不等式的性质教案

1 / 12 不等式的性质教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 教学设计 3 不等式的性质 整体设计 教学分析 本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程 基本性质 2、 3、 4 在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望 在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证2 / 12 明，课后的练习 A、 B 要求学生全做 三维目标 1通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论 2在了解 不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式 3通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情 重点难点 教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式 教学难点：不等式基本性质的灵活应用 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入 )让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上 (或减去 )同一个数，不等号的 方向不变；不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个负数，不等号的方向改变让学生根据上一节的学习将上3 / 12 面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课 思路 2.(类比导入 )等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以 (除数不为零 )同一个数，所得的仍是等式我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课 推进新课 新知探究 提出问题 1怎样比较两个实数或代数式的大小？ 2初中都学过不等式的哪些基本性质？你能给出证明吗？ 3不等式有哪些基本性质和推论？这些性质有哪些作用？ 活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以 (除数不为零 )同一个数，所得到的仍是等式利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以 (除数不为零 )同 一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质 (或用多媒体展示 )，即 a b 0 a b； a b 0 a b； a b 04 / 12 a b. 根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差这是我们研究不等关系的一个出发点 从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质： 性质 1，如果 a b，那么 b a；如果 b a，那么 a b，即a b b a.这种性质称为不等式的对称性 性质 2，如果 a b， b c，那么 a c，即 a b， b c a c.这种性质称为不等式的传 递性 性质 3，如果 a b，那么 a c b c， 即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向 由此得到推论 1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边这个推论称为不等式的移项法则 推论 2，如果 a b， c d，则 a c b d. 这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论 性质 4，如果 a b， c 0，则 ac bc；如果 a b， c 0，则 ac bc. 推论 1，如果 a b 0， c d 0，那 么 ac bd. 推论 2，如果 a b 0，那么 an bn(nN ， n 1) 推论 3，如果 a b 0，那么 na nb(nN ， n 1) 5 / 12 以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据其中性质 1 是不等式的对称性；性质 2 是不等式的传递性；性质3 表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质 4 表明，不等式两边允许用非零数 (或式 )去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质 4 的推论 1 说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质 4 的推论 2 说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质 4 的推论 3 说明两边都是正数的不等式可以开方 对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成 .5 个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过 讨论结果： (1)(2)略 (3)4 条性质， 5 个推论 应用示例 例 1(教材本节例题 ) 活动：本节教材上共安排了这一个例题，含 3 个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力实践证明，学生往往推理不严密教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，6 / 12 强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰 点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一 . 