二轮复习数学专题一第4讲 导数及其应用.doc

2012年高考第二轮复习数学专题一第4讲导数及其应用1(2011课标全国卷，理9)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A B4 C D62(2010课标全国卷，理3)曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x23(2010课标全国卷，理13)设yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足yif(xi)(i1，2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为_4(2011课标全国卷，理21)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30.(1)求a，b的值；(2)如果当x0，且x1时，f(x)，求k的取值范围5(2011陕西高考，理21)设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由6(2010课标全国卷，理21)设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围从近几年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值，求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题；(4)对微积分基本定理的考查频率较低，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现热点一利用导数研究曲线的切线确定或应用曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点，常与函数的图象、性质、几何图形性质交汇命题主要以选择题、填空题的形式来考查有时也渗透在解答题之中难度一般不大【例1】 (2011重庆高考，理18)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值思路点拨：(1)由f(1)2a，f(2)b联立求出a，b，再求切线方程；(2)先求g(x)，再根据导数的符号明确其增减性，进而明确极值情况1导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义是：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)2求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点xx0的导数f(x0)，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0)，由点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)提醒：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解拓展延伸 设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_.热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性问题，常与函数的其他性质相结合，且函数中一般含有参数，填空题为中低档难度，一般还是以解答题的形式出现，属于中高档题【例2】 已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)在1，)上单调，求实数a的取值范围思路点拨：(1)在定义域内令f(x)0或f(x)0.讨论f(x)的单调性热点三利用导数研究函数极值和最值问题该类型题目近几年高考主要考查以下内容：求给定函数的最大值、最小值与极值问题；已知给定函数的最大值、最小值、极值，求函数中参数的取值范围问题命题时常与函数的其他性质相结合，选择题、填空题一般为中低档难度，解答题多属中高档题【例3】 已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围(2)若x是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由思路点拨：(1)令f(x)0在1，)上恒成立，即得a的取值范围；(2)由f0，求出a的值，进而求f(x)的最值；(3)将函数图象交点问题转化为方程实根个数问题，由0，求b的取值范围1利用导数研究函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f(x)的导数f(x)；(3)若求极值，则先求出方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右边f(x)的符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)若函数yf(x)在a，b上是单调的，则函数的最大值与最小值在端点处取得；(2)若函数yf(x)在a，b上不是单调函数，求函数yf(x)在(a，b)内的极值，将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值拓展延伸 已知函数f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)当m2时，求f(x)的单调区间；(2)若m时，不等式g(x)f(x)恒成立，求实数a的取值范围热点四利用导数解决实际生活中的优化问题解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形象化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解，不同的设参方法会得到不同的数学模型【例4】 甲方是一农场，乙方是一工厂，乙方生产需占用甲方的资源，甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入乙方在赔付甲方前，年纯收入P(元)与年产量t(吨)满足函数关系P2 000；若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S(元)(以下称S为赔付价格)，则其年利润为Q(元)(1)求乙方的年利润Q(元)关于年产量t(吨)的函数表达式，并求出当年利润Q(元)最大时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？(净收入获赔金额经济损失)思路点拨：(1)将Q表示成t的函数，用换元法求最值；(2)将甲方净收入表示成S的函数，利用函数求最大值导数的实际应用题目解题步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；求导数f(x)，解方程f(x)0；判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点；确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点拓展延伸 (2011福建高考，理18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大热点五定积分的应用问题定积分及其应用是新课标的新增内容，高考中一般考查定积分的计算及其在几何上的应用形式上以选择或填空题的形式出现，难度较易【例5】 求下列定积分：(1) ；(2) ；(3) .求定积分的关键是求出被积函数的原函数，而求原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应掌握一些常见函数的导数，此外要注意利用定积分的性质，涉及求平面图形的面积的题目，要充分注意定积分和被积函数的几何意义拓展延伸 (2011湖南高考，理6)由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()AB1CD1分不清“过某点”和“在某点处”的切线致错“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切线，在某点处的切线才表明此点是切点如曲线yx3在点P(2,4)处的切线是一条，而过点P(2,4)的切线为两条2错误理解曲线与切线的公共点个数曲线与直线相切并不只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确如曲线y3x42x39x24在点(1，4)处的切线与该曲线有(1，4)(切点)，(2,32)，三个公共点3审题不清，错误理解题意致错如函数f(x)x3mx22m21的单调递减区间是(8,0)与在区间(8,0)上递减切勿混淆由f(x)3x22mx0得x0)，则h(x).()设k0.由h(x)知，当x1时，h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).()设0k0，故h(x)0.而h(1)0，故当x时，h(x)0，可得h(x)0，而h(1)0，故当x(1，)时，h(x)0，可得h(x)0.与题设矛盾综合得，k的取值范围为(，05(2011陕西，理21)解：(1)由题设易知：f(x)ln x，g(x)ln x，g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0xh(1)0，即g(x)g，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)0，使|g(x)g(x0)|0成立，即对任意x0，有ln xg(x0)0，使|g(x)g(x0)|0成立证法二：假设存在x00，使|g(x)g(x0)|0成立由(1)知，g(x)的最小值为g(1)1，又g(x)ln xln x，而x1时，ln x的值域为(0，)，x1时，g(x)的值域为1，)从而可取一个x11，使g(x1)g(x0)1，即g(x1)g(x0)1，故|g(x1)g(x0)|1，与假设矛盾不存在x00，使|g(x)g(x0)|0成立6解：(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调减少，在(0，)上单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0.综合得a的取值范围为.核心攻略【例1】 解：(1)因f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，由已知f(1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，因此124abb，解得a.因此f(x)x3x23x1，从而f(1).又因为f(1)23，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex，令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23.当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g(x)0，故g(x)在(3，)上为减函数；从而函数g(x)在x10处取得极小值g(0)3，在x23处取得极大值g(3)15e3.拓展延伸1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，2a2，a1.【例2】 解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，当a2时，f(x)2x，故f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)由题意得g(x)2x，函数g(x)在1，)上是单调函数若g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，设(x)2x2，(x)在1，)上单调递减，(x)max(1)0，a0.若g(x)为1，)上的单调减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，不可能实数a的取值范围为a0.拓展延伸解：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x17且b3.存在满足条件的b值，b的取值范围是b7且b3.拓展延伸解：(1)当m2时，f(x)x(ln x2)xln x2x，定义域为(0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0x0，所以x21ln x，亦即x2ln x，所以a .令