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理论力学习题集 第一章：质点力学 1.1 将质量为 m 的物体铅直抛上于有阻力的媒质中，设阻力与速度 平方成正比，即，如掷上时的初速度为，试证此物体又 落至投掷地时的速度为： 22 xgmkR&= 0 v )1 ( 2 0 2 2 0 1 vk v v + = 1.2 一质量为 m 的质点，受一与距离成反比的吸力作用在一条直线 上运动，比例系数为 k。如此质点从距原点 O 为 a 的地方由静止开始 运动，求其到达 0 点所需的时间。 答： k m a 2 1.3 一质量为 m 的质点，受引力作用在一直线上运动，当ax 时引 力值为，当 22 / xamax 时引力值为axm/，式中 x 是相对于线上某 一固定（取为原点）的距离。如质点在离原点 2a 处从静止出发，证 明到达原点时的速度为a2；并证明到达原点的时间为： 2/1 )( 4 3 1 ( a+ 1.4 如 质 点 受 有 心 力 作 用 而 作 圆cos2aY =的 运 动 时 ， 则 22 8 5 r hma F=，试证明之。 1.5 质点所受的有心力如为)( 32 2 r v r mF+= ，式中v及都是常数，且 ， 则 其 轨 道 方 程 可 写 成 2 hv 时火箭才能上升，并证： 能达到的最大速度为：)1 (ln 0 0 M Mg M M vr 能达到的最大高度为： )ln1 ()(ln 2 0 0 20 2 M M M Mv M M g v rr + 2.9 一条长度为 a，均质悬挂着的重链条，开始的时候，以长度为 b 的一部分悬在一张桌上的边缘。而余下的长为(a-b)部分是卷成一团 放在桌子的边缘上。如果链条一释放，试证当链条的末尾离开桌上的 端点时链条的速度为 2 1 233 )3/()(2abag。 2.10 A projectile of mass m is shot (at a velocity v ) at a target of mass M, with a hole containing a spring (with constant k). The target is initially at rest, and can slide without friction on a horizontal surface. Find the distance x that the spring compresses at maximum. v m 2.11 一个半径为 r，质量为 m 的圆环，静止放在光滑的水平面上， 现有一质量为的小球以速度沿圆环周边的切线方向碰撞而过， 求 圆环所获得的质心速度以及圆环绕其质心的角速度。 1 m 0 v 2.12 在光滑水平面上，一个质量为 m 的小球以速度 v 与中心固定的 均匀杆（质量为 M，长为 L）的一端作弹性碰撞，速度方向与杆垂直。 设杆碰前静止，求碰后杆和小球的运动。 2.13 两个质点，质量分别为和，它们由一弹簧相连，置于光滑 水平面上，设原来体系静止，突然使具有指向的速度，求当弹 簧再度变为自然长时，两物体的速度分布。 1 m 2 m 1 m 2 m 0 v 第三章：刚体力学 第三章：刚体力学 3.1 （如图）直线 AB 在图面内运动，其 A 端始终在半圆 CDA 上，而 这直线本身则通过直径 CD 上的 C 点， 如已知当半径 OA 垂直于 OD 时， A 点之速度为 4 米/秒，求此时直线上与 C 点重合之点的速度。 答：sec/22mvc= OD C B A 3.2 （如图）杆 AB 在 xoy 平面内运动，其下端沿 x 轴滑动，而其杆 身则于任何时刻均通过 M(0,h)点，求杆之瞬时角速度，设 A 端之速 度为 v。 