中考数学思维方法讲义第14讲代数.doc

第14讲 代数反比例函数与二次函数的相关知识是期末考试重点，二次函数的考察也是一难点，所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。【典例精析】专题一 一元二次方程考点1： 一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想【例1】1、方程有两个实数根，则k的取值范围是 2、已知是方程的根,则代数式的值为 考点2： 一元二次方程的应用【例2】“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？专题二 反比例函数和二次函数考点1：反比例函数图像及性质应用【例3】1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（2，2），则k的值为( )A1B3C4D1或32、如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m1):1（m1），则OAB的面积（用m表示）为.图1 图2 图33、如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则ADBC的值为 。考点2：规律探索【例4】1、如图12，一段抛物线：yx(x3)（0x3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x 轴于点A3；如此进行下去，直至得C13若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_2、如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），点Pn（xn，yn）在函数（x0）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，An1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 ；点Pn的坐标是 （用含n的式子表示）考点3：反比列函数与一次函数的综合运用【例5】如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。（1）求的值及点的坐标；（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式。【例6】如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EGOC，垂足为G，证明EGDDCF，并求k的值。.考点4：求二次例函数解析式【例7】1、（已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式）已知二次函数的图象过点（1，2），对称轴为且最小值为2，求这个函数的解析式。2、（已知图象与x轴两交点间的距离求解析式）已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为且经过点（，4），求这个二次函数的解析式。3、（由二次函数的图象变换求解析式）把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。考点2：二次函数图像及性质运用【例8】1、 对于二次函数，有下列说法：它的图象与轴有两个公共点；如果当1时随的增大而减小，则；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）2、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；a+b+c0；b+2c0；a2b+4c0；你认为其中正确信息的有 （填番号）。考点5：二次例函数的实际应用【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=2x+100（利润=售价制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？考点6：二次函数的压轴题【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（3，0），B（0，3），C（1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PDAB于点D动点P在什么位置时，PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标（结果保留根号） 【课后测控】1、如图1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y = x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y = (k0)与ABC的边有交点，则k的取值范围是（ ）A1k2 B1k3 C1k4 D1k42、如图，直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则 。3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）4、如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并将轴于点若 （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时，求的取值范围5、如图，在平面直角坐标系中，将矩形的顶点O与原点重合，边OC、OA分别在x、y轴上，顶点B在第四象限， ，将矩形沿直线折叠，使点落在 处，交于（1）求的长；（2）求过三点抛物线的解析式；（3）若为过三点抛物线的顶点，一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间（秒）为何值时，直线把分成面积之比为的两部分？部分答案:【例2】（1）27（31）0.1=26.8. （2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27（x1）0.1=27.10.1x万元， 若x10,则（2827.1+0.1x）x+0.5x=12 解得x1=6,x2=20(不合题意，舍去) 若x10,则（2827.1+0.1x）x+x=12 解得x3=5(与x10舍去，舍去),x4=24(不合题意，舍去) 公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.【例6】解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是AB的中点，AE=2，OA=2，点E（2，2）在双曲线y=上，k=22=4 ,点F在直线BC及双曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,所以点F的坐标为（4，1）.(2)证明：DEF是由BEF沿EF对折得到的，EDF=EBF=90，点D在直线OC上，GDE+CDF=180-EDF=180-90=90，DGE=FCD=90，GDE+GED=90，CDF=GED，EGDDCF； 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,DC=2,EGDDCF,= ,= ,b= ,有点F（4，），k = 4= 3.考点：二次函数综合题3718684专题：代数几何综合题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BAO=45，然后求出PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ对称轴于Q，根据同角的余角相等求出APF=QPM，再利用“角角边”证明APF和MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出APF和ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），C（1，0），解得，所以，抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）A（3，0），B（0，3），OA=OB=3，AOB是等腰直角三角形，BAO=45，PFx轴，AEF=9045=45，又PDAB，PDE是等腰直角三角形，PD越大，PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m3=0，当=3241（m3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=，y=+=，点P（，）时，PDE的周长最大；抛物线y=x22x+3的对称轴为直线x=1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ对称轴于Q，在正方形APMN中，AP=PM，APM=90，APF+FPM=90，QPM+FPM=90，APF=QPM，在APF和MPQ中，APFMPQ（AAS），PF=PQ，设点P的横坐标为n（n0），则PQ=1n，即PF=1n，点P的坐标为（n，1n），点P在抛物线y=x22x+3上，n22n+3=1n，整理得，n2+n4=0，解得n1=（舍去），n2=，1n=1=，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，PAF+FPA=90，PAF+QAN=90，FPA=QAN，又PFA=AQN=90，PA=AN，APFNAQ，PF=AQ，设点P坐标为P（x，x22x+3），则有x22x+3=1（3）=2，解得x=1（不合题意，舍去）或x=1，此时点P坐标为（1，2）综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（1，2）解：（1）三，k0；（2）梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，ACOB，BCOB，而点C的坐标标为（2，2），A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得x= ；把x=2代入得y=，A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ），=，当k2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；（3）设D点坐标为（a， ），OD=DC，即D点为OC的中点，C点坐标为（2a，），把y= 代入 得x= ，确定A点坐标为（，），=1，解得k=.例8（2）【例9】解：（1）z=（x18）y=（x18）（2x+100）=2x2+136x1800， z与x之间的函数解析式为z=2x2+136x1800。（2）由z=350，得350=2x2+136x1800，解这个方程得x1=25，x2=43。销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。z2x2+136x1800 =2（x34）2+512，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。（3）结合（2）及函数z=2x2+136x1800的图象（如图所示）可知，当25x43时，z350。又由限价32元，得25x32。根据一次函数的性质，得y=2x+100中y随x的增大而减小，当x=32时，每月制造成本最低。最低成本是18（232+100）=648（万元）。所求每月最低制造成本为648万元。【例10】 解：（1）设抛物线的函数表达式抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得所求函数表达式，即（2）点C是点A关于点B的对称点，点，点，点C的坐标是将点C的坐标是代入，得直线CD的函数