不等式.doc

【同步教育信息】一. 本周教学内容：不等式二. 重点、难点：教学重点：掌握一元二次不等式的解法，线性规划及基本不等式的应用。教学难点：数形结合思想以及分类讨论思想的运用。三. 基本知识结构：本章研究了一元二次不等式的解法，并借助二元一次不等式（组）的几何意义求解简单的线性规划问题，最后探索了基本不等式的证明过程，例举了基本不等式的简单应用. 不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型. 学习本章应注重数形结合，学会通过函数图象理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义. 在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力. 1、一元二次不等式的解法：先考查对应方程的根的判别式的符号，得到对应的一元二次方程的根，考查对应的二次函数的图象根据图象写出对应的一元二次不等式的解集。2、二元一次不等式表示平面区域 已知直线l：Ax+By+C0当B0时，Ax+By+C0表示直线l上方的平面区域；Ax+By+C0表示直线l下方的平面区域当B0表示直线l下方的平面区域；Ax+By+C0 Ax+By+C0表示直线l右侧的平面区域；Ax+By+C0表示直线l左侧的平面区域A0时，仿A0自行讨论。以上结论请自行证明。3、线性规划中的几个概念（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件。（2）函数z2x+y为目标函数。（3）满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解。（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。4、掌握比较大小的常用方法：基本结论：利用常见的基本不等式，直接比较两个代数式的大小。这里主要是利用：当a、bR+时，及其变形公式作差、作商、平方作差法，根据题目的特点，合理选用。这在证明题中要比较两个代数式的大小时经常使用。5、熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。如不满足条件时求最值可以结合函数的单调性来解决。如求函数（x1）的最小值。6、不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。7、把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小。【典型例题】【例1】解不等式：x2（a+a2）x+a30。解题思路分析：因x2（a2+a）x+a3（xa）（xa2），不等式解的一般形式为两根a与a2之间，下面比较a与a2大小。aa2a（1a）当a0或a1时，aa2，原不等式为x20，或（x1）20，不等式无解当0a0，aa2， 不等式解为a2x1或a0时，a（1a）0，aa2，不等式解为ax1，或a0时，不等式的解为axa2 当0a1时，不等式的解为a2x0。解题思路分析：首先对二次项系数a讨论，以确定不等式的类型：当a0时，原不等式为4x+40，x1。当a0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式1616a16（1a）及二次项系数a的符号这两个因素，也就是讨论的标准为a与1与0的大小比较。当a1时，不等式可化为 ，不等式的解为R当0a0，解的形式为两根之外，求得方程两根为，不等式的解为，或。当a0，解的形式为两根之间，不等式的解为，注意此时两根大小已改变。当a1时，原不等式可化为x2+4x+40，（x+2）20 x2解：当a0时，4x+40，x1，为原不等式的解当0a1时，原不等式可化为x2+不等式的解为R 当a0，x2，原不等式解为xR，且x2注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式的符号，两根的大小关系。在判别式0时，应注意区别不等式的解是R或。关于不等式解的一般形式是两根之间还是两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号，方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。【例3】某商场计划出售A、B两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到有关数据如下表：（商品单位：件）资金（百元）A商品B商品日资金供应量单位进价30203000单位工资支出5101100单位利润68问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？分析：这是一个典型的线性规划问题解法一：设供应A商品x件，B商品y件由题意有要求目标函数z6x+8y的最大值。约束条件可化为 令设6x+8yA+B（3x+2y）+（x+2y） 6x+8yA+3B960当 即时6x+8y的最大值为960每月供应A商品40件，B商品90件时，商场可获最大利润为96000元。解法二：约束条件为可行域为如图阴影部分（四边形OACB内部）目标函数z6x+8y表示一组斜率为的平行直线，其在y轴上的截距为，当直线z6x+8y经过点C（即3x+2y300，x+2y220的交点）时直线在y轴上的截距为最大，此时x40，y90，z960（下略）回顾：解法二更直观、方便，但对直线作图要求较高，要熟练掌握直线的斜率、倾斜角在坐标轴上的截距等问题。若将单位工资支出的月资金供应量调整为1150（百元）（这时点C坐标为（35，92.5）问题的解又如何？【例4】设a，bR，求证：a2+b2ab+a+b1。解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。作差a2+b2abab+1a2（b+1）a+b2b+1 0思路二：注意到不等式两边式子a2+b2与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。因a2+b22ab，a2+12a， b2+12b三式同向相加得：a2+b2ab+a+b1思路三：在思路一中，作差后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记fA. a2（b+1）a+b2b+1因二次项系数为正，（b+1）24（b2b+1）3（b1）20 fA. 0【例5】某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？解题思路分析：解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 实际用电量（实际电价成本价）。其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x，则新增用电量”，“电力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益，去年收益（0.80.3）a，（0.80.3）a（1+20%）”。令 k0.2a，解不等式：（0.80.3）（120%）a即x21.1x+0.30得：x0.6，或x0.5又0.55x0.75x0.6解：设实际电价为x（元），则用电量增至，去年收益为（0.80.3）a，今年收益为当k0.2a时，由已知得：化简得： x21.1x+0.30 x0.6，或x0.5又0.55x0.750.6x0.75当实际用电价最低定为每千瓦时0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。【模拟试题】本试卷分第I卷和第II卷两部分。满分100分，考试时间100分钟。第 I 卷一、选择题（每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卡上.）1、命题“若，则a，b，c成等比数列”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 32、在等差数列中，若，则的值为（ ）A. 9 B. 12C. 16 D. 173、一元二次不等式的解集是，则的值是 （ ）A. B. C. D. 4、已知等差数列的公差为，若成等比数列， 则 （ ）A. B. C. D. 5、下列各函数中，最小值为的是 （ ）A. B. ，C. D. 6、不等式（x2）（x+1） 0 的一个必要不充分条件是 （ ） A. x0 B. 1x2 D. x0且前n项之和为Sn，若S7S13，则n为何值时，Sn为最大？19、（本小题满分10分）：解关于的不等式20、（本小题满分12分）：已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由。21、（本小题满分12分）：直线l：ax+y+20平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围。【试题答案】一、选择题：（每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卡上。）题号123456789101112答案CCDBDABCCDCA二、填空题：（每小题3分，共12分）13、 14、16 15、 16、60三、解答题：17、由正弦定理将化为2可化为sin2Asin2B4AB或A+B。6故ABC为等腰三角形或直角三角形。818、解：方法一：设公差为d，若d0，则ana1+（n1）d0 ，这时Sn关于n单调递增，与S7S13矛盾，故d0知a100.a110.与a10+a110矛盾，6d0，a110， 8S10最大，即n10时，Sn取最大值。 10 19、解：4 0a0即x21时，x1x20，即x1x2原不等式化为： 10点评：在0a1时，原不等式两边除以a1时要变号，这是最易出错的问题，你注意了吗？20、解：（）由题设234（）若5当 故6若7当8故对于21、解：设A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M（x0，y0）则： 1得2即M（X0，y0）在直线9x16y0上。由 得C，D4点M的轨迹方程为9x16y0（x）6kPD8由图知，当动直线l的斜率k时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而ka10a的取值范围为：12【励志故事】离职A对B说：“我要离开这个公司。我恨这个公司！”B建议道：“我举双手赞成你报复！破公司一定要给它点颜色看看。不过你现在离开，还不是最好的时机。” A问：？ B说：“如果你现在走，公司的损失并不大。你应该趁着在公司的机会，拼命去为