2018-2019版高中物理 第一章 机械振动 3 简谐运动的图像和公式学案 教科版选修3-4.doc

3简谐运动的图像和公式学习目标1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.一、简谐运动的图像1.图像的建立以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线.3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅.二、简谐运动的表达式及相位简谐运动的表达式xAsin(t).(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.(2)A表示振幅.(3)称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：2f.所以表达式也可写成：xAsin或xAsin (2ft).(4)2ft代表简谐运动的相位；其中是t0时的相位，称为初相位或初相.即学即用1.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图1所示，根据图像，判断下列说法的正误.图1(1)质点振动的频率是4Hz.()(2)质点振动的振幅是2cm.()(3)在t3s时，质点的速度最大.()(4)在t4s时，质点所受的合外力为零.()答案(1)(2)(3)(4)2.有一弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是xm.答案0.008sin (4t)一、简谐运动的图像导学探究1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的xt图像：如图2所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO方向振动画线，乙同学沿OO方向水平向右匀速拖动白纸.图2(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿OO与垂直OO方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？答案(1)是一条垂直于OO的直线.(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.(3)垂直OO方向的轴为位置坐标轴x(如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.2.绘制简谐运动的xt图像图3如图3所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移时间图像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？答案当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.知识深化1.对xt图像的理解xt图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹.2.图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x17cm，x25cm.图4(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是10cm.(3)确定振动的周期和频率.由图可知，T0.2s，频率f5Hz.(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|x2|，所以|a1|a2|.例1如图5所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则()图5A.振动的振幅为6mB.振动的周期为6sC.t1.5s时和t2.5s时，振子的速度相同D.t2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向答案C解析由题图知，振子运动的周期为T4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅A3cm，故A、B错误；在t1.5s时和t2.5s时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿x轴的负方向，故C正确；t2.5s时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D错误.针对训练如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知()图6A.振子的振动周期等于t1B.在t0时刻，振子的位置在a点C.在tt1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动答案D解析振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T2t1，故A错误；由题图乙知在t0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，故B错误；在tt1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C错误；从t1到t2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O点向b点运动，故D正确.二、简谐运动的表达式及相位差导学探究1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为.3.图7是弹簧振子做简谐运动的xt图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.图7答案表达式xAsin (t)，式中A表示振幅，T表示周期，表示初相位.0，xAsint.知识深化1.简谐运动的表达式的理解2.从表达式xAsin (t)体会简谐运动的周期性.当(t2)(t1)2n时，tnT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.3.从表达式xAsin (t)体会特殊点的值.当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于n时，sin (t)0，即x0.例2(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x0.1sin2.5t，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则()A.弹簧振子的振幅为0.2mB.弹簧振子的周期为1.25sC.在t0.2s时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x0.2sin，则A滞后B答案CD解析由振动方程x0.1sin2.5t，可读出振幅为0.1m，圆频率2.5rad/s，故周期Ts0.8s，故A、B错误；在t0.2s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差，即B超前A，或者说A滞后B，D正确.应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T，f，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.例3如图8所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，则小球的振动周期为s，振动方程为xcm.图8答案0.84cost解析从N点到O点刚好为，则有0.2s，故T0.8s；由于rad/s，而振幅为4cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x4costcm.1.(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图9所示，由图可知()图9A.质点振动的频率是4Hz，振幅是2cmB.质点经过1s通过的路程总是2cmC.03s内，质点通过的路程为6cmD.t2s时，质点的振幅为零答案C解析由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以A错误；质点在1s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t0时质点在平衡位置处，03s为T，质点通过的路程为3A6cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t2s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以D错误.2.(简谐运动的图像)(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图10所示，则可知()图10A.两弹簧振子完全相同B.振子的振动频率之比f甲f乙12C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲F乙21答案BC解析由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子振动周期之比T甲T乙21，频率之比是f甲f乙12，故B正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲x乙21，根据简谐运动的特征Fkx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲F乙不一定等于21，故D错误.3.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin (8t) cm的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为x25sin (8t) cm，求它们的相位差.答案(1)s4Hz5cm(2)解析(1)已知8 rad/s，由得T s，f4 Hz.由x15sin (8t) cm知A5 cm，1(2)由(t2)(t1)21得.4.(简谐运动的表达式)如图11所示为A、B两个简谐运动的位移时间图像.请根据图像回答：图11(1)A的振幅是cm，周期是s；B的振幅是cm，周期是s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在t0.05s时两质点的位移分别是多少？答案(1)0.50.40.20.8(2)xA0.5sin (5t) cm，xB0.2sincm(3)xAcm，xB0.2sincm解析(1)由题图知：A的振幅是0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是0.2cm，周期是0.8s.(2)t0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，A，由TA0.4s，得A5rad/s.则A简谐运动的表达式为xA0.5sin (5t) cm.t0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，B，由TB0.8s得B2.5rad/s，则B简谐运动的表达式为xB0.2sincm.(3)将t0.05s分别代入两个表达式中得：xA0.5sin (50.05) cm0.5cmcm，xB0.2sincm0.2sincm.一、选择题考点一简谐运动的图像1.如图1所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是()图1A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B.振动图像反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向答案B2.(多选)如图2表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是()图2A.t1、t2时刻的速度相同B.从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C.从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小D.t1、t3时刻的回复力方向相反答案BC解析t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，故A错误；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度方向、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误.3.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图3所示，由图可知()图3A.质点振动的频率是4HzB.质点振动的振幅是2cmC.t3s时，质点的速度最大D.t3s时，质点振动的振幅为零E.t3s时，质点的动能最大答案BCE解析由题图可以直接看出质点振动的振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确.t3s时，质点经过平衡位置，速度最大，动能最大，所以选项C、E正确.振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误.4.如图4所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是()图4答案D解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.5.(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图5甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是()图5A.OB5cmB.第0.2s末质点的速度方向是AOC.第0.4s末质点的加速度方向是AOD.第0.7s末质点的位置在O点与A点之间E.在4s内完成5次全振动答案ACE解析由题图乙可知振幅为5cm，则OBOA5cm，A项正确；由题图可知00.2s内质点从B向O运动，第0.2s末质点的速度方向是BO，B项错误；由题图可知第0.4s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是AO，C项正确；由题图可知第0.7s末质点位置在O点与B点之间，D项错误；由题图乙可知周期T0.8s，则在4s内完成全振动的次数为5，E项正确.6.(多选)如图6所示为甲、乙两单摆的振动图像，则()图6A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲l乙21B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲l乙41C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲g乙41D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲g乙14答案BD解析由题图可知T甲T乙21，由公式T2可知：若两单摆在同一地点，则两单摆摆长之比为l甲l乙41，故A错误，B正确；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲g乙14，故C错误，D正确.考点二简谐运动的表达式7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xAsint，则质点()A.第1s末与第3s末的位移相同B.第1s末与第3s末的速度相同C.第3s末与第5s末的位移方向相同D.第3s末与第5s末的速度方向相同答案AD解析根据xAsint可求得该质点振动周期为T8s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确.8.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA3sinm，物体B做简谐运动的振动方程是xB5sinm.比较A、B的运动()A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB.周期是标量，A、B周期相等，都为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A的相位始终超前B的相位答案CD解析振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，A错；A、B的周期均为Ts6.28102s，B错；因为TATB，故fAfB，C对；AB，为定值，D对.9.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图7所示，下列叙述中正确的是()图7A.质点的振动频率为4HzB.在10s内质点经过的路程为20cmC.在5s末，质点做简谐运动的相位为D.t1.5s和t4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是cm答案BD解析由题图可直接得到周期T4 s，频率f0.25 Hz，故选项A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由题图可知位移与时间的关系为x0.02sin (t) m.当t5 s时，其相位为5，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x2sin (1.5) cm cm，故D正确.10.(多选)如图8所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x0.1sin (2.5t) m.t0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g10m/s2.以下判断正确的是()图8A.h1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t0.4s时，物块与小球运动方向相反答案AB解析t0.6s时，物块的位移为x0.1sin (2.50.6) m0.1m，则对小球h|x|gt2，解得h1.7m，选项A正确；简谐运动的周期是Ts0.8s，选项B正确；0.6s内物块运动的路程是3A0.3m，选项C错误；t0.4s，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误.二、非选择题11.(简谐运动的图像)某单摆及其