交于点 ，过 作 于 点 ，连接 ，交直线 于点 ， 易证，所以 ， 因为 ()，且易知 ， 所以 () ， 解得 ()，即 ()， （ 分） 此时 () () （） 综上所述， （）， （） （ 分） （）由（）知，当 时， 取得最大值， 此时，点 恰好落在 上，（ 分） 则有 ， 过 作 ，垂足为 ，如图， ， ， 易知， ，即 ， ，（ 分） （ 分） （ 贵港， 分）如图 ，在正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 （）如图 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 求证：； 若 ，求 的长； （）如图 ，连接 交 于点 ，交 于点 请探究并猜 想：线段 ， 之间有什么数量关系？ 并说明理由 解析 （）由旋转的性质可知 ， 四边形 为正方形， 又 ， 在 和 中， ， ， ， ， 第八章 专题拓展 ， 设正方形的边长为 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得 ，即（） （ ） 解得 （）如图，将 逆时针旋转 得到 四边形 为正方形， 由旋转的性质可得， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， （ 钦州， 分）如图，在平面直角坐标系中，以点 （， ）为端点的射线 轴，点 是射线 上的一个动点（点 与点 不重合），在射线 上取 ，作线段 的垂直 平分线，垂足为 ，且与 轴交于点 ，过点 作 ，交射 线 于点 ，连接 ，设点 的横坐标为 （）用含 的式子表示点 的坐标为 ； （）当 为何值时，？ （）当点 与点 不重合时，设 的面积为 ，求 与 之 间的函数解析式 解析 （） 点 坐标为（，）， ， 垂直平分 ， 点 的坐标为（，） （）如图，过点 作 ，垂足为 ， 又， 又， ，即 点 的坐标为 ， ()， ， 点 在 上 ， ， 即 解得 ， （舍去） 所以当 时， （） 三角形 的面积 （ ） () ， 与 的函数关系式为 （） 题型四 以二次函数为背景的图形变换问题 例 （ 桂林， 分）如图，已知开口向下的抛物线 过点 （，），与 轴交于点 ，顶点为 将抛物 线 绕点 旋转 后得抛物线 ，点 ， 的对应点分别为点 ， （）直接写出点 ， 的坐标； （）当四边形 是矩形时，求 的值及抛物线 的解 析式； （）在（）的条件下，连接 ，线段 上的动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度运动到点 停止在点 的运 动过程中，过点 作直线 轴，将矩形 沿直线 折叠， 设矩形折叠后互相重合部分的面积为 平方单位，点 的运动 时间为 秒，求 与 的函数关系 解析 （）（，）