大学物理学基础教程力学部分习题详解.pdf

第一章 力学引论 本章主要阐述了力学的研究内容（即物体的机械运动） ，以及矢量分析和量 纲分析的方法。 习 题 习 题 1-1 什么叫质点？太阳、地球是质点吗？分子、原子是质点吗？试举例说明。 分析： 本题说明参考系选择的重要性参考系选择的重要性。 对于相同的物体， 如果参考系的选择不同， 结果将完全不同。选择某一参考系，可以看成质点；选择另一参考系，就不 可以看成质点。 答：在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质 量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体就称为质点。 关于太阳、地球、分子、原子是否是质点，要视具体研究的问题而定。 例如，如果我们考察银河系或者整个宇宙的运动，那么太阳和地球的大小可 以忽略，而且我们没有必要去考察他们的转动，此时它们可以被看作质点。 但是，如果我们要研究人造卫星、空间站的话，太阳和地球的大小和形状以 及其自转就不能被忽略，那么它们就不能被看作质点。 1-2 西部民歌： “阿拉木汗住在哪里，吐鲁番西三百六。 ”从位矢定义分析之。 分析：本题是关于参考系和坐标系选择的问题参考系和坐标系选择的问题。遇到一个问题，首先要搞清楚研 究对象，然后选择一个合适的参考系，在此参考系中选择一个点作为坐标原 点，建立坐标系，然后才可以定量的分析问题。本题中心意思是选择则吐鲁 番作为参照点，来定义阿拉木汗所住的位置。 答：选择地面参照系，以吐鲁番作为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正向，在地面上建立直角坐标系。那么阿拉木汗住址的位矢为： i 360r= = v 1-3 判断下列矢量表达式的正误： 分析：本题考察矢量的运算矢量的运算问题。矢量既有大小，又有方向，所以在进行矢量运 算时，既要考虑矢量的大小，又要考虑矢量的方向。 （1）BABA vvvv +=+ 答： 矢量按平行四边形法则相加，而不是简单的数量相加 （2）ABBA vvvv = 答： 矢量相乘按右手定则，上式方程两边的矢量大小相同，方向相反。 （3） 2 AAA= vv 答： 两个矢量点成是标量，所以上式成立。 （4）0= AA vv 答： 方程左边是矢量，而方程右边是标量，因此等号不能成立。如果 右边是矢量 0（0 v ） ，则等式成立。 1-4 用量纲分析说明下列各式中力学量的量纲，如采用国际单位制，给出各量 的单位： 分析：本题是关于量纲与国际单位制量纲与国际单位制的问题。通过本题，使学生熟悉等式中量纲 的一致性及不同单位之间的换算。 (1) 2 2 1 atvts+= 解：s : 量纲： L； 单位：m （长度） v : 量纲： L/T； 单位：m/s （速度） t ：量纲：T； 单位：s （时间） vt : 量纲： L； 单位：m （距离） a : 量纲： L/T2； 单位：m/s2 （加速度） at2 : 量纲： L； 单位：m （距离） 长度（s）=距离（vt）+距离（ 2 2 1 at） (2) 2 00 2 111 2 1 2 1 vpvghp+=+ 解： p : 量纲： M/LT2； 单位：kg/(ms2) （压强） : 量纲： M/L3； 单位：kg/m3 （体密度） g : 量纲： L/T2； 单位：m/s2 （重力加速度） h : 量纲： L； 单位：m （长度） gh : 量纲： M/LT2； 单位：kg/(ms2 ) （压强） v : 量纲： L/T； 单位：m/s （速度） v2 : 量纲： M/LT2； 单位：kg/(ms2) （动能密度） 等式两端量纲相同，均为M/LT2，单位均为kg/(ms2) (3) 22 0 2 0 2 1 2 1 )( 2 1 mvmvxxk= 解： x : 量纲： L； 单位：m （长度） k : 量纲： M/T2； 单位： kg/s2 （弹性系数） 2 0) (xxk: 量纲： M L2/T2； 单位： kgm2/s2 v : 量纲： L/T； 单位：m/s （速度） mv2 : 量纲： ML2/T2； 单位：kgm2/s2 等式左右均为能量量纲，ML2/T2 (4) = t t tPtPdtF 0 )()( 0 vvv 解：F: 量纲： ML/T2； 单位：kgm/s2 （力） t : 量纲： T； 单位：s （时间） dtF v : 量纲： ML/T； 单位：kgm/s （冲量） p : 量纲： ML/T； 单位：kgm/s （动量） 等式左边为冲量，有变为动量的变化量，具有相同的量纲和单位。 