高三数学问题：2.5利用导数处理不等式相关问题含答案.doc

2017届高三数学跨越一本线精品问题五 利用导数处理不等式相关问题 在高中新课标中,导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.一、利用导数证明不等式利用导数研究函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下几种形式：直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间,自变量越大,函数值越大（小）,来证明不等式成立.有时先把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.【例1】【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】已知函数,其中（1）若曲线在点处的切线与直线平行,求的方程；（2）若,函数在上为增函数,求证：【分析】（1）求导数,利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程的斜率与相等,可求出,进而可求的方程；（2）由函数为增函数得对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,设,利用导数判断的单调性,得结果得证.【解析】（1）,或当时,所以的方程为当时,所以的方程为（2）由题意可得对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,设,则,在上递增,又,【点评】证明不等式f(x)g(x),可构造函数F(x)f(x)g(x),利用导数求F(x)的值域,得到F(x)f(x) (或mf(x)恒成立,于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值）,从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此,利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.【例2】【2017广西梧州高三上学期摸底联考】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时,关于的不等式恒成立；（3）若正实数满足,证明【分析】（1）求导函数,从而可确定函数的单调性；（2）构造函数,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化；（3）将代数式放缩,构造关于的一元二次不等式,解不等式即可【解析】（1）,由,得,又,所以,所以的单调减区间为,函数的增区间是,（2）令,所以因为,所以,令,得,所以当；当时,因此函数在是增函数,在是减函数,故函数的最大值为令,因为,又因为在是减函数,所以当时,即对于任意正数总有,所以关于的不等式恒成立；【点评】 利用导数来处理存在性问题和恒成立问题,常用的是变量分离的方法,此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方）；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；写出变量的取值范围【小试牛刀】已知函数（e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数,存在实数,使得成立,求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增,在上单调递减；（2）. 当时,在上单调递增,即.当时,在,在上单调递减,在,在上单调递增,所以,即由（1）知,在上单调递减,故,而,所以不等式无解.综上所述,存在,使得命题成立. 三、利用导数解不等式对于一些复杂的不等式求解问题,有的并没有现成的公式和规律可用,有时我们可根据题中条件联想构造出到相应的函数,根据函数的性质转化为处理函数的单调性或最值问题,我们都可以选择用导数作工具来研究函数问题.这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.【例3】【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】奇函数定义域为,其导函数是.当时,有,则关于的不等式的解集为（ ）A BC D【答案】D【点评】解决此类问题的关键是根据导数的运算法则,构造合适的函数,再利用已知条件确定函数单调性解不等式.【小试牛刀】【2016届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】已知定义在上的可导函数的导函数为（x）,满足,且为偶函数,则不等式的解集为（ ）A（-2,+） B（0+） C（1, ） D（4,+）【答案】B【解析】因为为偶函数,所以,因此令,则原不等式即为又,依题意,故,因此函数在上是减函数,所以由得【迁移运用】1.【2017山西临汾一中等五校高三第三联考】设函数,若不等式在上有解,则实数的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】,令,故当时,当时,故在上是减函数,在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C2.【2017河北省武邑中学高三上学期第三次调研考试】已知是定义在上的偶函数,其导函数为,若 ,且,则不等式的解集为（ ）A B C. D【答案】A【解析】可取特殊函数,故选A.3.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】已知是定义在区间上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则（ ）AB CD 【答案】B【解析】设函数,则,所以函数在为减函数,所以,即,所以,故选B【技巧点睛】对于已知不等式中既有又有,一般不能直接确定的正负,即不能确定的单调性,这时要求我们构造一个新函数,以便利用已知不等式判断其导数的的正负,常见的构造新函数有,等等4【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数：,取函数,若对任意的,恒有,则（ ）A的最大值为2 B的最小值为2 C. 的最大值为1 D的最小值为1【答案】D5. 【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C【解析】由题意,得,则若存在,使得,则,所以设,则,当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以当,函数取最大值,最大值为,所以,故选C6.【2017重庆八中高三上学期二调】函数的导函数为,对,都有成立,若,则不等式的解是（ ）ABCD【答案】A【解析】,都有成立,于是有,令,则有在上单调递增,不等式,故选：A7.【2017河北沧州一中高三11月月考】已知,直线与函数的图象在处相切,设.若在区间上,不等式恒成立,则实数（ ）A有最大值 B有最大值 C.有最小值 D有最小值【答案】A【解析】因,故切线的斜率,即；又当时,即切点,将其代入可得,故,则令,则在区间上恒大于零,故函数在上单调递增,所以,故,故应选A.8.【2017河北武邑中学高三四调】已知定义在上的奇函数满足,则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A9.【2017四川自贡普高一诊】设函数,其中,若有且只有一个整数使得,则的取值范围是（ ）A B C. D【答案】D【解析】设,则,单调递减；,单调递增,所以处取得最小值,所以,直线恒过定点且斜率为,所以,而,的取值范围10. 【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数的定义域为,为函数的导函数,当时,且,.则下列说法一定正确的是（ ）A BC. D【答案】B【解析】令,则.因为当时,即,所以,所以在上单调递增.又,所以,所以,故为奇函数,所以在上单调递增,所以.即,故选B.11【2016届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】已知函数,（a为常数且）,若在处取得极值,且,而上恒成立,则的取值范围（ ）A B C D【答案】B12【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知定义在实数集R的函数满足,且导函数,则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】令,不等式即为,即,而,所以不等式的解为,即,解得,所以原不等式的解集为,故选D13【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中考试】设函数,则使得成立的的取值范围为【答案】【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论函数为偶函数,且在时,即有函数在单调递增,等价为,即,平方得,14【2017湖北荆州高三上学期第一次质量检测】 已知函数,其中,若存在唯一的整数,使得, 则的取值范围是_.（为自然对数的底数）【答案】【解析】设,由题设存在唯一的整数使得在直线的下方.因,故当时, ,函数单调递减；当时, ,函数单调递增.所以当时,函数取最小值,而,且直线恒过点,故由题设须满足,即.故应填答案.15【2016届黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试】已知,若,使得成立,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,当时,取得最小值,；当时,取得最大值为,即实数a的取值范围是16【2016届河北省衡水中学高三二调】已知函数（）满足,且的导数,则不等式的解集为【答案】【解析】设根据题意可得函数在R上单调递减,然后根据可得,最后根据单调性可求出x的取值范围设,即函数F（x）在R上单调递减,而函数F（x）在R上单调递减,即,故答案为：17【2016届安徽省合肥市八中高三上学期第一次段考】若关于的不等式在（0,+）上恒成立,则实数的取值范围是【答案】18.【2017宁夏育才中学高三上学期第二次月】已知函数,其中（）若在区间上为增函数,求的取值范围；（）当时,证明：；（）当时,试判断方程是否有实数解,并说明理由【答案】（）；（）证明见解析；（）没有实数解【解析】函数定义域, （）因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,在上恒成立,则（）当时,令,得令,得,所以函数在单调递增令,得,所以函数在单调递减所以, 所以成立 （）由（）知, , 所以设所以令,得令,得,所以函数在单调递增,令,得,所以函数在单调递减；所以, 即所以 ,即所以,方程没有实数解19. 【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】记表示,中的最大值,如已知函数,（1）设,求函数在上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数,使得对恒成立？若存在,求的取值范围；若不存在,说明理由【答案】（1）个；（2）存在,.【解析】（1）设,令,得,递增；令,得,递减,即,设,结合与在上图象可知,这两个函数的图象在上有两个交点,即在上零点的个数为（2）假设存在实数,使得对恒成立,则对恒成立,即对恒成立,（i）设,令,得,递增；令,得,递减当,即时,故当时,对恒成立当,即时,在上递减,故当时,对恒成立（ii）若对恒成立,则,由（i）及（ii）得,故存在实数,使得对恒成立,且的取值范围为20【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】已知函数在点处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）设时,求证：；（3）已知,求证：【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）将代入切线方程得, ,化简得,解得： （2）由已知得在上恒成立,化简,即在上恒成立设, ,即, 在上单调递增,在上恒成立 （3）, ,由（）知有,整理得,当时,21【2016届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知函数为自然对数的底数（）求函数的最小值；（）若对任意的恒成立,求实数的值【答案】（）函数的最小值为（）【解析】（1）由题意,由得当时, ；当时,在单调递减,在单调递增即在处取得极小值,且为最小值,其最小值为（2）对任意的恒成立,即在上,由（1）,设,所以由得在区间上单调递增,在区间上单调递减,在处取得极大值因此的解为,22. 【北京市重点中学2015届高三8月开学测试】设函数,且. 曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在,使得,求的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是.【解析】（1）,2分由曲线在点处的切线的斜率为,得, 即,； 4分（2）由（1）可得, 令,得,而, 当时,在上,为增函数,令,即,解得. 当时,极小值,不合题意,无解, 当时,显然有,不等式恒成立,符合题意, 综上,的取值范围是. 23. 已知函数,函数的导函数,且,其中为自然对数的底数（）求的极值；（）若,使得不等式成立,试求实数的取值范围；（） 当时,对于,求证： 【答案】()当时,没有极值；当时,存在极大值,且当时,.().()见解析.() 函数的导函数,使得不等式成立,使得成立,令,则问题可转化为：对于,由于,当时,从而在上为减函数,()当时,令,则,且在上为增函数设的根为,则,即当时,在上为减函数；当时,在上为增函数