成人高考高等数学二公式.pdf

1 第一章函数、极限和连续 1.1函数 一、主要内容 函数的概念 1. 函数的定义:y=f(x),xD 定义域: D(f),值域: Z(f). 2.分段函数: = = = = 2 2 2 2 1 1 1 1 ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( D D D Dx x x xx x x xg g g g D D D Dx x x xx x x xf f f f y y y y 3.隐函数:F(x,y)= 0 4.反函数:y=f(x) x=(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D 当 x1x2时,若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调增加()； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少()； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加()； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少()。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数 1.常数函数： y=c ，(c 为常数) 2.幂函数：y=x n ,(n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a0、a1) 4.对数函数： y=logax ,(a0、a1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x 2 y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=(x) y=f(x) ,xX 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函 数 1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念 1. 1. 1. 1.数列的极限: Ayn n = lim 称数列 n y 以常数 A 为极限; 或称数列 n y 收敛于 A. 定理: 若 n y 的极限存在 n y 必定有界. 2.函数的极限： 当 x 时， )(xf 的极限： Axf Axf Axf x x x = = = + )(lim )(lim )(lim 当0 xx 时， )(xf 的极限： Axf xx = )(lim 0 左极限： Axf xx = )(lim 0 3 右极限： Axf xx = + )(lim 0 函数极限存的充要条件： 定理： AxfxfAxf xxxx xx = + )(lim)(lim)(lim 00 0 无穷大量和无穷小量 1 1无穷大量： +=)(limxf 称在该变化过程中 )(xf 为无穷大量。 X 再某个变化过程是指： ,+xxx 000 ,xxxxxx + 2 2无穷小量： 0)(lim=xf 称在该变化过程中 )(xf 为无穷小量。 3 3无穷大量与无穷小量的关系： 定理： )0)( , )( 1 lim0)(lim+=xf xf xf 4 4无穷小量的比较： 0lim, 0lim= 若 0lim= ,则称是比较高阶的无穷小量； 若 c= lim （c 为常数） ，则称与同阶的无穷小量； 若 1lim= ，则称与是等价的无穷小量，记作：； 4 若 = lim ,则称是比较低阶的无穷小量。 定理：若： ；， 2211 则： 2 1 2 1 limlim = 两面夹定理 1数列极限存在的判定准则： 设：nnn zxy （n=1、2、3） 且： azy n n n n = limlim 则： axn n = lim 2函数极限存在的判定准则： 设：对于点 x0的某个邻域内的一切点 （点 x0除外）有： )()()(xhxfxg 且： Axhxg xxxx = )(lim)(lim 00 则： Axf xx = )(lim 0 极限的运算规则 若： BxvAxu=)(lim,)(lim 5 则： BAxvxuxvxu=)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu=)(lim)(lim)()(lim B A xv xu xv xu = )(lim )(lim )( )( lim )0)(limxv 推论： )()()(lim 21 xuxuxu n L )(lim)(lim)(lim 21 xuxuxu n =L )(lim)(limxucxuc= nn xuxu)(lim)(lim= 两个重要极限 1 1 sin lim 0 = x x x 或 1 )( )(sin lim 0)( = x x x 2 e x x x =+ ) 1 1 (limex x x =+ 1 0 )1 (lim 1.3 连续 一、主要内容 函数的连续性 1.函数在0 x 处连续： )(xf 在0 x 的邻域内有定义， 1o 0)()(limlim 00 00 =+= xfxxfy xx 2o )()(lim 0 0 xfxf xx = 6 左连续： )()(lim 0 0 xfxf xx = 右连续： )()(lim 0 0 xfxf xx = + 2.函数在0 x 处连续的必要条件： 定理： )(xf 在0 x 处连续 )(xf 在0 x 处极限存在 3. 函数在0 x 处连续的充要条件： 定理： )()(lim)(lim)()(lim 00 00 0 xfxfxfxfxf xxxxxx = + 4.函数在 ba, 上连续： )(xf 在 ba, 上每一点都连续。 在端点a和b连续是指： )()(limafxf ax = + 左端点右连续； )()(limbfxf bx = 右端点左连续。 a+0b-x 5. 函数的间断点： 若 )(xf 在0 x 处不连续，则0 x 为 )(xf 的间断点。 间断点有三种情况： 1o在0 x 处无定义； 2o )(lim 0 xf xx 不存在； 7 3o在0 x 处有定义，且 )(lim 0 xf xx 存在， 但 )()(lim 0 0 xfxf xx 。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点： )(lim 0 xf xx 和 )(lim 0 xf xx + 都存在。 可去间断点： )(lim 0 xf xx 存在，但 )()(lim 0 0 xfxf xx ，或在0 x 处无定义。 2o第二类间断点： 特点： )(lim 0 xf xx 和 )(lim 0 xf xx + 至少有一个为， 或 )(lim 0 xf xx 振荡不存在。 无穷间断点： )(lim 0 xf xx 和 )(lim 0 xf xx + 至少有一个为 函数在0 x 处连续的性质 1.连续函数的四则运算： 设 )()(lim 0 0 xfxf xx = ， )()(lim 0 0 xgxg xx = 1o )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx = 8 2o )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx = 3o)( )( )( )( lim 0 0 0 xg xf xg xf xx = 0)(lim 0 xg xx 2.