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2 无穷积分的性质及收敛判别,一、无穷积分的性质,本节讨论无穷积分的性质, 并用这些,性质得到无穷积分的收敛判别法.,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,三、一般函数无穷积分的收敛判别法,收敛的充要条件是:,一、无穷积分的性质,证,极限的柯西准则,此等价于,性质1,为任意常数,则,即,根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.,性质2,h(x) 在任意 a, u上可积, 且,证 因为,收敛,由柯西准则的必要性,再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,上的非负函数 f 在任何,收敛的充要条件是:,非负函数 f , g 在任何有限区间a, u上可积, 且,定理11.3 (比较判别法) 设定义在 上的两个,增函数的收敛判别准则,存在 满足,证,由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.,推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积, 且,证,即,推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何,限区间 a, u 上可积.,推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有,说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写,出它的证明.,解 (i),若无穷积分,以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.,三、一般函数无穷积分的判别法,何有限区间 a, u上可积,因此,再由柯西准则的充分性,又对任意,瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积,3 瑕积分的性质与收敛判别,内容大都是罗列出一些基本结论, 并举,分的性质与收敛判别相类似. 因此本节,例加以应用, 而不再进行重复论证.,定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）,证,柯西准则，此等价于,2019/11/17,23,可编辑,性质1,性质2,性质3,定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法),定理11.9 (比较法则),推论1,推论2,推论3,可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.,例1,由于,例2,解,例3,解,*一般函数的无穷积分的狄利克雷判,定理11.5(狄利克雷判别法）,证,故,别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.,使得,因此, 由柯西准则，,证 证法1,定理11.6 (阿贝尔判别法),由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的,使得,由柯西准则,证法2,由狄利克雷判别法,收敛.,收敛,所以,解,由狄利克雷判别法推知,另一方面，,狄利克雷判别,法条件, 是收敛的；,类似可证:,
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