中考数学复习第八章专题拓展8.3方案设计与决策（讲解部分）检测.PDF

第八章 专题拓展 方案设计与决策 题型特点 方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的 知识和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确 定出最佳方案的一类数学问题方案设计型问题涉及生产生活的 各个方面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等，应 用非常广泛，题目一般较长，做题时要认真读题，理解题意，选择 合适的数学模型解决问题 命题趋势 一般要用到方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计 等知识，以及转化、数形结合、分类讨论等数学思想，该类题型主 要考查学生对数学知识的应用能力和创新能力，这也是新课程 所要求的核心内容之一 题型一 利用方程（组）、不等式（组）进行方案设计 解题时可以根据题中蕴含的等量或不等关系，列出方程 （组）或不等式（组），通过解方程（组）或不等式（组），并结合题 意确定方案，通过计算不同的方案的盈利情况，确定最优的方案 例 （ 湖北武汉， 分）某公司为奖励在趣味运动 会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共 件，其中 甲种奖品每件 元，乙种奖品每件 元 （）如果购买甲、乙两种奖品共花费了 元，求甲、乙两种 奖品各购买了多少件； （）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 倍， 总花费不超过 元，求该公司有哪几种 不同的购买方案 解析 （）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品（ ）件， 由题意得 （） ， 解得 ， 答：购买甲种奖品 件，乙种奖品 件 （）设购买甲种奖品 件，则购买乙种奖品（）件， 由题意得， ， （）， 解得 ， 为整数， 或 当 时，；当 时， 答：该公司有两种不同的购买方案方案一：购买甲种奖品 件，购买乙种奖品 件；方案二：购买甲种奖品 件，购买乙种 奖品 件 好题精练 （ 黑龙江齐齐哈尔，）某抗战纪念馆馆长找到大学生团 干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计 个小 时的工作时间，需要每名男生工作 个小时，每名女生工作 个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（ ） 种 种 种 种 答案 设安排 名男生， 名女生，则 ， ， 为非负整数，可得 ，举例验证可得当 时， ，当 时，当 时， ，所以可以安排 名女生， 名男 生； 名女生， 名男生； 名女生参加活动，所以方案共有 种，故选 （ 湖南长沙，） 年 月 日，中国第一条具有自主 知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火 车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的 建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受星城渣土运 输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号 的渣土运输车运输土方已知 辆大型渣土运输车与 辆小型 渣土运输车一次共运输土方 吨， 辆大型渣土运输车与 辆小型渣土运输车一次共运输土方 吨 （）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输 土方多少吨？ （）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共 辆参与运输土方若每次运输土方总量不小于 吨，且小 型渣土运输车至少派出 辆，则有哪几种派车方案？ 解析 （）设一辆大型渣土运输车一次运输土方 吨，一辆 小型渣土运输车一次运输土方 吨， 则 ， ， 得 ， 得 ， 将 代入得 ，即 ，则 答：一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土 方 吨和 吨 （）设派出大型渣土运输车 辆，则派出小型渣土运输车（ ）辆，由题意得 （）， ， 解得 可取 ，相应的 可取 ， 有如下三种派 车方案： 方案一：派大型渣土运输车 辆，小型渣土运输车 辆； 方案二：派大型渣土运输车 辆，小型渣土运输车 辆； 方案三：派大型渣土运输车 辆，小型渣土运输车 辆 题型二 利用函数进行方案设计 在确定最优方案时，我们也可以用函数的增减性来确定 例 （ 四川成都， 分）随着地铁和共享单车的发 展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站 出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 ， 中的某一站 出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 （单位：千米），乘坐地铁的时间 （单位：分钟）是关于 的一次 函数，其关系如下表： 年中考 年模拟 地铁站 （千米） （分钟） （）求 关于 的函数表达式； （）李华骑单车的时间 （单位：分钟）也受 的影响，其关 系可以用 来描述，请问：李华应选择在哪一站 出地铁，才能使他从文化宫站回家所需的时间最短？ 