复合函数的连续性： )(),(),(xfyxuufy= )()(lim),()(lim 0 )( 0 00 xfufxx xuxx = 则： )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx = 3.反函数的连续性： )(),(),( 00 1 xfyxfxxfy= )()(lim)()(lim 0 11 0 00 yfyfxfxf yyxx = 函数在 ,ba 上连续的性质 1.最大值与最小值定理： )(xf 在 ,ba 上连续 )(xf 在 ,ba 上一定存在最大值与最小值。 yy +MM f(x)f(x) 0abx m -M 0ab x 9 2. 2. 2. 2.有界定理： )(xf 在 ,ba 上连续 )(xf 在 ,ba 上一定有界。 3.介值定理： )(xf 在 ,ba 上连续在 ),(ba 内至少存在一点 ，使得： cf=)( ， 其中： Mcm yy M f(x) Cf(x) 0ab x m 0a12bx 推论： )(xf 在 ,ba 上连续，且 )(af 与 )(bf 异号 在 ),(ba 内至少存在一点，使得： 0)(=f 。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f fy y y y= = = = 在0 0 0 0 x x x x 的某个邻域内有定义， 10 x x x x x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f x x x x y y y y x x x xx x x x + + + + = = = = ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( limlimlimlimlimlimlimlim 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) ) ) ) ( ( ( () ) ) )( ( ( ( limlimlimlim 0 0 0 0 x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = 0 0 0 00 0 0 0 ) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 x x x xx x x xx x x xx x x x dxdxdxdx dydydydy x x x xf f f fy y y y = = = = = = = = = = = = = = = 2左导数： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( limlimlimlim) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xf f f f x x x xx x x x = = = = 右导数： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( limlimlimlim) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 x x x xx x x x x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xf f f f x x x xx x x x = = = = + + + + + + + + 定理： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在0 0 0 0 x x x x 的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： ) ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = （或： ) ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = + + + + + + + + ） 3.函数可导的必要条件： 定理： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在0 0 0 0 x x x x 处可导 ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在0 0 0 0 x x x x 处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理： ) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xf f f fy y y y x x x xx x x x = = = = = = = = 存在 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( 0 0 0 00 0 0 0 x x x xf f f fx x x xf f f f + + + + = = = = ， 且存在。 11 5.导函数： ), ), ), ),( ( ( (x x x xf f f fy y y y = = = = ) ) ) ), , , ,( ( ( (b b b ba a a ax x x x ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在 ) ) ) ), , , ,( ( ( (b b b ba a a a 内处处可导。 y )( 0 xf)(xf 6.导数的几何性质： y ) ) ) )( ( ( ( 0 0 0 0 x x x xf f f f 是曲线 ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f fy y y y= = = = 上点 x ( ( ( () ) ) ) 0 0 0 00 0 0 0, , , , y y y yx x x xMMMM 处切线的斜率。ox0 x 求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v v v vu u u uv v v vu u u u = = = = ) ) ) )（ 2o v v v vu u u uv v v vu u u uv v v vu u u u + + + + = = = = ) ) ) )（ 3o 2 2 2 2 v v v v v v v vu u u uv v v vu u u u v v v v u u u u = = = = ) ) ) )0 0 0 0( ( ( ( v v v v 3.