2020版高考数学一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 文.ppt

第二节函数的单调性与最值,1.函数的单调性,2.函数的最值,教材研读,考点一确定函数的单调性（区间）,考点二函数单调性的应用,考点三函数的最值问题,考点突破,教材研读,1.函数的单调性(1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.,2.函数的最值,知识拓展1.单调性定义的等价形式设任意x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或0,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=的单调性相同.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()(2)若函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是1,+).()(3)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(4)所有的单调函数都有最值.(),(5)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.()(6)闭区间上的单调函数,其最值一般在区间端点处取到.(),答案(1)(2)(3)(4)(5)(6),2.函数y=f(x),x-4,3的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在-4,-1上是减函数,在-1,3上是增函数B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2C.f(x)在-4,1上有最小值-2,最大值3D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时,-14或x0时,函数f(x)在(-1,1)上递减;当a0时,函数f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:任取x1,x2(-1,1),且x1x2,f(x)=a=a.f(x1)-f(x2)=a-a=,由于-1x10.即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递增.,方法技巧1.求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法,先求定义域,再利用单调性定义求解.(3)图象法,如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法,利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,2.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.,1-1函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是()A.(-,0)B.C.0,+)D.,B,答案By=|x|(1-x)=函数的大致图象如图所示.由图易知原函数在上单调递增.故选B.,1-2判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1a3)在x1,2上的单调性.,解析当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.证明如下:任取x1,x21,2,且x1f(x1),故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.,函数单调性的应用命题方向一比较大小,典例3已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac,D,答案D,解析因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f=f.由当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ff(e),即f(2)ff(e),bac.,命题方向二解不等式典例4已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围为.,答案(-,-1)(3,+),解析函数f(x)为R上的增函数,且f(a2-a)f(a+3),a2-aa+3,即a2-2a-30,解得a3或a-1,即a的取值范围为(-,-1)(3,+).,探究若将本例中“R上的增函数”改为“(0,+)上的增函数”,则实数a的取值范围是什么?,解析由已知可得解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).,命题方向三根据函数的单调性求参数典例5(1)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1x2都有0成立,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.C.D.(2)函数y=在(-1,+)上单调递增,则a的取值范围是.,C,答案(1)C(2)(-,-3,解析(1)根据题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则解得a0,故0a1.,2-2已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)2,则实数x的取值范围是.,答案(-,-2)(2,),解析因为函数f(x)=lnx+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)2,得f(x2-4)f(1),所以0x2-41,解得-x-2或2x1,02,-1-1+1,即-11,函数y=的值域为(-1,1).(3)在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示,不难看出函数f(x)在x=2时取得最大值,为6.,方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.,3-1函数f(x)=的最大值是.,答案2,解析当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.,3-2已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为.,答案,