1-5 在热学中，宏观气体系统可描述为大量微观粒子组成的，试说明“大量”的 数量级是多少？ 分析：本题通过估算，半定量的将宏观系统与微观粒子数项练习起来。给大家一 个宏观系统中包含微观粒子数的量级的概念。 答：假设单位摩尔宏观气体的尺度约为10-1m的量级，体积为10-3m3量级。一个 微观气体分子约为10-9m的量级， 每一个微观气体分子所占的体积为10-27m3 量级。 那么在每单位摩尔体积内， 包含的气体分子数约为10-3m3/10-27m3=1025 个。也就是说，在热学中，宏观气体系统描述的大量微观粒子，其中的“大 量”的数量级约为1025。 第二章 质点力学 本章以单个质点作为研究对象，研究其运动情况，包括质点运动学和质点动力学两部 分。质点运动学部分介绍了质点运动的矢量描述和坐标描述，以及运动描述的相对性。 质点动力学部分介绍了牛顿运动定律，以及在实际中如何运用牛顿运动定律去解题。另 外，本章还介绍了非惯性参照系。 习习 题题 2-1 一质点沿一抛物线y=x2 运动，在任意时刻vx=3m/s，试求在x=2/3m处这质点的速度 和加速度的大小和方向。 分析：已知运动轨迹，求轨迹上某点的速度。利用速度及加速度的微分定义即可求得。 解: 0 . 3= = x v x x xv dt dy y v62= j xiv 6 3 +=+= v ji x v 4 3 3/2 += = += = v 5 2 4 2 3=+=+=v v =538 . 0arcsinarcsin v y v 速度大小为5m/s2，方向与X轴正方向成53角。 Q 0= = x a 186= x v dt y dv y a ja 18= = v 加速度大小为18m/s2，方向沿Y轴正方向。 2-2 一物体沿 X 轴运动，其加速度可以表示为 ax=4x-2 (m/s2)。已知 x0=0,v0=10 m/s， 试求在任意位置 x 处的速度. 分析：已知加速度，求物体运动的速度。利用加速度的微分定义，经移项、积分即可求 得。 解: 因为 v dx dv dt dx dx dv x dt dv a=24 即 vdvdxx=)24( 或 = v v x x vdvdxx 00 )24( 10 ,0 00 =vxQ 代入得： 10044 22 +=xxv 2-3 一物体做直线运动，初速度为零，初始加速度为 a0，出发后每经过时间间隔 ， 加速度均匀增加 a0 ，求经过 t 秒后物体的速度和距出发点的距离。 分析：已知直线运动中的加速度，求物体运动的速度及位移。利用积分定义，即可求得。 解: 物体运动加速度： t a aa 0 0 += t 秒后物体运动的速度为： 20 0 0 2 1 t a taadtv t = t 秒后距出发点的距离： 302 0 0 6 1 2 1 t a tavdtx t = 2-4 如图所示，跨过滑轮 C 的绳子，一端挂有重物 B。另一端 A 被人拉着沿水平方向匀 速运动，其速率0=1.0 m/s，A 点离地面的距离保持着 h=1.5 m。运动开始时，重 物在地面上的 B0处，绳两侧都呈竖直伸长状态，且滑轮离地面 H=10 m，滑轮半径 不计， 求 (1) 重物上升的运动方程； (2) 到达滑轮前的任意 t 时刻的速度和加速度以及到达滑轮处所需要的时间. 分析：本题需要搞清楚两个距离：1.人运动的距离，即人 的位移：tv0 。 2.物体上升的距离， 即物体的位移 （物 体的位移=绳长-） 。以及这两个位移之间的关系（三 角形关系） 。速度及加速度可用微分定义求得。 解: 以B0为原点，竖直向上方向为 x 轴，建立坐标系。由 几何关系，得 2 ) 0 ( 2 )( 2 tvhHl+=+= 将已知条件H，h，v0 代入上式，得 22 5 . 8tl+=+= 根据已知条件，CA 的初始位置在铅直方向。 H h H-h A C B0 x （1）运动方程： 5 . 8 22 5 . 8)(+=+=thHlx （2）速度： 22 5 . 8t t dt dx v + = + = 加速度： 23 ) 2 5 . 8 2 ( 2 2/1 2 5 . 8 2 1 + + = + + = t t t dt dv a 105.8 22 5.8=+=+=tH 所需时间： )(4 .16st = = （负值舍去） 2-5 在距河岸 5.0 千米处有一灯塔，它发出的光束每分钟转动一周。求：当光束扫至与岸 边成 600 角时，光束(光点)沿岸边滑动的速度和加速度。 分析：本题是速度分解的问题，但是需要特别注意的是所求的速度和加速度并不是光束 转速的切向或法向分量，而是切向分量与法向分量在沿岸方向的和。 解法一：由图可得 tLX tan= = t L tL dt dX v 2 cos 2 sec= 当 o 60= = 时， o t30= = ， 3060 2 = (m/s) 698 30 2 cos 30 3 105 = = = o v ) 2 (m/s 4 .84 60 3 cos sin2 2= = = = = o t t LXa （2） 求F(x) 。 题2-20图 分析：本题也是受力分析问题。注意本题中经过滑轮前后力的大小相同，但是力的方向 与木箱移动方向之间的夹角始终在变化。因此不能用牛顿第二定律求木箱上升的速度。 解: (1) 因为m的位矢x满足: 2 4 2 2 xL l =+=+ 求导: dt dL L dt dll dt dx x2 2 2=+=+ 已知： 0= = dt dl ， 2 0 v dt dL = = ， v dt dx = = m ? F V0 代入上式， 2/ 0 Lvxv= = x lx v x L vv 2 2 1 )4 22 ( 0 2 0 + = + = 负号(-)表示向上 (2) 绳中张力近似处处相等， T=F，木箱受绳的拉力T和重力mg，根据牛顿第二 定律，有 2 cosTmgma= 22 000 3 ()( ) 2216 v Lvv ldvddL a dtdtxdt xx = = Q 2 2 0 2 22 3 0 32 () () 16 ()1 2cos2 /2164 v l m g v lm gaml x FTg x Lxx + =+ 2-21 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力（黏性力）与速度的平方成正比，可 表示为 2 FV= 。设摩托快艇的质量为m，求当摩托快艇发动机关闭后。 （1） 速度v随着时间的变化规律； （2） 路径x 随着时间的变化规律； （3） 证明速度v与路程x之间的关系为 ( /) 0 m x VV e =。 分析：本题考查变力与物体运动之间的关系。同样首先要做受力分析，然后应用牛顿第 二定律，解题。 解: (1) 快艇发动机关闭后, 只受摩擦力作用,速度从v0逐渐减小 dt dv mvf= 2 dt m v dv = = 2 积分： dt v v t m v dv = = 0 02 得： )/ 0 1( 0 ) 0 11 (mtvvv vv m t +=+= (2) dt内走过的距离dx为 d m tv v vdtdx ) 0 1( 0 + = + = 积分， ) 0 1ln( 00m tvtm vdt x dxx +=+= (3) mtv v v 0 1 0 + = + =Q mtv v v 0 1 0 +=+= 得 ) 0 ln( v vm x = = x m evv = = 0 2-22 在光滑的水平桌面上平放着一个固定圆环，其半径为R，一物体沿环的内侧运动， 摩擦因数为。已知t=0时，物体的速率为v0，求在 t时刻物体的速率和在t时间内物 体所经过的路程，见题2-22图。 题 2-22 图 分析：本题仍然是考查变力与物体运动之间的关系。物体受到重力、摩擦力和环的支撑 力，其中摩擦力为切向，重力和支撑力沿法向。 解: Nf = = R v mN 2 = = dt dv m R v mNf= 2 dt R = 2 v dv 积分 t Rvv = 0 11 ) 0 ( 0 tRRvv+=+= vdt ds =v dt ds Q 积分 R V R v v ) 0 1ln( t R vR vdts +=+= 2-23 若跑道为椭圆形的，通常意义的赛跑是测比赛选手的平均速率还是平均速度？ 分析：本题考察速度与速率的区别。速率只有大小，没有方向；速度既有大小，又有方 向。速度是位移的时间变化率；速率是路程的时间变化率。 注意：1.这里路程和位移不是同一概念。当物体作直线运动时，路程与位移相等；但是 当物体作曲线运动时，路程与位移不相等。2.瞬时速度/率与平均速度/率不同。 瞬时速率等于瞬时速度的大小；直线运动中平均速率等于平均速度的大小。 答：不管跑道是什么形状，通常都是比赛选手的平均速率。因为我们最后评判的选手的 成绩是跑过相同长度的跑道所需要的时间， 即路程相同， 看哪个选手所用的时间短。 只不过当跑道为直线形时，在整个比赛时间内的平均速度的大小就等于平均速率。 赛跑中我们最后衡量的是比赛选手的平均速率的大小 （单位时间内跑过的路程的长 短） 。 2-24利用速率和加速度的微分定义，推导匀加速直线运动的公式： 0 2 0 22 0 (1) (2)/ 2 (3)2 VVat sV tat VVas =+ =+ = 分析：本题的目的是让学生熟悉物理学中常用的数学工具：微积分数学工具：微积分。 解： (1) 0 vvat=+ 加速度的微分定义为： dv a dt = 将dt移到方程左边，adtdv= 假设t=0时刻，初始速度为v0，t时刻，速度为v 对上式两边进行积分，得： 0 0 tv v adtdv= 则： 0 (0)a tvv= 即： 0 vvat=+ (2) 2 0 1 2 sv tat=+ 加速度的微分定义为： dv a dt = （1） 速率的微分定义为： dr v dt = （2） 假设初始时刻：t=0，速度为v0，位移为0 任意时刻t：速度为v，位移为s 对（1）式进行积分： 0 0 tv v adtdv= 则： 0 0 tv tv atv = = 0 vvat= 即： 0 vvat=+ 对（2）式积分 00 st drvdt= 将 0 vvat=+代入上式，得 0 00 () st drvat dt=+ 则： 2 0 0 0 1 () 2 t r s r t rv tat = = = =+ 即 2 0 1 2 sv tat=+ (3) 22 0 2vvas= 加速度的微分定义为： dv a dt = （1） (1)式两边同乘以dr，得： dvdr a drdrdvv dv dtdt = 即 dvvdra= （2） (2)式两边积分： 0 0 sv v adrvdv= 0 2 0 1 2 v r s r v arv = = = 22 0 2vvas= 2-25 任一随着时间变化的物理量B=B(t)在给定时间 0 ttt = 内的平均值定义为 0 ( ) t t B t dt B t = ，证明平均速度和平均加速度的定义满足这一公式。 分析：本题考察平均速度和平均加速度的概念。平均速度时一段时间内速度的平均值； 平均加速度是一段时间内加速度的平均值。 答：平均速度： 假设速度随时间的变化规律为：( )vv t= vv 在 t 时间内运动的位移为： 0 ( ) t t rv t dt= vv 在 t 时间内的平均速度为： 0 ( ) t t v t dt r v tt = v v v 平均加速度： 假设加速度随时间的变化规律为：( )aa t= vv 在 t 时间内加速度的变化量为： 0 0 ( ) t tt t vva t dt= vvv 在 t 时间内的平均加速度为： 00 ( ) t ttt a t dt vv a tt = v vv v 2-26 已知质点的运动方程x=x(t) ,y=y(t) ，在计算质点的速度大小和加速度大小时，有 人先求出 1 22 2 ()rxy=+ ，然后根据 dr v dt =， 2 2 d r a dt = 求得 ；又有人先求 x dx v dt =， x dx v dt = ， 2 2 x d x a dt =， 2 2 y d x a dt =，然后求得 22 1/222 1/2 ()()() xy dxdy vvv dydx =+=+， 22 1/2 ()() dxdy a dydx =+ ，那一种方法正确？为什么？ 分析：同一题目，用不同方法求解，最终结果相同。本题除考察速度及加速度的概念外， 还要求学生熟练微积分（主要是微分）的运算 答：两种方法都正确，其最终结果是相同的。 以速度的求解为例：第一种方法， 22 1/2 ()rxy=+ 2/122 2/122 2/122 2/122 2/122 22 2/122 2/122 )()( )( )()( )( )22( )( 1 2 1 )( )( 1 2 1 )( dt dy dt dx vv tvtv vtvvtv yx yvxv dt dy y dt dx x yx dt yxd yx yx dt d dt dr v yx yx yyxx yx += += + + = + + = + + = + + = += tt dt dy dt dx vx yx y vy v x v , = = 与第二种方法得到的结果相同。 同理加速度也可以得到相同的结果： 2/12 2 2 2 2 2 2/122 2/122 2/1 22 2/122 2/122 2/122 2 2 )()( )( )()( )( )22( )( 1 2 1 )( )( dt yd dt xd aa tata ataata vv avav dt dv v dt dv v vv vv dt d yx dt d dt d dt rd a yx yx yyxx yx yyxx y y x x yx yx += += + + = + + = + + = += += tatav dt dv dt dv a tt dt dy dt dx v yxx y x x x = = = = y y yx y v a , vy v x v , 与第二种方法得到的结果也相同。 2-27 讨论下面各种说法的正误或确切与否。 分析：这道题目考察力与运动力与运动之间的关系。 (1)物体(质点)具有恒定的速率时，必作直线运动。 答：错误。速率只表示速度的大小，而不考虑方向，所以以恒定速率运动的物体，其运 动方向可能发生改变，此时物体不做直线运动。例如匀速圆周运动，具有恒定的速 率，但是是曲线运动。 (2)物体具有恒定的速度时，必作直线运动。 答：正确。速度是一个矢量，它包括大小和方向两个因素，既然速度恒定，说明大小和 方向这两个方面都是恒定的，那么既然方向恒定，必然是直线运动。 (3)物体的加速度？等于恒量时，必作直线运动。 答：错误。虽然加速度的大小和方向都不变，但是如果物体运动速度的方向与加速度的 方向不同，那么速度的方向将会发生改变，此时物体的运动轨迹不是直线。 (4)物体加速度的绝对值减小时，该物体的速率也一定在减小。 答：错误。只要加速度的方向与速度的方向相同，不管加速度是增大还是减小，物体的 速度都在增加。 (5)速度等于零的物体，其加速度可以不等于零。 答：正确。静止的物体（速度为零） ，如果受到力的作用，就会产生加速度。 (6)在直线运动中，r的方向始终不变。 答：错误。如果初始时刻r的方向与速度方向不一致，那么即使物体作直线运动，r的 方向也是始终在变化的。在直线运动中， r v 的方向始终不变。 (7)物体作曲线运动时必定有加速度，加速度的法向分量必不为零。 答：正确。正是加速度的法向分量在改变物体的运动方向，使物体作曲线运动。 (8)物体作曲线运动时，其加速度一定指向内切圆一方(即凹侧)。 答：正确。曲线运动中，加速度使物体的运动方向向着加速度的方向改变，所以加速度 一定指向物体运动的凹侧。 (9)物体作曲线运动时，其速度一定沿切线方向，即 0 n v ，所以 0 n a 。 答：不确切。前一句正确：物体在作曲线运动时，其速度一定沿切线方向，其法线方向 的速度为零。但是法线方向速度为0，加速度不一定为0，例如，圆周运动，法向 速度为0，但是法向加速度不为0。 (10)物体作圆运动时，其加速度一定指向圆心。 答：不确切。如果是匀速圆周运动，加速度始终指向圆心。但是如果是变速圆周运动， 其加速度是切向加速度和法向加速度之和，不一定指向圆心。 (11)物体具有向西的速度，然而却同时具有向东的加速度。 答：可以有这种情况。加速度与速度的方向相反，也就是物体作减速运动。 (12)只有法向加速度的运动一定是圆周运动。 答：错误。由于只有法向加速度，没有切向加速度，法向加速度改变物体运动的方向， 切向加速度改变物体运动速度的大小。所以物体运动的速度大小不变，只是速度的 方向在发生改变。如果法向加速度的大小不变，则为匀速圆周运动，如果法向加速 度的大小发生变化，则不是圆周运动。 (13)只有切向加速度的运动一定是直线运动。 答：正确。切向加速度只改变运动速度的大小，不改变运动的方向。 2-28 一人在静水中划船的速率为u， 现在他在水流速率为v的小河将船从一岸划向另一 岸，如果他希望用最短的时间到达对岸，应向什么方向划行？如果他希望用最短路 径到达对岸，应向什么方向划行？ 分析：本题考查速度的合成问题。 答：如图所示，船真正的航行速度是船 速与水的速度的合成，即： vuV vv v += vuV vv v += 如果他希望用最短时间到达对岸，他只需要沿垂直河岸的方向滑行，那么如果河宽为l， 他到达对岸需要的时间为：l/u. v u V 如果他希望用最短的路径到达对岸，他应该沿稍逆水的方向划行，使静水中船速与水流 速的合成速度的方向指向河对岸，如图所示。船划行方向与河岸的夹角为： arccos v u 2-29 在平静的湖面上，甲乙两船各以恒速 1 V和 2 V行驶，判断两船是否相撞的最简单方 法是什么？ 分析：已知两物体速度，判断物体的行使轨迹，并考察到达轨迹上某点所需时间。如果 我们选择甲船作为参照系，那么认为甲船不懂，只有乙船在运动，这样判断是否相 撞就容易的多。 答：在平静的湖面上，没有风，说明船无加速度。甲乙两船的速度恒定，那么两船均作 匀速直线运动。 选择甲船作为坐标原点建立坐标系， 求乙船相对于甲船的运动， 得： 12 vvV vv v += 。此时如果乙船的相对速度V v 的方向指向坐标原点（即甲船） ，那么经过 一段时间后，两船会相撞；否则，如果乙船的速度不是指向坐标原点（即甲船）的， 则不会相撞。 