复合函数的导数： ) ) ) )( ( ( ( ), ), ), ),( ( ( (), ), ), ),( ( ( (x x x xf f f fy y y yx x x xu u u uu u u uf f f fy y y y = = = = = = = = = = dxdxdxdx dudududu dudududu dydydydy dxdxdxdx dydydydy = = = = ，或 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( x x x xx x x xf f f fx x x xf f f f = = = = 注意 ) ) ) )( ( ( ( x x x xf f f f 与 ) ) ) )( ( ( ( x x x xf f f f 的区别： ) ) ) )( ( ( ( x x x xf f f f 表示复合函数对自变量x x x x求导； ) ) ) )( ( ( ( x x x xf f f f 表示复合函数对中间变量 ) ) ) )( ( ( (x x x x 求导。 4.高阶导数： ) ) ) )( ( ( (), ), ), ),( ( ( (), ), ), ),( ( ( ( ) ) ) )3 3 3 3( ( ( ( x x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f或或 12 ) ) ) )4 4 4 4 , , , , 3 3 3 3 , , , , 2 2 2 2( ( ( (, , , , ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )1 1 1 1( ( ( () ) ) )( ( ( ( L= = = = = = = = n n n nx x x xf f f fx x x xf f f f n n n nn n n n 函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。 微分的概念 1.微分： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在x x x x的某个邻域内有定义， ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (x x x xo o o ox x x xx x x xA A A Ay y y y + + + + = = = = 其中： ) ) ) )( ( ( (x x x xA A A A 与 x x x x 无关， ) ) ) )( ( ( (x x x xo o o o 是比 x x x x 较高 阶的无穷小量，即： 0 0 0 0 ) ) ) )( ( ( ( limlimlimlim 0 0 0 0 = = = = x x x x x x x xo o o o x x x x 则称 ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f fy y y y= = = = 在x x x x处可微，记作： x x x xx x x xA A A Adydydydy = = = =) ) ) )( ( ( ( dxdxdxdxx x x xA A A Adydydydy) ) ) )( ( ( (= = = =) ) ) )0 0 0 0( ( ( ( x x x x 2.导数与微分的等价关系： 定理： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在x x x x处可微 ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 在x x x x处可导， 且： ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (x x x xA A A Ax x x xf f f f= = = = 3.微分形式不变性： dudududuu u u uf f f fdydydydy) ) ) ) ( ( ( ( = = = = 不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy dydydy 都具有相同的形式。 2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1.罗尔定理: ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 满足条件: 13 . . . .0 0 0 0) ) ) )( ( ( ( , , , , ) ) ) ), , , ,( ( ( ( ). ). ). ).( ( ( () ) ) )( ( ( (3 3 3 3 ; ; ; ;) ) ) ), , , ,( ( ( (2 2 2 2 , , , , 1 1 1 1 0 0 0 0 . . . . 0 0 0 0 . . . . 0 0 0 0 . . . . = = = = = = = = f f f f b b b ba a a a b b b bf f f fa a a af f f f b b b ba a a a b b b ba a a a 使得使得 存在一点存在一点 内至少内至少在在 内可导内可导在在 上连续；上连续；在在 y) ) ) )( ( ( ( f f f f ) ) ) )( ( ( ( f f f f ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f aobxaobx 2.拉格朗日定理： ) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f 满足条件: a a a ab b b b a a a af f f fb b b bf f f f f f f f b b b ba a a a b b b ba a a a b b b ba a a a = = = = ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) ), , , ,( ( ( ( ) ) ) ), , , ,( ( ( (2 2 2 2 , , , , 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ，使得：，使得：在一点在一点 内至少存内至少存在在 内可导；内可导；在在 上连续，上连续，在在 罗必塔法则： （ , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 型未定式） 定理： )(xf 和 )(xg 满足条件： 1o）或 ）或 = = (0)(lim (0)(lim xg xf ax ax ； 2o在点 a 的某个邻域内可导，且 0)(xg ； 14 3o ）（或= , )( )( lim )( A xg xf ax 则： ）（或= = , )( )( lim )( )( lim )()( A xg xf xg xf axax 注意：1 o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2 o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是 0 0 型或 型时，不可求导。 