§8.4-直线、平面垂直的判定与性质.docx

8.4直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m、n，mnOaab，ab性质a，baba，bab知识拓展几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行2两个平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l3.线面角与二面角(1)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.(2)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)a，a.()1下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内任意一条直线垂直答案D解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确2(2013广东)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确3(2014浙江)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m答案C解析A中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误；B中，由m，可得m或m或m与相交，错误；C中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确；D中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误4、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.答案可填与中的一个题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.思维点拨第(1)问通过DC平面PAC证明；也可通过AE平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直 (2014重庆)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积(1)证明如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AOOB.因为BAD，故OBABsinOAB2sin1，又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM12()221cos.所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)解由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM22()222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO，此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.思维点拨(1)平面PAD底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA底面ABCD；(2)由BEAD可得线面平行；(3)证明直线CD平面BEF.证明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，则PACD，又PAADA，CD平面PAD，从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF底面PCD.思维升华(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 (2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积思维点拨(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离(1)证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)解过P作POAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2.在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，四边形ABCD为梯形在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形的高S四边形ABCD24.VPABCD24216.思维升华垂直关系综合题的类型及解法：(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积 (2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱锥EA1B1C1的体积VAA1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故3.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积Vdd，从而d，d.即点B1到平面EA1C1的距离为.题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思维点拨(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角(1)解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.思维升华求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质 已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？(1)证明平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面PAD，E、F为PA、PB的中点，EFAB，EF平面PAD.(2)解取AD的中点H，连接EH，GH.EFHG，ABHG，HG是所求二面角的棱，HGEF，HG平面PAD，ADHG，EHHG，EHA是锐二面角的平面角，PAD为正三角形，且EDPD，EHA60.(3)解过M作MK平面EFG于K，连接KF，则KFM即为MF与平面EFG所成角，因为ABEF，故AB平面EFG，故AB上的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离HG平面PAD，平面EFGH平面PAD于EH，A到平面EFG的距离即三角形EHA的高，等于，即MK，FM，在直角梯形EFMA中，AEEF2，AM1或AM3，M靠近A，AM1，当AM1时，MF与平面EFG所成角的正弦值等于.立体几何证明问题中的转化思想典例：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1.8分在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.10分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.12分温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范方法与技巧1三类论证(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.2转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决失误与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：45分钟)1给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错；由直线与平面垂直的定义知正确，而错2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项易知均是正确的3如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上4如图所示，已知E，F分别是正方体的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成角的正弦值是()A. B.C. D.答案B解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，如图，连接AE，过F作BD的垂线FH交BD于H，连接EH，则FH平面BDD1B1，所以直线EF和平面BDD1B1所成的角为FEH，因为FH，AF1，AE，EF，故sinFEH，故选B.5如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()ABCD答案B解析对于，PA平面ABC，PABC，AB为O的直径，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_答案AB、BC、ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.7在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_答案解析如图，PABC为正三棱锥，PBAC；又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正确8正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_答案解析画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cosDD1H.9在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，BCBE7，DCE是边长为6的正三角形(1)求证：平面DEC平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离(1)证明因为四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，所以BD，又因为BC7，CD6，所以根据勾股定理可得BDCD，因为BE7，DE6，同理可得BDDE.因为DECDD，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE.(2)解如图，取CD的中点O，连接OE，因为DCE是边长为6的正三角形，所以EOCD，EO3，由(1)易知EO平面ABCD，则VEABD2333，又因为RtBDE的面积为63，设点A到平面BDE的距离为h，则由VEABDVABDE，得3h3，所以h，所以点A到平面BDE的距离为.10(2014山东)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，如图(1)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)解方法一如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BCADMC，所以ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因为AB2BC2，可得CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz，所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量为n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量，因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.方法二由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N，如图(3)由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.B组专项能力提升(时间：30分钟)11如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC答案C解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.12已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个答案2解析若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题13如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确14如图，A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC，等边三角形ADB以AB为轴转动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD的长；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解(1)取AB的中点E，连接DE，CE.ADB是等边三角形，DEAB.当平面ADB平面ABC时，平面ADB平面ABCAB，DE平面ABC，可知DECE.由已知可得DE，EC1.在RtDEC中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明如下：当D在平面ABC内时，ACBC，ADBD，C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又ACBC，ABCE.又DE，CE为相交直线，AB平面CDE.由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.15(2014天津)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱P