2018-2019版高中数学 第一章 解三角形 1.1.3 习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用练习 新人教A版必修5.doc

习题课正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固探究A组1.在ABC中,sin Asin Bsin C=323,则cos C的值为()A.B.-C.14D.-解析sin Asin Bsin C=323,由正弦定理,得abc=323,设a=3k,b=2k,c=3k(k0),则cos C=a2+b2-c22ab=9k2+4k2-9k212k2=13.答案A2.(2017江西南昌二中测试)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若mn,则角B的大小为()A.30B.60C.120D.150解析mn,(a+b)(sin B-sin A)-sin C(3a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(3a+c),即a2+c2-b2=-3ac.由余弦定理,得cos B=-32.又B为ABC的内角,B=150.故选D.答案D3.在ABC中,B=60,最长边与最短边之比为(3+1)2,则最大角为()A.45B.60C.75D.90解析依题意,得ABC不是等边三角形.因为B=60,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120,所以ca=sinCsinA=sin(120-A)sinA=sin120cosA-cos120sinAsinA=32tanA+12=3+12,解得tan A=1,所以A=45,C=75.答案C4.在ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,得sin2Asin 2B+sin2 Bsin 2A=2sin Asin B,即sin2A2sin Bcos B+sin2B2sin Acos A=2sin Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90,所以C=90,故ABC是直角三角形.答案B5.在ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是()A.0,2B.6,3C.6,2D.0,6解析在ABC中,a=2,c=1,由正弦定理asinA=csinC,得2sinA=1sinC,sin C=sin A.A(0,),0c,角C是锐角,C0,6.故选D.答案D6.(2017江苏南通中学)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.解析由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理,得cos C=a2+35a2-75a22a35a=-,故C=120.答案1207.(2017山西运城中学月考)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60,c=3b,则=.解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=13c2+c2-2cc12=79c2,所以ac=73.答案738.在ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则b2a的取值范围是.解析b2a=sinB2sinA=sin2A2sinA=cos A.因为A+B+C=,所以0A3,故b2a=cos A12,1.答案12,19.导学号04994007在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值;(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为ABC外接圆半径,则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A0,因此cos B=.(2)由BABC=2,得accos B=2.由(1)知cos B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.B组1.在ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan B=5,bsin A=4,则a等于()A.154B.254C.5D.203解析由已知,得atanBbsinA=54.由正弦定理,得sinAtanBsinBsinA=54,所以cos B=,从而sin B=,tan B=,代入atan B=5可得a=203.答案D2.如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.615B.5C.562D.56解析在ADC中,由余弦定理,得cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=25+9-49253=-,所以ADC=120,则ADB=60.在ABD中,由正弦定理,得AB=ADsinADBsinB=53222=562.答案C3.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形解析由已知及正弦定理,得sin A=(sin B+sin C)cos C,即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,所以cos Bsin C=sin Ccos C.因为sin C0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而ABC是等腰三角形.答案A4.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2C=1-c2b2,则角B等于()A.4B.34C.6D.3解析由cos 2C=1-c2b2结合正弦定理,得1-2sin2C=1-sin2Csin2B,于是sin2B=,从而sin B=22.因为ABC是锐角三角形,所以B=4.答案A5.(2017云南昆明一中月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60,c=3,则a+23cosAsinB=.解析由正弦定理,得3sin60=asinA,即a=2sin A,则a+23cosAsinB=2sinA+23cosAsinB=4(sinAcosC+cosAsinC)sinB=4sin(A+C)sinB=4sinBsinB=4.答案46.(2017天津一中模拟)在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若sin A=23cos2 A2,bcos C=3ccos B,则=.解析由sin A=23cos2 A2,得2sin A2cos A2=23cos2 A2,即tanA2=3,所以A=23.由bcos C=3ccos B,得ba2+b2-c22ab=3ca2+c2-b22ac,整理,得a2=2b2-2c2.又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,所以2b2-2c2=b2+c2+bc,所以bc2-bc-3=0,解得bc=1+132或bc=1-132(舍去),所以bc=1+132.答案1+1327.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=msin A(mR),且a2-4bc=0.(1)当a=2,m=时,求b,c的值;(2)若角A为锐角,求m的取值范围.解由题意并结合正弦定理,得b+c=ma,a2-4bc=0.(1)当a=2