高考数学点睛-椭圆及其综合应用.pdf

编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 1.【浙江，2】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】 试题分析： 945 33 e ，选 B 2.【课标 3，理 10】已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab ，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】 试题分析：以线段 12 A A为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为 222 xya， 直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即： 22 2ab da ab ， 整理可得 22 3ab，即 22222 3,23aacac， 从而 2 2 2 2 3 c e a ，椭圆的离心率 26 33 c e a ， 故选 A. 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出 a，c，代入公式 e c a ； 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围). 3.【高考浙江理数】已知椭圆 C1：+y2=1(m1)与双曲线 C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则（） Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dm0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点. 【解析】 试题分析： （1）根据 3 P， 4 P两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过 3 P， 4 P两点.另外 2222 1113 4abab 知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此 134 ,P P P在椭圆上，代入其标准方程，即可求出 C 的方程； （2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，在设直线 l 的方程，当 l 与 x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设 l：ykxm（1m ） ，将ykxm代入 2 2 1 4 x y，写出判别式，韦达定理，表示出 12 kk，根 据 12 1kk 列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点. 试题解析： （1）由于 3 P， 4 P两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 3 P， 4 P两点. 又由 2222 1113 4abab 知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y. 222 (41)8440kxkmxm 由题设可知 22 =16(41)0km. 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2= 2 8 41 km k ，x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk ，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx. 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 解得 1 2 m k . 当且仅当1m 时，0 ，欲使 l： 1 2 m yxm ，即 1 1(2) 2 m yx ， 所以 l 过定点（2，1） 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 8.【课标课标 II，理】，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线3x 上，且1OP PQ。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 【答案】(1) 22 2xy。 (2)证明略。 【解析】 试题分析：(1)设出点 P 的坐标，利用2NPNM得到点 P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为 22 2xy。 (2)利用1OP PQ可得坐标关系 22 31mmtnn，结合(1)中的结论整理可得0OQ PF，即OQPF，据此即可得出题中的结论。 试题解析： （1）设 00 ,P x yM xy,设 0,0 N x, 00 ,0,NPxxyNMy。 由2NPNM得 00 2 , 2 xx yy。 因为 00 ,M xy在 C 上，所以 22 1 22 xy 。 因此点 P 的轨迹方程为 22 2xy。 （2）由题意知1,0F 。设3,QtP m n,则 3,1,33OQtPFmnOQ PFmtn ， ,3,OPm nPQm tn 。 由1OP PQ得 22 31mmtnn，又由（1）知 22 2mn，故 330mtn。 所以0OQ PF，即OQPF。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦点 F。 【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。 9.【山东，理 21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. （）求椭圆的方程； （）如图，动直线 ：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一 点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线 的斜 率. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 【答案】 （I）. （）的最大值为，取得最大值时直线 的斜率为. 【解析】试题分析： （I）本小题由，确定, a b即得. （）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定|AB及 圆M的半径r表达式. 试题解析： （I）由题意知，所以， 因此椭圆的方程为. （）设，联立方程 得，由题意知，且， 所以. 由题意可知圆M的半径r为 22 11 2 1 11 82 2 321 kk r k 由题设知，所以因此直线的方程为. 联立方程得，因此. 由题意可知，而 ，令，则， 因此， 当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此， 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 所以最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线 的斜率为. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 10.【天津，理 19】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 1 2 .已知A是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，F到抛物 线的准线l的距离为 1 2 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为 6 2 ，求直 线AP的方程. 【答案】 （1） 2 2 4 1 3 y x ， 2 4yx.（2）3630 xy，或3630 xy. 【解析】 试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1 2 ，则 1 2 ac，又椭圆的离心率为 1 2 ，求出, ,c a b，得出椭圆的标准方程和抛 物线方程； 则(1,0)A， 设直线AP方程为设1(0)xmym， 解出PQ、两点的坐标， 把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标， 写出BQ 所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据APD的面积为 6 2 解方程求出m，得出直线AP的方程. 试题解析： （）解：设F的坐标为(,0)c.依题意， 1 2 c a ， 2 p a， 1 2 ac，解得1a ， 1 2 c ，2p ，于是 222 3 4 bac.所以，椭 圆的方程为 2 2 4 1 3 y x ，抛物线的方程为 2 4yx. （）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x 联立，可得点 2 ( 1,)P m ，故 2 ( 1,)Q m .将1xmy与 2 2 4 1 3 y x 联立，消去x，整理得 22 (34)60mymy，解得0y ，或 2 6 34 m y m .由点B异于点A，可得点 2 22 346 (,) 3434 mm B mm .由 2 ( 1,)Q m ，可 得 直 线BQ的 方 程 为 2 22 62342 ()(1)(1)()0 3434 mm xy mmmm ， 令0y ， 解 得 2 2 23 32 m x m ， 故 2 2 23 (,0) 32 m D m . 所 以 22 22 236 | 1 3232 mm AD mm .又因为APD的面积为 6 2 ，故 2 2 1626 232|2 m mm ，整理得 2 32 6 | 20mm ，解得 6 | 3 m ，所 以 6 3 m . 所以，直线AP的方程为3630 xy，或3630 xy. 【考点】直线与椭圆综合问题 11.【江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8.点P 在椭圆E上，且位于第一象限，过点 1 F作直线 1 PF的垂线 1 l,过点 2 F作直线 2 PF的垂线 2 l. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2） 4 7 3 7 (,) 77 【解析】解： （1）设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8，所以 1 2 c a ， 2 2 8 a c ， 解得2,1ac，于是 22 3bac ， 因此椭圆 E 的标准方程是 22 1 43 xy . （2）由（1）知， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F. 设 00 (,)P xy，因为点P为第一象限的点，故 00 0,0 xy. 当 0 1x 时， 2 l与 1 l相交于 1 F，与题设不符. 当 0 1x 时，直线 1 PF的斜率为 0 0 1 y x ，直线 2 PF的斜率为 0 0 1 y x . 因为 11 lPF， 22 lPF，所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y ，直线 2 l的斜率为 0 0 1x y ， 从而直线 1 l的方程： 0 0 1( 1) x yx y ， 直线 2 l的方程： 0 0 1( 1) x yx y . 由，解得 2 0 0 0 1 , x xxy y ，所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y . 因为点Q在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1x y y ，即 22 00 1xy或 22 00 1xy. 又P在椭圆 E 上，故 22 00 1 43 xy . 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，解得 00 4 73 7 , 77 xy ； 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，无解. 因此点 P 的坐标为 4 7 3 7 (,) 77 . 12.【高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）设圆的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. F1 O F2 x y (第 17 题) 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （I）证明为定值,并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 【答案】 （）（） （II） 【解析】 试题分析：根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程； （II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为 ,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为 x 斜率 k 的函数,再求最值. 试题解析： （）因为,故, 所以,故. 又圆的标准方程为,从而,所以. 由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. 过点且与 垂直的直线：,到的距离为,所以 .故四边形的面积 . 可得当 与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为. 当 与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为 12. 综上,四边形面积的取值范围为. 考点：圆锥曲线综合问题 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方 程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思 想的应用. 13.【高考山东理数】（本小题满分 14 分） 平面直角坐标系中，椭圆 C： 的离心率是，抛物线 E：的焦点 F 是 C 的一个顶点. （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （i）求证：点 M 在定直线上; 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （ii）直线 与 y 轴交于点 G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标. 【答案】 （）;（） （i）见解析； （ii）的最大值为，此时点的坐标为 【解析】 试题分析： （）根据椭圆的离心率和焦点求方程； （） （i）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l 的方程和抛物线联立，进而判断点 M 在定直线上； （ii）分别列出 ，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点 P 的坐标. 试题解析： （） （i）设，由可得， 所以直线 的斜率为， 因此直线 的方程为，即. 设，联立方程 得， 由，得且， 因此, 将其代入得， 因为，所以直线方程为. 联立方程，得点的纵坐标为， 即点在定直线上. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （ii）由（i）知直线 方程为， 令得，所以， 又， 所以， ， 所以， 令，则， 当，即时，取得最大值，此时，满足， 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 14.【江苏高考，18】 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 【答案】 （1）（2）或 【解析】 试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3，解方程组即得（2）因为 直线 AB 过 F，所以求直线 AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据 PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方 程与椭圆方程联立方程组，解出 AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出 AB 长，再根据中点坐标公式求出 C 点坐标，利用两直线交点求出 P 点 坐标，再根据两点间距离公式求出 PC 长，利用 PC=2AB 解出直线 AB 斜率,写出直线 AB 方程. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （2）当轴时，又，不合题意 当与轴不垂直时，设直线的方程为， 将的方程代入椭圆方程，得， 则，的坐标为，且 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意 从而，故直线的方程为， 则点的坐标为，从而 因为，所以，解得 此时直线方程为或 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 差法”解决，往往会更简单。 15.【高考天津理数】 （本小题满分 14 分） 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程； （）设过点的直线 与椭圆交于点（不在轴上） ，垂直于 的直线与 交于点，与轴交于点，若，且 ，求直线的 斜率的取值范围. 【答案】 （）（） 【解析】 试题分析： （）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得 ， 再利用 ，可解得， （）先化简条件： ，即 M 再 OA 中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 ；利用两直线方程组求 H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析： （1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此 ，所以椭圆的方程为. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （2） （）解：设直线的斜率为（） ，则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得 . 解得，或，由题意得，从而. 由 （） 知， 设， 有，.由， 得， 所以， 解得.因此直线的方程为. 所以，直线 的斜率的取值范围为. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 16.【高考山东，理 20】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以 3 为半径的圆与以为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆上. ()求椭圆的方程； （）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. ( i )求的值； （ii）求面积的最大值. 【答案】 （I）； （II）( i )2； （ii） . 【解析】 试题分析： （I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程； （II） （i）设，由题意知 ，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ii）设，利用方程组结合韦达定理求出弦 长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 ，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值. 试题解析： （I）由题意知，则 ,又可得 , 所以椭圆 C 的标准方程为. （II）由（I）知椭圆 E 的方程为, （i）设，由题意知因为, 又，即 ,所以，即 . 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令 ,将代入椭圆 C 的方程可得 由，可得 由可知 因此 ,故 当且仅当，即时取得最大值 由（i）知，面积为 ,所以面积的最大值为 . 