3 o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4 o若)(xf 和 )(xg 还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： ）（或（或 = = = = = = = = = = = = A A A A x x x xg g g g x x x xf f f f x x x xg g g g x x x xf f f f x x x xg g g g x x x xf f f f a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x x ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( limlimlimlim ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( limlimlimlim ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( limlimlimlim ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( 5 o若函数是 , , , ,0 0 0 0 型可采用代数变 形，化成 0 0 0 0 0 0 0 0 或 型；若是 0 0 0 00 0 0 0 , , , ,0 0 0 0 , , , ,1 1 1 1 型可 采用对数或指数变形，化成 0 0 0 0 0 0 0 0 或 型。 导数的应用 1 切线方程和法线方程： 设： ) ) ) ), , , ,( ( ( (), ), ), ),( ( ( ( 0 0 0 00 0 0 0 y y y yx x x xMMMMx x x xf f f fy y y y= = = = 切线方程： ) ) ) )( )( )( )( ( ( ( 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 x x x xx x x xx x x xf f f fy y y yy y y y = = = = 15 法线方程： ) ) ) )0 0 0 0) ) ) )( ( ( ( ( ( (), ), ), ),( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = = x x x xf f f fx x x xx x x x x x x xf f f f y y y yy y y y 2 曲线的单调性： ) ) ) ), , , ,( ( ( (0 0 0 0) ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f 内单调增加；内单调增加；在在) ) ) ), , , ,( ( ( () ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xf f f f ) ) ) ), , , ,( ( ( (0 0 0 0) ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f 内单调减少；内单调减少；在在) ) ) ), , , ,( ( ( () ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xf f f f ) ) ) ), , , ,( ( ( (0 0 0 0) ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f 内严格单调增加；内严格单调增加；在在) ) ) ), , , ,( ( ( (b b b ba a a a ) ) ) ), , , ,( ( ( (0 0 0 0) ) ) )( ( ( (b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f ； 则 )(xf 在 ),(ba 内是上凹的 （或凹的） ，（） ； 若 ()baxxf, 0)( = = = =a a a aa a a aa a a ad d d d a a a a dxdxdxdxa a a a x x x xx x x x 4o ) ) ) )(ln(ln(ln(ln 1 1 1 1 x x x xd d d ddxdxdxdx x x x x = = = = 5o ) ) ) )(sin(sin(sin(sincoscoscoscos) ) ) )(cos(cos(cos(cossinsinsinsinx x x xd d d dxdxxdxxdxxdxx x x xd d d ddxdxdxdx= = = = = = = = ) ) ) )(cot(cot(cot(cotcsccsccsccsc) ) ) )(tan(tan(tan(tansecsecsecsec 2 2 2 22 2 2 2 x x x xd d d dxdxxdxxdxxdxx x x xd d d dxdxxdxxdxxdx = = = = = = = 6o ) ) ) )(arccos(arccos(arccos(arccos) ) ) )(arcsin(arcsin(arcsin(arcsin 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x xd d d dx x x xd d d ddxdxdxdx x x x x = = = = = = = ) ) ) )cotcotcotcot( ( ( () ) ) )(arctan(arctan(arctan(arctan 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x xarcarcarcarcd d d dx x x xd d d ddxdxdxdx x x x x = = = = = = = + + + + 2.第二换元法： 20 = = = = = = = =) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( t t t td d d dt t t tf f f fdxdxdxdxx x x xf f f f t t t tx x x x 令令 + + + += = = = = = = =C C C Ct t t tF F F Fdxdxdxdxt t t tf f f ft t t t) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( C C C Cx x x xF F F F x x x xt t t t + + + += = = = = = = = ) ) ) )( ( ( ( 1 1 1 1 ) ) ) )( ( ( ( 1 1 1 1 反代反代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o 0 0 0 0, , , , , , , = = = =t t t tn n n nt t t tx x x x n n n n 为偶数时为偶数时 (当被积函数中有 n n n n x x x x 时) 2o2 2 2 2 0 0 0 0), ), ), ),coscoscoscos( ( ( (, , , ,sinsinsinsin = = = = = = =t t t tx x x xa a a ax x x xt t t ta a a ax x x x或或 (当被积函数中有 2 2 2 22 2 2 2 x x x xa a a a 时) 3o ) ) ) )0 0 0 0( ( ( (, , , ,0 0 0 0), ), ), ),cotcotcotcot( ( ( (, , , ,tantantantan 2 2 2 22 2 2 2 = = = = = = =t t t tt t t tt t t ta a a ax x x xt t t ta a a ax x x x或或 (当被积函数中有 2 2 2 22 2 2 2 x x x xa a a a+ + + + 时) 4o ) ) ) )0 0 0 0( ( ( (, , , ,0 0 0 0), ), ), ),csccsccsccsc( ( ( (, , , ,secsecsecsec 2 2 2 22 2 2 2 = = = = = = =t t t tt t t tt t t ta a a ax x x xt t t ta a a ax x x x或或 (当被积函数中有 2 2 2 22 2 2 2 a a a ax x x x 时) 分部积分法： 1. 