2018届高三数学理一轮复习考点规范练：第八章立体几何44Word版含解析.doc

考点规范练44立体几何中的向量方法基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()A.-2B.-C.D.2.已知平面的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是.(填序号)9.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为.(填序号)10.(2016全国乙卷,理18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.导学号37270484能力提升11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.导学号3727048613.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于.导学号3727048714.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DCEB,DC=EB,AB=4,tanEAB=.(1)证明:平面ADE平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.导学号37270488高考预测15.如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.导学号37270489参考答案考点规范练44立体几何中的向量方法1.D解析 当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.B解析 可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为,则sin =|cos|,cos=-,sin =,=3.C解析 设M(x,x,1).由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),则解得令b=1,则n=(1,1,).又AM平面BDE,所以n=0,即2(x-)+=0,得x=所以M4.A解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N设M(x,y,z),点M在AC1上,且,(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z).x=a,y=,z=,得M|=a.5.B解析 (方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45.图图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45.6.C解析 取B1C1的中点D1,以A1为原点,A1D1,A1A所在直线为x轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0).所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为7.30解析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=60,直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.8.解析 因为=0,=0,所以ABAP,ADAP,则正确.又不平行,所以是平面ABCD的法向量,则正确.因为=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以不平行,故错误.9.解析 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系如图.设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则MC=,MP=由MP=MC,得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.10.(1)证明 由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)解 过D作DGEF,垂足为G,由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,则DF=2,DG=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,4),则cos=-故二面角E-BC-A的余弦值为-11.B解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),=-=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.12.B解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设DC=DA=DD1=1,则D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O,并设点P(0,1,t)且0t1.则=(-1,0,-1),=(0,1,-1).设平面A1BD的法向量为n=(x0,y0,z0),则有即取x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin =|cos|=(0t1),sin2=,0t1.令f(t)=,0t1,则f(t)=-,可知当t时,f(t)0;当t时,f(t)0.又f(0)=,f=1,f(1)=,f(t)max=f=1,f(t)min=f(0)=sin 的最大值为1,最小值为sin 的取值范围为13解析 过C点作CO平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF,OF,则CFO为二面角C-AB-D的平面角,设AB=1,则CF=,OF=CFcos CFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,cos=14.(1)证明 因为AB是直径,所以BCAC.因为CD平面ABC,所以CDBC.因为CDAC=C,所以BC平面ACD.因为CDBE,CD=BE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以BCDE,所以DE平面ACD.因为DE平面ADE,所以平面ADE平面ACD.(2)解 依题意,EB=ABtanEAB=4=1,由(1)知VC-ADE=VE-ACD=SACDDE=ACCDDE=ACBC(AC2+BC2)=AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立.如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),则=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1),设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),即n1=(1,0,2).设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),n2=(1,1,0),cos=可以判断与二面角D-AE-B的平面角互补,二面角D-AE-B的余弦值为-15.(1)证明 因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)解 取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),