变式训练 已知 a b 0， c 0，求证： ca cb. 证明： a b 0， ab 0， 1ab 0. 于是 a1ab b1ab，即 1b 1a. 由 c 0，得 ca cb. 例 2 已知 2 2 ，求 2 ， 2的取值范围 活动：教师引导学生回忆本题的 背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果 解： 2 2 ， 42 4 ， 4 24. 上面两式相加，得 2 2 2. 4 24 ， 4 2 4. 2 2 2. 又知 ， 2 0. 7 / 12 故 2 2 0. 点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键 . 变式训练 已知函数 f(x) x x3， x1， x2， x3R ， x1 x2 0， x2 x3 0， x3 x1 0，那么 f(x1) f(x2) f(x3)的值 ( ) A一定大于 0 B一定小于 0 c等于 0D正负都有可能 答案： B 解析：由题意知 f(x)是奇函数，且在 R 上为单调增函数， 所以 f( x2) f(x2)， f( x3) f(x3)， f( x1)f(x1)， 且 x1 x2， x2 x3， x3 x1. 所以 f(x1) f(x2)， f(x2) f(x3)， f(x3) f(x1) 由不等式的性质 3 推论 2 知 f(x1) f(x2) f(x3) f(x1) f(x2) f(x3) 因此， f(x1) f(x2) f(x3) 0. 3 已知 a b 0， c d 0， e 0，求证： ea c ebd. 活动：教师引导学生观察结论，由于 e 0，因此即证 1a c 1b d，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质 8 / 12 证明： c d 0 c d0ab0 a c b d 0 1a c1b de0ea c eb d. 点 评：本例是灵活运用不等式的性质证明时一定要推理有据，思路条理清晰 . 变式训练 若 1a 1b 0，则下列不等式： a b ab； |a| |b|；a b 中，正确的不等式有 ( ) A 0 个 B 1 个 c 2 个 D 3 个 答案： B 解析：由 1a 1b 0 得 b a 0， ab 0，则 正确， 错误， 错误 . 知能训练 1若 a、 b、 cR ， a b，则下列不等式成立的是 ( ) 1bB a2 b2来源 :学 +科 +网 1 bc2 1D a|c| b|c| 2若 a b 0，则下列不等式中总成立的是 ( ) b 1a 1B a 1a b 1b c a 1b b ba 2b ab 3有以下四个条件： 9 / 12 b 0 a； 0 a b； a 0 b； a b 0. 其中能使 1a 1b 成立的有 _个条件 答案： 1 c 解法一： a b， c2 1 0， ac2 1 bc2 1. 解法二：令 a 1， b 2， c 0，代入 A、 B、 c、 D 中，可知 A、 B、 D 均错 2 c 解法一：由 a b 00 1a 1ba 1b b 1a. 解法二：令 a 2， b 1，排除 A、 D，再令 a 12， b 13，排除 B. 3 3 解析： b 0， 1b 0.a 0， 1a 0.1a 1b. b a 0， 1b 1a. a 0 b， 1a 0， 1b 0.1a 1b. a b 0， 1a 1b. 课堂小结 1教师与学生共同完成本节的小结从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等真正温故知新，将本节课所 学内容纳入已有的知识体系 2教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题 10 / 12 作业 习题 3 1A 组 4、 5；习题 3 1B 组 4. 设计感想 1本节设计更加关注学生的发展通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯 2本节设计注重学生的探究活动学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极 主动的学习品质，从而提高学习质量 3本节设计注重了学生个性品质的发展通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣 备课资料 备用习题 1如果 a、 b、 c、 d 是任意实数，则 ( ) A a b， c dac bca b c a3 b3， ab 01a 1bD a2 b2， ab 01a 1b 2已知 a b 0， b 0，那么 a， b， a， b 的大小关系是 ( ) A a b b aB a b a b 11 / 12 c a b b aD a b a b 3已知 1 a b 0，则下面不等式中正确的是 ( ) 1b b2 1b a2 b2 1a a2 1a b2 a2 4设 a、 bR ，若 a |b| 0，则下列不等式中正确的是 ( ) A b a 0B a3 b3 0 c a2 b2 0D b a 0 5若 、 满足 2 2 ，则 的取值范围是 ( ) A B 0 c 2 2D 2 0 6已知 60 x 84,28 y 33，则 x y 的取值范围为_， xy 的取值范围为 _ 7已知 a b， c d，求证： c a d b. 8已知 x y z 0，求证： yx y zx z. 参考答案： 1 c A 项中，当 c、 d 为负数时， ac bd， A 错； B 项中，当 c 为负数时， a b， B 错； c 项中， a3 b3，得出 a b，又由 ab 0 可得 1a 1b， c 项正确； D 项中，若 a、 b 均为负数时，由 a2 b2 得出 a b，由 ab 0 得出 1a 1b， D 错 2 c 由 a b 0， b 0 可知 a 0， b 0，故 a， b 为正， a， b 为负，又由 a b 0 知 a b， b a，所以 a12 / 12 b b a. 3 D 由 1 a b 0 知 ab 0，所以 1b 1a 0， a2 b2 0，故 1b 1a b2 a2. 4 D 利用赋值法：不妨令 a 1， b 0，则排除 A， B， c. 5 B 由 知 0，又由 2 ， 2 ，故 ( 2) 2 ， 即 0. 6 (2