2019年中考数学第六章图形的变换6.1图形的相似（讲解部分）素材.pdf

第六章 图形的变换 第六章 图形的变换 图形的相似 考点一 相似的有关概念 在同一单位长度下， 两条线段的长度之比 叫做两条线 段的比 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段 比例的基本性质： （） 考点二 相似三角形的性质与判定 定义：角对应相等， 边对应 成比例的三角形叫做相似 三角形 性质： 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应线段（边，高，中位线，角平分线） 成比例 相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似 比的平方 判定： 两角对应相等； 两边 对应成比例且 夹角 相等； 三边对应成比例； 两个直角三角形的斜边和一条 直角边 对应成比例，两个 三角形相似 考点三 图形的位似 位似图形的定义：如果两个图形不仅 相似 而且每组对应 点所在直线都 经过一点 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离比等于 位似比 位似图形的周长比等于位似比；面积比等于 位似比的平方 射影定理 射影就是正投影，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做 这点在这条直线上的正投影一条线段的两个端点在一条直线上 的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影 射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和 斜边的比例中项 公式 如图， 中， ， 是斜边 上的 高，则有射影定理如下： （）（）（） 证明 （）在 与 中， ， ， 又 ， ， ，即 （）在 与 中， ， ， ， 又 ， ， ，即 （）在 与 中， ， ， ， 又 ， ， ， 即 年中考 年模拟 方法一 判定两个三角形相似的基本策略 判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 基 本 策 略 两边对应成比例找夹角相等 一对等角 再找一对等角 再找夹边成比例 平行线利用相似三角形的预备定理 一对直角 再找一对等角 利用斜边、直角边对应成比例 等腰关系 找顶角相等 找一对底角相等 找底边和腰对应成比例 例 （ 浙江舟山， 分） 如图，已知 和 的面积相等，点 在 边上， 交 于点 ， ，则 的长是 解析 如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ， ， ，即 ， 又 ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 答案 变式训练 如图，小正方形的边长均为 ，则下列图中的 三角形（阴影部分）与 相似的是（ ） 答案 解析 是一个内角为 的钝角三角形，用排除 法可排除 、，故选 方法二 利用相似三角形列代数式的方法 在解题过程中要关注几何图形和相似的性质，能够通过相 似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来另 外，要熟练掌握等线段代换、等比代换、等量代换等技巧，培养综 合运用知识的能力 例 如图， 和 是两个全等的等腰直角三角 形， ， 的顶点 与 的斜边 的中点重合将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段 相交于点 ，线段 与射线 相交于点 （）如图，当点 在线段 上，且 时，求证： ； （）如图，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；并求当 ， 时， 两点间的距离（用含 的代数式表示） 解析 （）证明： 是等腰直角三角形， ， ， 是 的中点， 在 和 中， ， （） ， 且， 在 和 中， ， ， 又 ， 当 ， 时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 两点间的距离 （） () 变式训练 （ 浙江绍兴， 分）课本中有一道作 业题： 第六章 图形的变换 如图， 有 一 块 三 角形余料 ，它的边 ，高 要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个 顶点分别在 ， 上问加工成的正方形零件的 边长为多少 ？ 小颖解得此题的答案为 小颖善于反思，她又提出了 如下的问题 （）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由 两个并排放置的正方形所组成的，如图，此时，这个矩形零件 的两条邻边长又分别为多少 ？ 请你计算； （）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这 样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最 大值，求达到最大值时矩形零件的两条邻