2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷理科解析版.doc

2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z=的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i2设集合A=x|1x2，B=x|xa，若AB=A，则a的取值范围是（）Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|a23“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设向量=（1，m），=（m1，2），且，若（），则实数m=（）A2B1CD5已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A越接近于圆B越扁C先接近于圆后越扁D先越扁后接近于圆6设a=（12x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A240B240C60D607如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A189B381C93D458某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3+2CD +9若函数f（x）=4sinxsin2（+）+cos2x（0）在，上是增函数，则的取值范围是（）A（0，1B（0，C1，+）D，+）10若函数f（x）=x2+a|x|在0，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，0B4，0C1，0D，011如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD12若函数f（x）=2exax2+（a2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（e，+）B（0，e）C1，e）D（0，+）二、填空题：本大题共4小题每小题5分13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ac=b2a2，A=，则B=14高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为15设x，y满足约束条件，若x2+9y2a恒成立，则实数a的最大值为16已知双曲线=1（a0，b0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26（）求数列an，bn的通项公式；（）若x2+3x对任意nN*恒成立，求实数x的取值范围18某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：0，30），30，60），60，90），90，120），得到频率分布直方图（部分）如图（）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列22列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？利用时间充分利用时间不充分总计走读生50住宿生10总计60100K2=参考列表：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（）若在第组、第组、第组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望19在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小20已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值21已知函数f（x）=lnxax+1 （aR）（）求函数f（x）的单调递增区间；（）当a（，1）时，若对任意t2，3，在x（0，t时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，O1与O2相交于A、B两点，AB是O2的直径，过A点作O1的切线交O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与O1、O2交于C，D两点求证：（1）PAPD=PEPC；（2）AD=AE选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（）已知射线l1：=（0），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：=，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|OQ|的最大值选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|xa|，（aR）（）当2x3时，f（x）4成立，求实数a的取值范围；（）若存在实数x，使得f（xa）f（x+a）2a1成立，求实数a的取值范围2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数z=的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数z=1i的共轭复数=1+i故选：A2设集合A=x|1x2，B=x|xa，若AB=A，则a的取值范围是（）Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|a2【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由AB=A，得AB，由集合A=x|1x2，B=x|xa，即可得出结论【解答】解：AB=A，AB集合A=x|1x2，B=x|xa，a2故选：D3“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y=a7平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定【分析】先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=2，a=2时，两条直线都为xy+3=0，重合，舍去a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a1）ya+7=0平行”的充要条件故选：C4设向量=（1，m），=（m1，2），且，若（），则实数m=（）A2B1CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量垂直于向量数量积的关系建立方程进行求解即可【解答】解：（），（）=0，即2=0，即1+m2（m1+2m）=0，即m23m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足，综上m=1，故选：B5已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A越接近于圆B越扁C先接近于圆后越扁D先越扁后接近于圆【考点】椭圆的简单性质【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的离心率的变化规律，最后确定结果【解答】解：由，表示焦点在x轴上的椭圆，解得：2a2+，由于a在不断的增大，所以对函数y=a2+1，（2a2+）为单调递增函数，即短轴中的b2在不断增大离心率e=，（2a2+），令f（a）=4aa21，（2a2+），由二次函数性质可知，（2，2）单调递增，（2，2+）单调递减，e随着a的增加，先增加后减小，随着a的增大该椭圆先越扁后接近于圆，故选：D6设a=（12x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A240B240C60D60【考点】二项式系数的性质【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项【解答】解：a=（12x）dx=（xx2）|=222=2，则二项式（x2）6展开式的通项公式C6r2r6（2）rx123r，令123r=0，解的r=4，则展开式中常数项为C64246（2）4=60，故选：D7如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A189B381C93D45【考点】程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足S30k，跳出循环，计算输出S的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，S=3；第二次循环k=2，S=23+3=9；第三次循环k=3，S=29+3=21；第四次循环k=4，S=221+3=45；第五次循环k=5，S=245+3=93；第六次循环k=6，S=293+3=189，满足S30k，跳出循环，输出S=189故选：A8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3+2CD +【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高；判断圆柱的底面半径与高；判断三棱锥的高和底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为2、1、2；圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，几何体的体积V=212+122+112=4+=+故选：D9若函数f（x）=4sinxsin2（+）+cos2x（0）在，上是增函数，则的取值范围是（）A（0，1B（0，C1，+）D，+）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】将函数化简，根据复合函数的性质求出单调区间，与已知区间比较即可【解答】解：f（x）=4sinxsin2（+）+cos2x=4sinx+cos2x=2sinx（1+sinx）+cos2x=2sinx+1，是函数含原点的递增区间又函数在，上递增，得不等式组得，又0，0，的取值范围是（0，故选：B10若函数f（x）=x2+a|x|在0，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，0B4，0C1，0D，0【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】去绝对值，由已知条件知，函数x2+axa在1，+）单调递增，x2ax+a在0，1）单调递增，得到关于a的不等式组，解该不等式组即得a的取值范围【解答】解：f（x）=x2+a|x|=，要使f（x）在0，+）上单调递增，则：，得1a0，实数a的取值范围是1，0，故选：C11如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化；直线与平面平行的性质【分析】由MN平面DCC1D1，我们过M点向AD做垂线，垂足为E，则ME=2AE=2BN，由此易得到函数y=f（x）的解析式，分析函数的性质，并逐一比照四个答案中的图象，我们易得到函数的图象【解答】解：若MN平面DCC1D1，则|MN|=即函数y=f（x）的解析式为f（x）=（0x1）其图象过（0，1）点，在区间0，1上呈凹状单调递增故选C12若函数f（x）=2exax2+（a2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（e，+）B（0，e）C1，e）D（0，+）【考点】组合几何体的面积、体积问题；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断【分析】由题意可得f（1）=0，则方程转化为a=有两个不同的实数根设g（x）=，求出导数，判断函数值的符号和对x讨论，x0，0x1，x1三种情况，判断单调性，画出图象，即可得到所求a的范围【解答】解：函数f（x）=2exax2+（a2e）x，可得f（1）=2ea+a2e=0，即有x=1为f（x）的一个零点，当x1时，由2exax2+（a2e）x=0，得a=有两个不同的实数根设g（x）=，由y=exex的导数为y=exe，当x1时，y0，y=exex递增；当x1时，y0，y=exex递减即有x=1处，y=exex取得最小值，且为0，即exex0，当x0时，x2x0，g（x）0；当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0由g（x）=，可设h（x）=x2ex3xex+ex+ex2，显然当x0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（，0）递增；又h（x）=xex（x+3+），再令m（x）=x+3+，m（x）=1+=（x1）（），即0x1时，m（x）递减；x1时，m（x）递增则m（x）m（1）=0，h（x）0在（0，1）（1，+）恒成立，即有g（x）0在（0，1）（1，+）恒成立，则g（x）在（0，1），（1，+）递增，画出函数y=g（x）的图象，可得a0时，函数y=g（x）的图象和直线y=a有两个交点综上可得，a0时，f（x）=exax2+（ae）x有三个不同的零点故选：D二、填空题：本大题共4小题每小题5分13ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ac=b2a2，A=，则B=【考点】余弦定理【分析】ac=b2a2，A=，利用正弦定理可得sinAsinC=sin2Bsin2A，又C=，可得=sin2B，化为cosB+sinB=4sin2B1，与sin2B+cos2B=1联立解出即可【解答】解：ac=b2a2，A=，sinAsinC=sin2Bsin2A，=sin2B，化为=，化为cosB+sinB=4sin2B1，又sin2B+cos2B=1，联立解得，sinB=B=14高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】分别计算出从10名学生中选出4名学生进入学生会的基本事件总数和满足这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，共有10名学生，从中选出4名学生进入学生会共有=210种不同情况；其中这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级有： =120种不同情况，故这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率P=，故答案为：15设x，y满足约束条件，若x2+9y2a恒成立，则实数a的最大值为【考点】简单线性规划【分析】根据不等式恒成立转化为求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1x代入z=x2+9y2，整理得10x218x9z=0，则判别式=182410（9z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a，则a的最大值为，故答案为：16已知双曲线=1（a0，b0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是1e【考点】双曲线的简单性质【分析】求出直线BF的方程为bx+cybc=0，利用直线与圆的位置关系，结合e1，即可求出双曲线离心率e的取值范围【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cybc=0，在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得PiA1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，e43e2+10，e1，ee1，1e故答案为：1e三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26（）求数列an，bn的通项公式；（）若x2+3x对任意nN*恒成立，求实数x的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（）利用a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26，建立方程组，求出q，d，即可求数列an，bn的通项公式；（）对任意nN*恒成立，只需求出右边的最小值，即可求实数x的取值范围【解答】解：（）由题意，代入得，消d得2q4q228=0，（2q2+7）（q24）=0，bn是各项都为正数的等比数列，q=2进而d=3，（）记，则cn最小值为c1=1，对任意nN*恒成立，x2+3x2，x2，或x118某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：0，30），30，60），60，90），90，120），得到频率分布直方图（部分）如图（）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列22列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？利用时间充分利用时间不充分总计走读生50住宿生10总计60100K2=参考列表：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（）若在第组、第组、第组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列22列联表，求出K2，由K23.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，8），推导出第组1人，第组4人，第组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列22列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100K2=5.556 由于K23.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，8），则由图可知：P1=30=，P2=30=，P3=30=，第组1人，第组4人，第组10人则X的所有可能取值为0，1，2，3，.X的分布列为：P0123X.19在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E平面BEP；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3（1）在图1中，取BE的中点D，连结DFAE：EB=CF：FA=1：2，AF=AD=2而A=60，ADF是正三角形又AE=DE=1，EFAD在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE又BEEF=E，A1E平面BEF，即A1E平面BEP（2）由（1）知，即A1E平面BEP，BEEF以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，因为二面角BA1PF为钝角，20已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系【分析】（1）求出l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）求出p即可（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，求出AB的距离以及AB中点为D（2k，2k2+1），令MDN=2，求出S的表达式，推出关系式，利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1，求出，然后求解的最大值【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，当l的倾斜角为45时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x22pxp2=0，x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为AB中垂线为，x=0代入得p=2（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x24kx4=0，AB中点为D（2k，2k2+1）令MDN=2，D到x轴的距离|DE|=2k2+1， 当k2=0时cos取最小值，的最大值为故的最大值为21已知函数f（x）=lnxax+1 （aR）（）求函数f（x）的单调递增区间；（）当a（，1）时，若对任意t2，3，在x（0，t时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）分别解出f（x）0，f（x）0，即可得出函数f（x）的单调性（）先求导，比较1与的大小关系，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）（x0），令g（x）=ax（1a）（x1）当a=0时，g（x）=x1，x（1，+）时，g（x）0f（x）0f（x）单调递增，a0时，由x0，得ax（1a）0，所以x（1，+）时，g（x）0f（x）0f（x）单调递增，当a0时，若，则当0a，x（1，），f（x）0，f（x）单调递增，当a=，f（x）在（0，+）上无递增区间，当a1时，x（，1），f（x）0，f（x）单调递增，当a1时，x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增综上所述，当a0时，单调递增区间为（1，+）；当0a时，单调递增区间为（1，）；当a=时，无单调递增区间；a1时，单调递增区间为（，1）；当a1时，单调递增区间为（0，1）（2）由题知函数当时，0，于是x（0，1）和时，f（x）0，f（x）单调递减；时，f（x）0，f（x）单调递增；又因为，要对任意实数t2，3，当x（0，t时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要f（2）f（1），即，解得a2ln21，；当时，在x（0，+）上，恒有f（x）0，有且仅有f（1）=0，故f（x）在（0，+）上单调递减，显然成立当时，于是和x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减；时，f（x）0，f（x）单调递增；要对任意实数t2，3，当x（0，t时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要，即；令，所以g（a）在上单调递减，在上单调递增减，g（a）ln2+，所以此时恒定满足题意综上所述：a2ln21，1）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，O1与O2相交于A、B两点，AB是O2的直径，过A点作O1的切线交O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与O1、O2交于C，D两点求证：（1）PAPD=PEPC；（2）AD=AE【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是O2的切线，可得CAD=AED，由（1）知，可得CAD=ADE，从而可得AED=ADE，即可证得结论【解答