2020版高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 文.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.周期性,教材研读,考点一判断函数的奇偶性,考点二函数奇偶性的应用,考点三函数的周期性,考点突破,考点四函数性质的综合问题,1.函数的奇偶性,提醒函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.,教材研读,2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.,知识拓展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1f(x)为偶函数,其中f(x)0.(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1f(x)为奇函数,其中f(x)0.,2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,3.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).(2)若f(x+a)=,则T=2a(a0).(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a0).,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(),(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期.()(6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)是周期为2a的周期函数.(),答案(1)(2)(3)(4)(5)(6),2.下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x,答案B根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项的定义域为(0,+),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.,B,3.f(x)=x3+sinx(xR)()A.是偶函数B.是奇函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数,答案Bf(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-f(x),所以f(x)是奇函数.,B,4.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-B.C.D.-,答案B因为f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=.,B,5.(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x2+,则f(-1)=.,答案-2,解析当x0时,f(x)=x2+,f(1)=12+1=2,又f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=-2.,6.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=则f=.,答案1,解析f(x)是定义在R上的周期为2的函数,f=f=f=-4+2=-4+2=-1+2=1.,判断函数的奇偶性,考点突破,典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=;(3)f(x)=,解析(1)由得x2=3,解得x=,即函数f(x)的定义域为-,f(x)=+=0.f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得函数的定义域为(-1,0)(0,1),关于原点对称.,x-20,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);,当x0时,-x0且a1),则函数F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是()A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数,B,答案BF(x),G(x)的定义域均为(-2,2),由已知得F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x),G(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x),F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.,函数奇偶性的应用,典例2(1)已知函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2(2)函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)=x+1,则当x0时,f(x)=.,答案(1)B(2)x-1,B,解析(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-F(a)=-1,从而f(-a)=0.(2)当x0,f(x)=-f(-x)=-(-x+1),即当x0时,f(x)=-(-x+1)=x-1.,规律总结利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.,2-1(一题多解)已知函数f(x)是奇函数,在(0,+)上是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为-3,4,则在区间-b,-a上()A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3,B,答案B解法一:根据题意作出y=f(x)的大致图象,由图知选B.解法二:当x-b,-a时,-xa,b,由题意得f(b)f(-x)f(a),即-3-f(x)4,所以-4f(x)3,即在区间-b,-a上f(x)min=-4,f(x)max=3.故选B.,2-2(2019广州调研)已知函数f(x)=+a为奇函数,则实数a=.,答案-,解析易知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即+a=-a,所以2a=-=-=-1,所以a=-.,2-3已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)=.,答案3,解析f(-1)+g(1)=2,即-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,即f(1)+g(1)=4,由+得,2g(1)=6,即g(1)=3.,函数的周期性,典例3(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=.(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为.,答案(1)1008(2)7,解析(1)f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2,又当x0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=1008.,(2)当0x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2x4时,0x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4x时,f=f,即周期为1,则f(6)=f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.,D,函数性质的综合问题命题方向一单调性与奇偶性的综合问题,典例4(2018武汉模拟)偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,a=f,b=f,c=f(log32),则下列关系式中正确的是()A.abcB.acbC.cabD.cba,D,答案D,解析log2=-log23,0log321=log2log2=log23,函数f(x)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,f(log32)f(log2)f(log23)=f(-log23)=f,cba,故选D.,命题方向二奇偶性与周期性的综合问题典例5(2018课标全国,12,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50,答案C,C,解析本题主要考查函数的奇偶性和周期性.f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x),由得f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x),由得f(x)=f(x+4),f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.,命题方向三单调性、奇偶性与周期性的综合问题典例6定义在R上的函数f(x)满足:对任意的xR有f(x+4)=f(x);f(x)在0,2上是增函数;f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是()A.f(7)f(6.5)f(4.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(4.5)f(6.5)f(7)D.f(4.5)f(7)f