答： 22 hx vh w + = y B A M h x o 3.3 （如图）曲柄 OA 长为 20 厘米，以等角速度秒/10 0 =w转动并带 动长为 100 厘米的连杆 AB，滑块 B 沿铅垂线运动。求连杆的角速度、 角加速度以及滑块 B 的加速度。 （注：图中 a ,b 应为角度、） b a o A B 3.4 半径34=R厘米之圆盘OA在绕固定点O转动时并在顶角为的 固定圆锥上滚动。如圆盘 A 点的加速度之值为常数并等于 48 厘米 /，求圆盘绕其对称轴转动的角速度。(图见课件) o 60 秒 3.5 （如图）半径为 R 的圆盘以等角速度绕水平轴转动，此轴 又以等角速度绕铅垂轴转动。求在圆盘铅垂直径上两端 A 点和 B 点的速度和加速度。 r w 21O O c w 答： Rwv rA = 22 4 rcrA wwRwa+= wc wr O2 O1 B A 3.6 一光滑管子在光滑水平面上以等角速度 0 w r （铅直向上）转动。管 内有一弹性系数为 k，自然长度为的弹簧，其一端连于转轴上的 O 点，另一端连一质点 m .设开始时，质点位于 x=处，且。求质 点的运动及它对管壁的压力。 （在整个运动过程中，不超过弹簧弹性 限度） 0 l 0 l0=x& 3.7 一端固结于天花板上的绳缠在一个半径 r，重 P 的滑轮上。求滑 轮中心向下运动的加速度 w，滑轮的角加速度和强的张力 T。 答：gw 3 2 = r g 3 2 = 3 p T = o r 3.8 质量为M，半径为 r 的均质圆柱在与水平面成角的光滑斜面上 无滑动地滚下。此圆柱外绕一绳子，绳端 A 以加速度 a 沿此斜面往上 移动。求圆柱重心加速度 w 和绳子张力 T。 并讨论下列情况： o 900=和 答：) 2 sin( 3 2a gw= )(sin 3 1 g a mgT+= 3.9（如图）重的均质圆柱放在一不光滑的水平面上，柱的外周缠 绕一绳，其自由端水平伸出（如图）通过一固定滑轮（滑轮无重量及 摩擦） ，并在绳端悬一重的重物。设圆柱只滚不滑，求圆柱重心加 速度，重物加速度及绳子张力 T。 1 P 2 P 1 w 2 w 答： 21 2 1 83 4 PP gP w + = 21 2 2 83 8 PP gP w + = 21 21 83 3 PP PP T + = 第四章：拉格朗日力学 第四章：拉格朗日力学 4.1 （如图）在曲柄式压榨机 ABC 的中间铰链 B 上有水平力 P 作用在 ABC 的平面内。作用在 C 点的力为 Q，其方向沿直线 AC，欲使 Q 与 P 平衡，Q 值应为多大？(AB=BC,2=ABC) 答： 2/PtgQ = Q a P C B A 4.2 （如图）求图示机构平衡时下列诸力之间的关系：P 为水平力， 作用于活塞 C 上，Q 为垂直力，作用于曲柄的销钉 A 上。及角为已 知。 （图中角 a 应为，O 应为 Q） 答： coscos )sin( = P Q O a P C B A 4.3 （如图）均匀杆重 P，其上端靠在不光滑的垂直墙上（摩擦系数 为）共下端则在一光滑水平桌上。为使此杆在垂直平面内平衡，在 其下端连一绳，此绳沿桌面伸出，经过一滑轮并在其自由端挂一重物 ，并求 A 及 B 点的反作用力。 Q。求此杆平衡时的倾斜角 答：K Q P tg+= 2 ,此时KQPNKQNK BA +=+=,1, 2 Q a B A 4.4 （如图）均匀棒 AB 搁在两固定平面上，此两平面与水平成角 及角，求平衡时角。 （注：图中 a ,b 应为，） 答： ctgtg + = )sin(sin sin2 b a B A 4.5 （如图）在连杆机构中当曲柄 OC 绕水平轴 O 摆时，滑块 A 沿曲 柄 OC 滑动，并带动一沿铅垂导板 K 运动的杆子 AB。已知：OCR， OKL，问在 C 点并垂直于曲柄 OC 方向应作用多大的力 Q 才能平衡 一沿杆 AB 方向并朝上的力 P。 答： 2 cosR PL Q = O B L K A P Q C R 4.6（如图）相同的两个光滑球悬在结于定点 o 的两条绳子上，此两 球同时又支持一个等重的第三球。求及间的关系。 （图中 a ,b 应 为，） 答：tgtg3= O b a 4.7（如图）两根长，重 P 的均质棒以铰链 C 互相连结并靠在一个 半径为 r，其轴为水平的光滑固定圆柱上。求系统平衡时的角度 l 2 2=ACB。 答： 的解为方程0cossin 3 =rl 2 C B A O 4.8（如图）一弹性绳圈（自然长为，弹性系数为 k，单位长度质量 为）水平地套在一固定的光滑球面（半径为 R，且 0 l 0 2lR ）上，它 因自重而下滑。试用虚功原理求其平衡方程。 答：0cossin 2 2sin 0 2 0 = R l Rk gl O R 4.9 （如图） 重 P， 固有长度为l， 弹性模量为的弹性圈放在顶角为2 的光滑竖直圆锥体上。求平衡时，圈面离园锥体顶点的距离 h。 a h 4.10（如图）铁丝直角三角形 AOB 位于铅垂平面内，其斜边为水平。 在其对边及底边上穿过两个重 P 与 Q 之小球， 上球以不能伸长的线联 结。如已知=BAO且无摩擦力，求平衡位置(=OCD)。 答： ctg P Q tg= a O D C B A 4.11（如图）一质点的质量为 m，受重力作用，在旋轮线的导轨上运 动。旋轮线的方程为sin4as =，其中 s 是自 o 点起算的弧长，为旋 轮线的切线与水平轴的交角。求质点的运动。 答：) 2 1 sin(+=t a g As, 0 ,A为积分常数。 y x mg s m 4.12 （如图）尖劈 A 重 P，其角为。此尖劈的一面靠在光滑墙上， 另一面和重为 Q 的光滑棱柱 B 接触。 棱柱 B 可沿一固定水平面无摩擦 而滑动。求尖劈及棱柱的加速度 a 及，又求尖劈对棱柱所施加的压 力 N。 1 a 答： 2 QtgP Pg a + = 2 1 QtgP gPtg a + = 22 sincos sin QP PQ N + = a B A 4.13（如图）质量为 m 的直杆可以自由地在固定铅垂套管中移动。 杆的下端搁在质量为 M 绝对光滑的尖劈上，而尖劈放于绝对光滑的 水平面上。由于杆子的压力，尖劈向水平方向移动，因而杆子也往下 降，试求两物体的加速度。 答： 2 Mctgm mg a + = 杆 ctgaa 杆劈 x y a A 4.14（如图）半径为 r 的均匀重球可以无滑地沿一具有水平轴的半径 为 R 的固定圆柱之内表面而滚动。 求与圆球绕平衡位置作微振动的周 期相同的数学摆之摆长。 答： )( 5 7 rRl= r R o 4.15（如图）一质量为 m、半径为 r 的小球，在重力作用下，沿着一 个质量为 M， 半径为 R 的半球的凸面无滑动地滚动。 此半球的底面可 以在水平面上无摩擦地滑动。 设小球的初始位置与半球心的连线和铅 垂线成角，且起始时，此系统是静止的。求小球绕半球心转动的角 速度。 答： ) cos 5 7 ( )cos(cos2 )( 2 1 mM m g rR + += & O r R 4.16 （如图）重的均质圆柱放在一不光滑的水平面上，柱的外周 缠绕一绳，其自由端水平伸出通过一固定滑轮（滑轮无重量及摩擦） ， 并在绳端悬一重的重物。设圆柱只滚不滑，求圆柱重心加速度， 重物加速度及张力 T。 1 P 2 P 1 a 2 a 答： 21 2 1 83 4 PP gP a + = 12 2aa = 21 21 83 3 PP PP T + = 4.17 （如图）二皮带轮与，质量为与，半径为 与，其 上缠有绳子，此绳绕过一质量为，半径为的滑轮；滑轮可 以无摩擦地绕定轴 o 转动。 