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文档简介
第1课时坐标系与参数方程,热点考向一极坐标方程及其应用考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用.考查抽象概括能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查求极坐标方程及其应用、特别是与极径几何意义有关的问题.,【典例1】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:cos=3,曲线C2:=4cos(1)求C1与C2交点的极坐标.(2)设点Q在C2上,求动点P的极坐标方程.,【审题导引】(1)看到求C1与C2交点的极坐标,联想到解_.(2)看到联想到_相等.,方程组,对应坐标,【解析】(1)联立因为0所以所求交点的极坐标为,(2)设P(,),Q(0,0)且0=4cos0,0由已知所以=4cos,点P的极坐标方程为=10cos,【名师点睛】1.极径的几何意义及其应用(1)几何意义:极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离.(2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交,所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数的关系解题.,2.极坐标化直角坐标的常用技巧(1)通常要用去乘方程的两边,使之出现2,cos,sin的形式.(2)含关于tan的方程用公式tan=,提醒:(1)根据题目的需要可规定R,此时(-,)与(,)关于极点对称.(2)极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意变形的等价性.,【考向精炼】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),直线C2的方程为y=x,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程.(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求,【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为2-4cos-4sin+7=0.由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标为=(R(或tan=),(2)由得2-(2+2)+7=0,故1+2=2+2,12=7,所以,【易错警示】解答本题容易忽视以下两点:(1)根据图象直观判断直线C2的方程,极坐标方程是=;(2)忽视极径的几何意义1=|OA|,2=|OB|.,【加练备选】1.(2018吉林梅河口五中一模)已知圆O:x2+y2=4,将圆O上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得到曲线C.,(1)写出曲线C的参数方程.(2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.,【解析】(1)设曲线C上任意一点P(x,y),则点Q(x,2y)在圆O上,所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,所以曲线C的参数方程是(为参数),(2)解得,A(-2,0),B(0,1),所以线段AB的中点N的坐标为设直线l的倾斜角为,则tan=,所以直线m的方程为y=(x+1)+,即8x-6y+11=0,所以直线m的极坐标方程为8cos-6sin+11=0.,2.(2018合肥三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.,(1)求直线l及圆C的极坐标方程.(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求cosAOB的值.,【解析】(1)由直线l的参数方程得,其普通方程为y=x+2,所以直线l的极坐标方程为sin=cos+2.又因为圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得=4cos+2sin,所以圆C的极坐标方程为=4cos+2sin.,(2)将直线l:sin=cos+2,与圆C:=4cos+2sin联立,得(4cos+2sin)(sin-cos)=2,整理得sincos=3cos2,所以=,或tan=3.,不妨记点A对应的极角为,点B对应的极角为,且tan=3.于是,cosAOB=cos,3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为x2=4y+4.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=8,求l的斜率.,【解析】(1)由x=cos,y=sin可得抛物线C的极坐标方程2cos2-4sin-4=0.,(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R),设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2cos2-4sin-4=0,因为cos20(否则,直线l与抛物线C没有两个公共点),于是1+2=,12=|AB|=|1-2|=由|AB|=8得cos2=,tan=1,所以l的斜率为1或-1.,4.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位,已知圆C的参数方程为(为参数),直线l的极坐标方程为=点P在l上.,(1)过P向圆C作切线,切点为F,求|PF|的最小值.(2)射线OP交圆C于R,点Q在OP上,且满足|OP|2=|OQ|OR|,求Q点轨迹的极坐标方程.,【解析】(1)圆C的参数方程为(为参数),可得圆C的普通方程为x2+y2=4,直线l的极坐标方程为=即有sin+cos=4,即直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.,由|PO|2=|PF|2+|OF|2,由P到圆心O(0,0)的距离d最小时,|PF|取得最小值.由点到直线的距离公式可得dmin=可得|PF|最小值为,(2)设P,Q,R的极坐标分别为(1,),(,),(2,),由1=,2=2,又|OP|2=|OQ|OR|,可得=2,即有=即Q点轨迹的极坐标方程为=,热点考向二参数方程及其应用考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查直线、圆、椭圆的参数方程及其应用.考查抽象概括能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数几何意义的应用.,【典例2】(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围.(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,【审题导引】(1)看到求的取值范围,联想到根据l与O相交求_的取值范围.(2)看到求线段AB中点P的轨迹的参数方程,联想到点P对应的_,代入直线l的_方程.,斜率,参数,参数,【解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan=k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1,即或.综上,的取值范围是,(2)l的参数方程为(t为参数,).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=且tA,tB满足t2-2tsin+1=0.,于是tA+tB=2sin,tP=sin.