17.【高考陕西，理 20】 （本小题满分 12 分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点， 的直线的距离为 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （I）求椭圆的离心率； （II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的 方程 【答案】 （I）； （II） 【解析】 试题分析： （I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率； （II）先由（I）知椭圆的方程， 设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方 程 试题解析： （I）过点，的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. (II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为. (1) 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得 设则 由，得解得. 从而. 于是. 由，得，解得. 故椭圆的方程为. 解法二：由（I）知，椭圆的方程为. （2） 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 因此直线方程为，代入(2)得 所以，. 于是. 由，得，解得. 故椭圆的方程为. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆 锥曲线的位置. 18.【高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆（a1）. （I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示） ； （II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围. 【答案】 （I）； （II） 【解析】 试题分析： （I）先联立和，可得，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长； （II）先假设圆与椭圆 的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的 取值范围 试题解析： （I）设直线被椭圆截得的线段为，由得 ， 故 ， 因此 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 （II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足 记直线，的斜率分别为，且， 由（I）知， ， 故 因此 ， 因为式关于，的方程有解的充要条件是 ，所以 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为 ， 由得，所求离心率的取值范围为 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率 19.【高考新课标 2，理 20】 （本题满分 12 分） 已知椭圆,直线 不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与 的斜率的乘积为定值； （）若 过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由 【答案】()详见解析； （）能，或 【解析】()设直线， 将代入得，故， 于是直线的斜率，即所以直线的斜率与 的斜率的乘积为定值 （）四边形能为平行四边形 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 因为直线 过点，所以 不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直 线 的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是 解得，因为，所以当 的斜率为 或时，四边形为平行四边形 【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系 【名师点睛】()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现 弦的中点和直线 的斜率；设直线 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系； （）根据()中 结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线 过点列方程求的值 20.【高考新课标 2 理数】 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点， 斜率为的直线交于两点， 点在上， （）当时，求的面积； （）当时，求的取值范围 【答案】 （）； （）. 【解析】 试题解析： （I）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以. 因此的面积. （II）由题意，. 将直线的方程代入得. 由得，故. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 由题设，直线的方程为，故同理可得， 由得，即. 当时上式不成立， 因此.等价于， 即.由此得，或，解得. 因此的取值范围是. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 21.【高考四川，理 20】如图，椭圆 E：的离心率是，过点 P（0,1）的动直线与椭圆相交于 A，B 两点，当直线平 行与轴时，直线被椭圆 E 截得的线段长为. (1)求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）存在，Q 点的坐标为. 【解析】 （1）由已知，点在椭圆 E 上. 因此， 解得. 所以椭圆的方程为. 所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点的坐标只可能为. 下面证明：对任意的直线 ，均有. 当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为，A、B 的坐标分别为. 联立得. 其判别式， 所以，. 因此. 易知，点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为. 又， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与 P 不同的定点，使得恒成立. 22.【年高考北京理数】 （本小题 14 分） 已知椭圆 C：（）的离心率为，的面积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点 M，直线 PB 与轴交于点 N. 求证：为定值. 【答案】 （1）； （2）详见解析. 【解析】 试题分析： （1）根据离心率为，即，的面积为 1，即，椭圆中列方程求解； （2）根据已知条件分别求出 ，的值，求其乘积为定值. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 所以椭圆的方程为. （2）由（）知， 设，则. 当时，直线的方程为. 令，得.从而. 直线的方程为. 令，得.从而. 所以 . 当时， 所以. 综上，为定值. 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系. 算。 23.【年高考四川理数】 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （） 设 O 是坐标原点， 直线 l平行于 OT， 与椭圆 E 交于不同的两点 A、 B， 且与直线 l 交于点 P 证明： 存在常数， 使得， 并求的值. 【答案】 （），点 T 坐标为（2,1） ； （）. 【解析】 试题分析： （）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得，从而可得，椭圆的标准方程中可减少一个参 数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出 b 的值，从而得到椭圆的标准方程； （）首先设出直线方程为 ，由两直线方程求出点坐标，得，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 用根与系数关系，得，再计算，比较可得值. 试题解析： （I）由已知，即，所以，则椭圆 E 的方程为. 由方程组得. 方程的判别式为，由，得， 此方程的解为， 所以椭圆 E 的方程为. 点 T 坐标为（2,1）. 由方程组可得. 方程的判别式为，由，解得. 由得. 所以， 同理， 所以 . 故存在常数，使得. 考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 613094286 24.【高考重庆，理 21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 （1）若，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率 【答案】 （1）； （2） 【解析】 试题解析： （1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦 距，即的值，因此方程易得； （2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义， 设，则，于是有，这样在中求得 ，在中可建立关于的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义， 设椭圆的半焦距为 c，由已知，因此 即 从而 故所求椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义，,从而由，有 又由，知，因此 于是 解得. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，,从而由，有 又由，知，因此, 编制：高中数学 QQ