假定绳子与滑轮之间没有滑动而皮带轮中 心皆沿铅垂直线运动，求滑轮的角加速度 1 M 2 M 1 m 2 m 1 r 2 r 3 m 3 r 3 M 3 M 3 & &（ 3 为滑轮的转角） 3 M 及两个皮带轮中心的加速度。 答： 3321 21 3 ) 2 3 ( )( rmmm gmm + =& & g mmm mmm a ) 2 3 ( 3 )( 3 321 231 1 + + = g mmm mmm a ) 2 3 ( 3 )( 3 321 132 2 + + = O M3 M2 M1 r3 r2 r1 4.18（如图）一光滑管 OA，其 O 端固定于球铰链 O。A 端以绳子固结 于铅垂轴O于 B 点（倾角不变） ，并以匀角速 绕铅垂轴O转动。 质点 m 沿管移动，离 O 点距离为，运动开始时，m 在 0 处，且初速 为零。求质点对管 OA 的相对运动。 答： 2222 0 sin cos )sin() sin cos ( g tch g += x z w B A O h 4.19（如图）质量为 m，长度为 2l的均质杆 AB 被限制在竖直平面内 运动，且其两端 A 和 B 只能沿着两条互相垂直的光滑细杆滑动。求杆 在平衡位置附近作徽振动的周期。 答： g l 3 4 2= mg C l l B A 4.20（如图）一摆由一滑块与一小球构成：滑块质量为 M，可以水平 面上无摩擦地滑动，小球质量为 m，此杆子与滑块相连，杆可绕连结 在滑块上的轴转动，滑块上连有一刚性系数为 c 的弹簧，弹簧的另一 端则固定不动。试求此系统的微振动周期。 答：所求频率 P 为方程0 )( 24 =+ + + Ml cg P lM mMg M c P的根。 m M C 4.21（如图）试讨论列车车厢在它铅直中心面中的振动。已知车厢装 在弹簧的上部分的重量为 Q，它的重心到通过车厢轮轴的铅垂面的距 离；又它对于与轮轴平行之中心轴的回转半径为lll= 21 ；两轮轴 弹簧的刚性系数相同：ccc= 21 。 答： 2 2 21 21 2 , 2 ),sin(),sin( Q cgl K Q cg K xtKBtKAx = +=+= 成的交角，为车厢底板与水平面所 ，是车厢重心的铅垂位移 l2l1 C 4.22 （如图）半径为 r 的不均匀圆柱可以在水平面上无滑动而滚动。 圆柱重心到几何轴的距离为 a。圆柱对经过其重心并平行于其母线的 轴之回转半径为 K。求圆柱在稳定平衡位置附近的微振动周期。 答： ag Kar 22 )( 2 + = r O C a 4.23 若,i=1,2,n。求证： ),.,( 2, 1 tqqqxx sii = (1) q x q x ii = & & (2) )( q x dt d q x ii = & 第五章：哈密顿力学 第五章：哈密顿力学 5.1 试建立支在一个固定支座上， 并仅受重力作用的对称陀螺的哈密 顿函数。 答： cos 2 sin )cos( 2 1 2 2 2 2 mga J P P PP J H Z + = 5.2 （如图）试应用哈密顿正则方程导出行星的运动微分方程。 r P S 5.3 （如图）一珠子无摩擦在一摆线形状之金属线上运动，摆线方程 为)sin(= ax，)cos1 (+= ay，式中20。试用哈密顿正则方程 求（1）珠子的运动微分方程。 （2）求方程的解。 答： 0sin 2 sin 2 1 )cos1 ( 2 =+ a g & & 5.4 已知质点组的质量为).2 , 1(nimi=， 坐标为， 在质点上作 用着的是以一V为力函数的力，而函数V是只依赖于点的坐标，试 用哈密顿原理导出质点组的运动微分方程。 ),( iii zyx i F 答： i i i zii yii xii Fzm Fym Fxm = = = & & & & & & ).2 , 1(