2-30在直线运动中， 物体的运动方向是否一定与合力的方向相同？当作用于物体上的合 力增大时，物体的速率是否一定增大？当作用于任何上的合力减小时，物体的速率 是否一定减小？ 分析：这道题目考察的是速度与力之间的关系。 答：根据牛顿运动定律，力是产生加速度的原因，而不是产生速度的原因。所以力的方 向与加速度的方向相同，而与速度的方向无关。所以，直线运动中，物体的运动方 向与合力的方向不一定相同。当作用于物体上的合力增大时，加速度会增大，但是 速度不一定增大。同理，当作用于物体上的合力减小时，加速度减小，但是速度不 一定减小。 2-31 试从动力学观点说明： (a) 质点做直线运动的条件； (b) 质点做匀速圆周运动的条件； (c) 只带你做匀速率曲线运动的条件； (d) 质点做一船圆周运动的条件。 分析：这道题目考察力与运动之间的关系。 (a)质点作直线运动的条件； 答：根据牛顿第二定律，质点的加速度与质点所受外力方向一致。那么只要质点所受外 力的方向与质点运动的方向平行（方向相同或方向相反） ，质点速度的方向就不会 发生变化，那么质点就会作直线运动。 (b)质点作匀速圆周运动的条件； 答：质点作匀速圆周运动，说明运动的速率不变，方向一直在变化，其轨道为圆周。此 时，质点的切向加速度为0，法向加速度为向心加速度。向心加速度大小为 R v2 。 也就是说，质点始终受一个大小不变，方向始终指向圆心的力： R mv2 (c)质点作匀速率曲线运动的条件； 答：当质点所受的力始终垂直于质点运动速度的方向时，此力所产生的加速度的方向始 终垂直于速度的方向，那么它只改变速度的方向，而不改变速度的大小。这时质点 作匀速率曲线运动。 (d)质点作一（船）圆周运动的条件。 答：质点所受外力的法向分量始终提供质点运动的向心力。也就是说，质点所受力的法 向分量为： R mv2 2-32 设一质点在合力F的作用下做曲线运动，如题2-32图所示。如果在运动中到达某 点p时，外力突然反向而大小未变，质点是否将会沿原轨迹反向折回？ 题 2-32 图 分析：这道题目考察力与运动之间的关系。 答：不会。首先，在该点，质点有一个速度，沿切向；在外力突然反向的时刻，速度不 变，只是加速度的方向反向。那么质点不会沿原轨迹折回，质点会继续向前，但是轨迹 曲线会凹向另一侧。 2-33电梯中质量为m的物体，求当 （1）电梯静止； （2）电梯匀速上升； （3）电梯以加速度a上升； P F/ F V （4）电梯以加速度a下降时，物体对电梯的压力各为多少？ 分析：这是一个典型的物体超重与失重的问题。 答：当电梯静止时，物体没有速度也没有加速度。此时物体对电梯的压力就是物体的重 力mg；当电梯匀速上升时，电梯也没有加速度，此时，物体对电梯的压力仍然是物体 的重力mg；当电梯以加速度a上升时，电梯给物体的支撑力除了要平衡物体的重力外， 还要提供物体上升的加速度，所以，此时物体对电梯的压力为：mg+ma； 当电梯以加速度a下降时，重力的一部分用来提供电梯下降的加速度，另一部分压迫电 梯， 所以电梯给物体的支撑力只需要平衡物体重力的一部分， 此时物体对电梯的压力为： mg-ma。 第三章 质点系统的运动规律 习 题 3-1 一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为 m,长度为 ? ,一端栓在转动轴 上，并以匀角速率 在一光滑水平面内旋转，问转动轴为 r 处的绳子中张力 是多少？ 分析：取绳上一质量微元作受力分析，考察该微元左右两方对该微元施加的力， 即可求得。 解: 整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上 的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。 rdr l m dTrdmdTTT 2 2 )()(=+=+ 积分得： ) 22 ( 2 2 1 0 2 rlm l T Tr l rdr l m dT= 3-2 一个水分子(H2O)由一个氧原子 （mo=30.2 10-24千克） 和两个氢原子(mH=1.68 10-24千克 )组成，氧原子与氢原子的中心距 离均为 2.76 埃(1 埃= 10 -10米)，氧原子中心与 两个氢原子中心的连线夹角为 105o，试求水分 子的质心位置（如图所示） 。 分析：已知分立的质点组系统，求质心。适当选择 坐标系，运用质心的定义式即可求出。 解: 以 O 为坐标原点，如图: yc=0 )( 10 1077. 1 24 10)268. 12 .30( 2 105 cos 10 1076. 