并求出最 短时间 解析 （）设 与 之间的函数关系式为 （ ），把（，），（，）代入得 ， ， 解得 ， （）设李华从文化宫站回家所花的时间为 分钟，则 ， 即 ， 即 （） ， 当 时， 取最小值，为 ， 李华应在 站出地铁，可使得他回家所需时间最短，最短 时间为 分钟 例 （ 陕西， 分）经过一年多的精准帮扶，小明 家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往 全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表： 商品红枣小米 规格 袋 袋 成本（元 袋） 售价（元 袋） 根据上表提供的信息，解答下列问题： （）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣 和小米共 ，获得利润 万元，求这前五个月小明家网 店销售这种规格的红枣多少袋； （）根据之前的销售情况，估计今年 月到 月这后五个 月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 ， 其中，这种规格的红枣的销售量不低于 假设这后五个月， 销售这种规格的红枣为 （），销售这种规格的红枣和小米获得 的总利润为 （元），求出 与 之间的函数关系式，并求这后五 个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 多少元 解析 （）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红 枣 袋，则销售这种规格的小米 袋，根据题意，得 （）（） ， 解得 这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 袋 （ 分） （）根据题意，得 （）（） 与 之间的函数关系式为 （ 分） ， 的值随 值的增大而增大 ， 当 时， 最小，为 这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至 少获得总利润为 元（ 分） 思路分析 （）设这前五个月小明家网店销售这种规格 的红枣 袋，根据“销售题表中规格的红枣和小米共 ， 获得利润 万元”列出方程求解即可；（）这后五个月，销售这 种规格的红枣为 （），列出 与 之间的函数关系式，利用一 次函数的增减性及 的取值范围求出最值 解题关键 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息， 确定自变量的取值范围，列出函数关系式是解题的关键 好题精练 （ 内蒙古包头， 分）某广告公司设计一幅周长为 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 元，设矩形一 边长为 米，面积为 平方米 （）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （）设计费能达到 元吗？ 为什么？ （）当 是多少时，设计费最多？ 最多是多少元？ 解析 （） 矩形的周长为 米，一边长为 米， 该边的邻边长为（）米， （） 其中，（ 分） （）能理由如下： 设计费为每平方米 元， 当设计费为 元时，面积为 （平方 米）， 令，解得 ， 设计费能达到 元（ 分） （） （） ， 当 时， 取得最大值，且 （元） 当 时，设计费最多，最多是 元（ 分） （ 安徽， 分）某超市销售一种商品，成本每千克 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 元经市场调查， 每天的销售量 （千克）与每千克售价 （元）满足一次函数关 系，部分数据如下表： 售价 （元） 销售量 （千克） （）求 与 之间的函数表达式； （）设商品每天的总利润为 （元），求 与 之间的函数表达 式（利润收入成本）； （）试说明（）中总利润 随售价 的变化而变化的情况，并 指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 （）设 （） 由题意，得 ， ， 解得 ， 所求函数表达式为 （ 分） （）（）（） （ 分） （） （） ，其中 第八章 专题拓展 ， 当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小， 当售价为 元时，获得最大利润，最大利润为 元 （ 分） （ 湖北武汉， 分）用 块 型钢板可制成 块 型钢 板和 块 型钢板；用 块 型钢板可制成 块 型钢板和 块 型钢板现准备购买 、 型钢板共 块，并全部加工成 、 型钢板要求 型钢板不少于 块， 型钢板不少于 块，设购买 型钢板 块（ 为整数） （）求 、 型钢板的购买方案共有多少种； （）出售 型钢板每块利润为 元， 型钢板每块利润为 元若将 、 型钢板全部出售，请你设计获利最大的购 买方案 解析 （）依题意，得 （）， （） 解得 ， 为整数， ， 答：， 型钢板的购买方案共有 种 （）设全部出售后共获利 元依题意，得 （）（）， 即 ， 随 的增大而减小， 当 时， 的最大值是 答：获利最大的购买方案是购买 型钢板 块， 型钢板 块 题型三 图形问题中的方案设计 此类问题主要有图形的分割与拼接、线路、测量等问题，考 查动手操作能力与空间想象能力，大多数具有一定的开放性，要 求学生多角度、多层次地探索，以展示思维的灵活性、发散性、创 新性 例 （ 吉林， 分）图、图、图都是由边长为 的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格 点线段 的端点在格点上 （）在图、图中，以 为边各画一个等腰三角形，且第 三个顶点在格点上（所画图形不全等）； （）在图中，以 为边画一个平行四边形，且另外两个顶 点在格点上 解析 （）每画对一个得 分答案不唯一，以下答案供 参考 （ 分） （）画对一个即可答案不唯一，以下答案供参考 （ 分） 例 （ 吉林， 分）图，图都是 的正方形 网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 ，在每个正方形网格中标注了 个格点，这 个格点简称为标 注点 （）请在图，图中，以 个标注点为顶点，各画一个平行 四边形（两个平行四边形不全等）； （）图中所画的平行四边形的面积为 解析 （）本题答案不唯一，以下答案供参考 友情提示：若图中所画的平行四边形与图中所画的平 行四边形全等，则图不给分 （） 好题精练 （ 江西， 分） 如图，已知正七边形 ，请 仅用无刻度的直尺 ，分别按下列要求画图 （）在图 中，画出一个以 为边的平行四边形； （）在图 中，画出一个以 为边的菱形 解析 （）如图（画法有多种，正确画出一种即可，以下几 种画法仅供参考） 年中考 年模拟 （ 分） （）如图（画法有两种，正确画出其中一种即可） （ 分） （ 黑龙江哈尔滨， 分）如图，方格纸中每个小正方形 的边长均为 ，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上 （）在图中画出以 为底、面积为 的等腰三角形 ，且 点 在小正方形的顶点上； （）在图中画出平行四边形 ，且点 和点 均在小正方 形的顶点上