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数,0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则点M与M0重合.,(2)应用:一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A,B两点,与弦长|AB|及其相关的问题,解决的方法是首先用t表示出弦长,再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题.,【考向精炼】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2+2cos-=0.,(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.(2)已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点(P在A,B之间),且|PA|=2|PB|,求实数a的值.,【解析】(1)C1的参数方程消参得普通方程为x+y-a-1=0,C2的极坐标方程为cos2+2cos-=0,两边同乘得2cos2+2cos-2=0,即y2=2x.,(2)将曲线C1的参数方程代入曲线C2:y2=2x得t2+2t+1-2a=0,设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|且P在A,B之间,则t1=-2t2,由题意得解得a=,【加练备选】1.(2018湖北八校第二次联考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:为参数,00,),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为:=,(1)在直角坐标系xOy中,求圆C的圆心的直角坐标.(2)设点P(1,),若直线l与圆C交于A,B两点,求证:|PA|PB|为定值,并求出该定值.,【解析】(1)圆C:x2+y2-4x-4y=0,圆心坐标C(2,2).,(2)将代入C:x2+y2-4x-4y=0,所以t2-(2sin+2cos)t-12=0,设点A,B所对应的参数为t1,t2,则t1t2=-12,所以|PA|PB|=|t1t2|=12.,2.(2017衡水一模)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数).(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于,求实数m的取值范围.(2)若点A的坐标为(2,0),动点P在圆C上,试求线段PA的中点Q的轨迹方程.,【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),普通方程为y=mx,圆C的参数方程为(为参数),普通方程为x2+(y-1)2=1.圆心到直线l的距离d=,相交弦长=所以所以m-1或m1.,(2)设P(cos,1+sin),Q(x,y),则x=(cos+2),y=(1+sin),消去,整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x-1)2+,3.(2017惠州一模)已知曲线C的极坐标方程是=4cos,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).,(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角的值.,【解析】(1)因为cos=x,sin=y,2=x2+y2,所以曲线C的极坐标方程=4cos可化为2=4cos,所以x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4.,(2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:(tcos-1)2+(tsin)2=4,化简得t2-2tcos-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则,所以|AB|=|t1-t2|因为|AB|=,所以所以cos=.,因为0,),所以=或=.所以直线的倾斜角=或=.,热点考向三极坐标与参数方程的综合应用高频考向,类型一极径和参数几何意义的灵活应用【典例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),A,B在曲线C上,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A,B两点的极坐标为,(1)求曲线C的极坐标方程.(2)设曲线C的中心为M,求MAB的面积.,【大题小做】,【解析】(1)由消去,得(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0,将x=cos,y=sin,代入得曲线C的极坐标方程为2-6cos-8sin=0,即-6cos-8sin=0.,(2)将代入(1)所得的极坐标方程,得1=4+3,2=8,所以|AB|=曲线C的中心M到弦AB的距离为d=所以SMAB=,类型二求最值或取值范围问题【典例4】(2018信阳二模)已知直线l的参数方程为(其中t为参数),曲线C1:2cos2+32sin2-3=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同长度单位.,(1)求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程.(2)在曲线C1上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最大?若存在,求出距离的最大值及点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.,【审题导引】(1)要求直线l的普通方程需要用加减消去参数t,要求曲线C1的直角坐标方程需要根据_,_进行转化.(2)要求点P到直线l的距离最大,需要借助曲线C1的_方程,转化为三角函数的最值问题.,x=cos,y=sin,参数,【解析】(1)直线l的普通方程为x-y+1=0,曲线C1的直角坐标方程为+y2=1.,(2)由(1)可知C1:(其中为参数),所以点P到直线l的距离d=所以dmax=此时cos=1,即+=2k(kZ),即=2k-(kZ),所以xP=cos=,yP=sin=-,即P(,-).故存在这样的点P(,-),使点P到直线l的距离最大且为.,【探究追问】1.若将例4直线l的方程改为“”,曲线C1的方程改为“2cos2+42sin2-4=0”,其他条件不变,试求点P到直线l的距离的最大值.,【解析】将曲线C1的极坐标方程2cos2+42sin2-4=0化为普通方程为+y2=1,化为参数方程为(为参数),直线l的普通方程为x+y+1=0.,设P到直线l的距离为d,d=所以P到直线l的距离的最大值为.,2.若将例4曲线C1的方程改为“2cos2+32sin2-9=0”,曲线C2的极坐标方程是=2cos,P,Q分别是曲线C1和C2上的任意点,求|PQ|的最小值.,【解析】曲线C1的直角坐标方程为=1,参数方程是(为参数),曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2中,因为=2cos,所以2=2cos,所以x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.,设C1上任意点P所以P到C2圆心(1,0)的距离所以|PQ|min=-1.,【名师点睛】1.巧解与三角形知识的综合问题(1)数形结合明确极径和极角的几何意义,并表示三角形的有关元素.(2)利用正弦、余弦定理找到变量,的关系.,2.三角换元求最值问题(1)适用情景涉及直线与圆、直线与椭圆位置关系的最值问题.,(2)两种方法三角换元转化为三角函数求最值问题转化为普通方程或直角坐标方程,利用直线与圆、椭圆的知识直接解答.,【考向精炼】1.(2018宜宾二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为sin=,(1)求曲线C1的极坐标方程.(2)设C1和C2的交点为A,B,求AOB的面积.,【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数)消去参数的C1的直角坐标方程为x2-4x+y2=0,所以C1的极坐标方程为=4cos.,(2)解方程组有4sin
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