2 24 1068. 12 mX c x = + = = + = 3-3 一长为 l 的细杆， 若其密度按 0 x l =变化， 其中 x 是从杆的一端算起的距 r o dT T T+dT 105o HH x y o 离，0为一常量。求它的质心位置。 分析：本题为求变质量系统的质心，取质量微元来求解。 解: 如右图所示建立坐标系 根据质心定义有： l l xdx l dxx dx l l x dx l l x x l dx l dxx M xdm c x 3 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 = = = = = = 3-4 在光滑的水平冰面上, 静放着质量为 M 的大平板车, 车上站着一个质量为 m 的人，若人在车上走了 l 后而停止，那么平板车相对地走了多远. 分析：人和平板车组成一质点组系统，该系统在水平方向不受外力，即可认为是 一个在 x 方向上的不受外力的孤立系统。对此系统运用质心运动定理，首 先分别讨论人和车的运动，然后求质心的运动。即可求解。 解: 水平方向合外力为零, 根据质心运动定理, 有: ac=0 初始时刻: Vc=0 ，所以 xc=0 质心位置： mM mxMx c x + + = + + = 21 初始初始 mM xxmxxM c x + + = + + = ) 22 () 11 ( 终了终了 由相对运动可知 x1+ l =x2 由xc=0，得： xc 初始=xc 终了 l Mm m + = + = 1 x 3-5 两个小球用一细杆连结起来， 它们静止于一无摩擦的水平面上， m1=4.0 千克， m2=2.0 千克，第三个小球的质量为 0.5 千克，它以 iv 2 0 = = v (米/秒)趋近这系 统，并与 2 千克的小球相撞，如果 0.5 千克的小球以 j f v 跳开(vf =1.0 米/ 秒)，问这二小球系统的质心速度如何？ 分析：m1和m2组成一个质点组系统，将此系统视为一个整体，考虑它与第三个 O X dx l M m 小球之间的碰撞过程。利用碰撞过程动量守恒，即可求出m1和m2组成的 系统的质心的速度。 解: m1和 m2为子系统，杆中张力为内力， m1与 m2 碰撞前后动量守恒，有： ) 21 ( 0c vmm f vmvm vvv +=+= ) 1 .( 12 1 6 1 )24/()12( ) 21 /() 0 ( =+= += =+= += smjijim mm f vmvm c v vvvv vvv ( Vc/ 是子系统质心速度）是子系统质心速度） 3-6 一条质量为 m，长为 l 的细绳，拉直后平放在光滑的桌面上，让其一端略沿 桌面垂下，则细绳会顺其滑下，求细绳在滑下过程中的速率 v 与垂下部分绳 长的关系。 分析：绳只受重力作用，重力为保守力， 所以对绳与地面组成的系统，机械能 守恒。 解: 取桌面所在的平面为零势能面, 单位长度绳的质量为 m/l, 当绳 的下垂部分长为 x 时, 其质量为 xm/l, 于是由机械能守恒, 可得: ) 2 1 ( 2 2 1 0 xg l m xmv+=+= 得, x l g v = = 3-7 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量 M0，喷气相对于火箭主 体的速度为 u，不计空气阻力，求使火箭刚能离开地面的最低喷气流量 qm 应为多大？ 分析：这里火箭是一个变质量系统，不能 应用牛顿第二定律来处理，需要用动 量定理来解题。 解: 设火箭在地面发射时只受引力 M0g， 其它各量如图所示 （竖直向上为 x 轴 正向） ，由动量定理： x m y v0 m 300 vfj m2 vv rr d+ + v r M dMM + + u v dm txdtt + + x x 零势能面 o l-x vv rr d+ + v r M dMM + u v dm txdtt + + dtgMvMdvvdMMuvdm=+=+ 00 )( 0 ()( 略去二阶无穷小量 dMdv， dMdm = =Q dtgMdvMudm=+=+ 00 dt d MgM dt dm u v 00 +=+= 0 dt dv Q g u M dt dm m q 0 = 3-8 有一个 6.0 千克的质点，位矢为 r =(3t2-6t)i-4t3j+(3t+2)k（米） 试求 （1）作用在这质点上的力； （2）作用在质点上的力矩（对原点） ； （3）这质点的动量和角动； （4）验证 和 分析：本题是关于力矩、动量、角动量等的概念问题。 