分部积分公式： 21 = = = = = = = = vdxvdxvdxvdxu u u uv v v vu u u udxdxdxdxv v v vu u u u vduvduvduvduv v v vu u u uudvudvudvudv 2.分部积分法主要针对的类型： xdxxdxxdxxdxx x x xP P P Pxdxxdxxdxxdxx x x xP P P Pcoscoscoscos) ) ) )( ( ( (, , , ,sinsinsinsin) ) ) )( ( ( ( dxdxdxdxe e e ex x x xP P P P x x x x ) ) ) )( ( ( ( xdxxdxxdxxdxx x x xP P P Plnlnlnln) ) ) )( ( ( ( xdxxdxxdxxdxx x x xP P P Pxdxxdxxdxxdxx x x xP P P Parccosarccosarccosarccos) ) ) )( ( ( (, , , ,arcsinarcsinarcsinarcsin) ) ) )( ( ( ( xdxxdxxdxxdxarcarcarcarcx x x xP P P Pxdxxdxxdxxdxx x x xP P P Pcotcotcotcot) ) ) )( ( ( (, , , ,arctanarctanarctanarctan) ) ) )( ( ( ( bxdxbxdxbxdxbxdxe e e ebxdxbxdxbxdxbxdxe e e e axaxaxaxaxaxaxax coscoscoscos, , , ,sinsinsinsin 其中：n n n n n n n nn n n n a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xP P P P+ + + + + + + + + += = = = L 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 ) ) ) )( ( ( ( （多项式） 3.选 u 规律： 在三角函数乘多项式中，令 u u u ux x x xP P P P= = = =) ) ) )( ( ( ( ， 其余记作 dv;简称“三多选多” 。 在指数函数乘多项式中，令 u u u ux x x xP P P P= = = =) ) ) )( ( ( ( ， 其余记作 dv;简称“指多选多” 。 在多项式乘对数函数中，令 u u u ux x x x= = = =lnlnlnln ， 其余记作 dv;简称“多对选对” 。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为 u，其余记作 dv;简称“多反选反” 。 在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作 dv;简称“指三任选” 。 简单有理函数积分： 22 1. 有理函数： ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( x x x xQ Q Q Q x x x xP P P P x x x xf f f f= = = = 其中 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (x x x xQ Q Q Qx x x xP P P P和和 是多项式。 2. 简单有理函数： 2 2 2 2 1 1 1 1 ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( (, , , , 1 1 1 1 ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( x x x x x x x xP P P P x x x xf f f f x x x x x x x xP P P P x x x xf f f f + + + + = = = = + + + + = = = = ) ) ) )( )( )( )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( b b b bx x x xa a a ax x x x x x x xP P P P x x x xf f f f + + + + + + + = = = = b b b ba a a ax x x x x x x xP P P P x x x xf f f f + + + + + + + = = = = 2 2 2 2 ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( 3.2 定积分f(x) 一主要内容 （一）.重要概念与性质 1.定积分的定义：Oa x1x2xi-1ixixn-1b x i i i ii i i ii i i i b b b b a a a a n n n n i i i i i i i ii i i i n n n n x x x x x x x xx x x xx x x xf f f fdxdxdxdxx x x xf f f f, , , ,) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 limlimlimlim = = = = = = = = 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x), 直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号，y x 轴下方的面积取负号。+ a 0-bx 2.定积分存在定理： b b b ba a a ax x x xx x x xf f f fy y y y, , , ,) ) ) )( ( ( ( = = = =设：设： 若：f(x)满足下列条件之一: 23 ; ; ; ;, , , ,) ) ) )( ( ( (. . . .2 2 2 2 ; ; ; ;, , , ,) ) ) )( ( ( (. . . .1 1 1 1 点点上有有限个第一类间断上有有限个第一类间断在在 连续，连续， b b b ba a a ax x x xf f f f b b b ba a a ax x x xx x x xf f f f o o 上可积。上可积。在在则：则： 上单调有界上单调有界在在 b b b ba a a a