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文档简介

第4讲 反比例函数【今日目标】1、正确理解反比例函数中k的几何意义,利用k的几何意义解决有关面积问题2、以正、一次函数为框架,结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识,解决直线与双曲线的计算问题。【精彩知识】专题一:直线与双曲线的交点问题【例1】(1)若反比例函数,当时,求这个函数的解析式;(2)若一次函数的图象与(1)中的反比例函数的图象有交点,求的取值范围。变式训练:1、如图,已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点(1)试确定这两个函数的表达式;(2)求出这两个函数图象的另一个交点的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围2、(2013成都23,4分)若关于t的不等式组恰有三个整数解,则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为 。方法归纳:解决直线与双曲线的交点问题时,就是将 联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标;判断直线与双曲线有无公共点,可用 来确定。专题二:用函数的图像解不等式【例2】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,.已知当时,;当时,.求一次函数的解析式;已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3,求ABC的面积.变式训练:1、已知反比例函数的图象过点,直线经过第一、三、四象限。(1)求反比例函数的解析式;(2)若直线与反比例函数的图象只有一个公共点,求的值。2、如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P,点P在第一象限PAx轴于点A,PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D,且SPBD4,(1)求点D的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式;(3)根据图象写出当时,一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. 方法归纳:专题三:反比例函数中最值问题【例3】如图是反比例函数的图象,且当4x1时,4y1。(1)求该反比例函数的解析式;(2)若M、N分别在反比例函数图象的两支上,请指出什么情况下线段MN最短(不需证明),并求出线段MN长度的取值范围。变式训练:如图,正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点,过点作轴的垂线,垂足为,已知的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合),且点的横坐标为1,在轴上求一点,使最小.专题四:利用k的几何意义解决有关面积问题【例4】如图,已知动点A在函数的图象上,轴于点B,轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。直线DE分别交轴于点P,Q。当时,图中阴影部分的面积等于_变式训练:(2012成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数 (k为常数,且k0)在第一象限的图象交于点E,F过点E作EMy轴于M,过点F作FNx轴于N,直线EM与FN交于点C若 (为大于l的常数)记CEF的面积为S1,OEF的面积为S2,则= (用含m的代数式表示)【思维拓展】【例5】一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点M、N,与反比例函数的图像相交于A、B,过点A分别作ACx轴,AEy轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BFx轴,BDy轴,垂足分别为F、D,AC与BD交与点K,连接CD。 (1)若点A、B在反比例函数的图像的同一分支上,如图(1),试证明:; AN=BM;(2)若点A、B分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图(2),则AN与BM还相等吗?试证明你的结论; (3)连结EF,试判断EF与MN的位置关系,并说明理由。 【例6】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.(1)求抛物线的解析式. (2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标. 【课后测控】1、已知点A在双曲线y=上,且OA=4,过A作ACx轴于C,OA的垂直平分线交OC于B(1)则AOC的面积为 ,(2)ABC的周长为 。第1小题图 第2小题图 第3小题图 2、如图,点A在双曲线y的第一象限的那一支上,AB垂直于x轴与点B,点C在x轴正半轴上,且OC2AB,点E在线段AC上,且AE3EC,点D为OB的中点,若ADE的面积为3,则k的值为_3、如图所示,点、在轴上,且,分别过点、作轴的平行线,与分比例函数的图像分别交于点、,分别过点、作轴的平行线,分别与 轴交于点、,连接、,那么图中阴影部分的面积之和为 4、如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数(x0)的图象经过点B(1)求k的值;(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC、MABC设线段MC、NA分别与函数(x0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式 5、如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C(1,)处两直角边分别与,y轴平行,纸板的另两个顶点AB恰好是直线=+与双曲线=( m0)的交点(1)求m和k的值;(2)设双曲线=( m0)在A,B之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动,两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB交于M,N两点,请探究是否存在点P使得MN= AB,写出你的探究过程和结论.6、已知:在矩形中,分别以所在直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点(不与重合),过点的反比例函数的图象与边交于点(1)求证:与的面积相等;(2)记,求当为何值时,有最大值,最大值为多少?(3)请探索:是否存在这样的点,使得将沿对折后,点恰好落在上?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由部分答案:【例2】(1)根据题意,由图像可知点A的坐标为(1,6),代人中,得,m=5, 一次函数的解析式为:(2)过点B作直线BD平行于x轴,交AC的延长线于D.点C到y轴的距离为3,C点的横坐标为3. 又C在双曲线上,y=,即C(3,2)直线y=x+5和双曲线交于点A, B. 解方程组得,B(6,1)设AC的解析式为,把点A(1,6),点C(3,2)代人得,解得,,y=2x+8. 当y=1时1=2x+8,x=4.5,即点D(4.5,1)=21. 例4变式解析:过点A、B分别作AMx轴于点M,ANx轴于点N.则CBNCAM,.设BN=h,则AM=mh.由点A、B在反比例函数的图象上,.SOAB= S四边形OABN SOAM= S四边形OABN SOBN= S梯形AMNB=.【例6】解: (1)据题意知: A(0, 2), B(2, 2) ,D(4,), 则 解得抛物线的解析式为: -4分 (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0t1) -6分假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.S=5t28t+4 (0t1), 当S=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ,t = (不合题意,舍去)-7分此时点 P的坐标为(1,-2),Q点的坐标为(2,)若R点存在,分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则,R的横坐标为3, R的纵坐标为 即R (3, ),代入, 左右两边相等,这时存在R(3, )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则:R的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则:R(1,)代入, 左右不相等, R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, )满足题意.

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