解: k)t(jtit)t(r rrr r Q23 3 46 2 3+=+= kjti )t( dt rd rrr r v 3 2 1266 v = j ti dt vd a rr r v 246 = (1) j tij ti(amF rrrr r r 14436) 2466= (2) FrM r r r = kttjtitt kttttjtitt t tttt kji ) 2 864 3 288( )72108( )288 2 432( ) 3 4(36)6 2 3(144 )23(36 )23(144 014436 23 3 46 2 3 += += += += += += (3) kjti(tvmP rrr r r 18 2 72)136 +=+= P dt d F vv = =L dt d M vv = = prvmrL vvrr r = kttjttitt ktttttjtt ttittt tt tttt kji L ) 3 288 4 72( )7272 2 54( )1( 2 144 )3636( 3 4)6 2 3( 2 72 )6 2 3(18 )23)(1(36 )23( 2 72) 3 4(18 18 2 72)1(36 23 3 46 2 3 += + += += += + += += r (4) Fj tikjtit dt d dt Pd rrrrrr r = += += 14436 18 2 72)1(36 Mkttjtitt dt Ld rrrr r =+=+=)3( 2 288)23(36)23(144 3-9 两质点的质量分别为 m1=4.0 千克, m2=6.0 千克，位矢分别为 jr 0 . 3 1= = v 米， ir 0 . 3 2 = = v 米。它们的速度分别为 iv 0 . 2 1= = v 米/秒， jv 0 . 3 2 = = v 米/秒。 (1) 试求这系统相对于 O 和相对于质心的总角动量，并验证它们之间的关系； (2) 求这系统相对于 O 和相对于质心的动能并验证它们之间的关系。 分析：本题是关于质点系的动能、角动量等的概念问题，需要注意的是选择不同 的参考系，角动量和动能的值夜是不同的。有些量是与参考系的选择有关。 解: (1) Q jr 0 . 3 1 = = v ir 0 . 3 2 = = v iivm vv v 1234 11 = jjvm vv v 1836 22 = ) 12 (4818483 22110 =+= += =+= += smkgkjiij vmrvmrL vvvvv vvvv v x 3 4 y 1 v v 2 v v 1 m 2 m ) 21 ( 21 21 ) 21 ( 12 12 vv mm mm rrvrL vvvvvv v + = + = 内内 ) 12 ( 4.14 = =smkgkL rr 内内 ij ij c r vv vv 5 12 5 6 64 4634 += + + =+= + + = ji ji c v vv vv v 5 9 5 4 64 188 += + + =+= + + = ) 12 (6 .33 = =smkgk c vM c rL v vv v 外外 ) 12 ( 48 0 =+= =+=smkgkLLL vvvv 内外内外 (2) )(35 22 2 1 11 2 1 0 Jvmvm k E=+=+= vv )(4 .19 2 ) 5 9 5 4 )(46( 2 1 2 2 1 Jji c vM k E=+=+= vv v 平平 )(6 .15 2 ) 21 ( 21 21 2 1 2 12 v 2 1 Jvv mm mm k E= + = + = vv 内内 ）（ 内平 ）（ 内平 J k E k E k E35 0 =+=+= 3-10 在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着一个用绳子联结的质量为 4.0 千克的物体，绳的另一端穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半 径为 0.5 米，速率为 4.0 米/秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，将手极其 缓慢地向下移动，直至运动半径变为 0.1 米 (1) 求这时物体的速度， (2) 在这一过程中，手的拉力作功多少？ (3) 写出拉力 F 与角动量 L，质量 m 以及 半径 r 的关系。 分析： 本题中物体在水平方向上所受的力只有绳 子的拉力。而绳子的拉力是一个有心力，物 体