安徽省马鞍山市2018届高三数学第一次（期末考试）教学质量检测试题 文（含解析）.doc

2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测高三文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：，则该复数在复平面内对应的点位于第三象限.本题选择C选项.2. 若全集，集合，则为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】求解二次不等式可得：或，则，结合交集的定义有：.本题选择B选项.3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的平均数为：，结合题意可知：甲组的平均数为33，即，则甲组数据的平均数为：.本题选择B选项.4. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为( )A. 0 B. 2 C. 0或1 D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D.5. 设，其中变量满足，若的最大值为6，则的最小值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最大为.即,经过点时, 直线的截距最小,此时最小.由,得,即,因为直线过,.由,解得,即.此时最小值为,故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.6. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是( )A. 与是异面直线B. 平面C. 平面D. 与为异面直线，且【答案】D【解析】与均在平面内，两直线不是异面直线，说法A错误；底面三角形是正三角形，则ABC是正三角形，CAB=60，据此可知平面不成立，说法B误；，而平面不成立，据此可知平面不成立，说法C错误；ABC是正三角形，则AEBC，又AECC1，据此可得平面，则与为异面直线，且，说法D正确；本题选择D选项.7. 九章算术是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。在其第七章中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。问这两种植物在何时高度相同？在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在( )A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天【答案】B【解析】由题意可得：蒲发芽的第一天长高3尺，第二天长高尺，第三天长高尺；莞发芽的第一天长高1尺，第二天长高尺，第三天长高尺；综上可得：蒲和莞高度相同的时刻在第三天.本题选择B选项.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A. 115 B. 116 C. 357 D. 358【答案】D【解析】结合题意，程序运行如下：首先初始化，第一次循环，此时不满足，执行；第二次循环，此时不满足，执行；第三次循环，此时不满足，执行；第四次循环，此时不满足，执行；第五次循环，此时满足，跳出循环，输出.本题选择D选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节9. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数有意义，则：，由函数的解析式可得：，则选项BD错误；且，则选项C错误；本题选择A选项.10. 已知函数，则( )A. 44 B. 45 C. 1009 D. 2018【答案】A【解析】原问题等价于求解：中有理数的个数，结合可得：有理数的个数为个，即：.本题选择A选项.11. 在中，若，则周长的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，即：.据此可得ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则：，据此有：，ABC的周长：，三角形满足两边之和大于第三边，则：，综上可得：周长的取值范围是.本题选择C选项.12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，令，由题意可得：，据此可得：，则：，则：，由可得：，结合二次函数的性质可得：，则：，即的取值范围是.本题选择D选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则_.【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，则：，则：.14. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，则的单调递减区间为_.【答案】【解析】函数的解析式：，则：，据此可得，函数的单调递减区间满足：，计算可得，函数的单调递减区间为.15. 数列的前项和为，若，则数列的前项和为_.【答案】【解析】当时，由题意可得：，两式作差可得：据此可得，数列是首项为，公比为的等比数列，则，错位相减可得其前n项和，分组求和可得数列的前项和为.点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和16. 已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则四棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，底面积最大时，ABCD为正方形，此时底面积，高有最大值，首先要保证平面平面，由可知，点在平面内的轨迹是以中点为圆心，长度为直径的圆，则高的最大值为：，综上可得：体积的最大值为：.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角所对的边是，.(1)求的值；(2)求边上的高.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由，结合同角三角函数基本关系可得可得.(2)由(1)知，结合数量积的定义可得，又，故，由余弦定理可得，利用面积相等可得边上的高为.试题解析：(1)在中，由，可得.(2)由(1)知，由，又，解得：，由，可得，设边上的高为，则，所以边上的高为.18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，是上的动点.(1)求证：平面平面；(2)求四棱锥的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可知四边形是菱形，由线面垂直的性质可得，故平面，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面.(2)过作交于，连接，由几何关系可得，且有，而，结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为.试题解析：(1)在平行四边形中，四边形是菱形，平面，平面，又，平面，平面，平面 平面.(2)平面，过作交于，连接，平面，又，四棱锥的侧面积为.19. 某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力为视力正常，为视力低下，其中为轻度，为中度，为重度.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.(1)求该校高一年级轻度近视患病率；(2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？【答案】(1)；(2)135人；(3).【解析】试题分析：(1)由柱状图计算可得该校高一年级学生轻度近视患病率为.(2)由已知计算可得：该校高一年级需通知的家长人数约为人.(3)记6名学生中视力正常的学生为，视力低下的学生为，列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得恰有1人视力正常的概率是.试题解析：(1)由柱状图可得：，即该校高一年级学生轻度近视患病率为.(2)由已知可得：(人)即该校高一年级需通知的家长人数约为135人.(3)记6名学生中视力正常的学生为，视力低下的学生为，则从中任选2人所有可能为：，.即从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率为.20. 已知抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是抛物线上的动点，若以点为圆心的圆在轴上截得的弦长均为4，求证：圆恒过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得抛物线的焦点坐标为，利用点到直线距离公式得到关于实数p的方程，解方程可得抛物线的标准方程是.(2)设圆心的坐标为，半径为，由题意结合勾股定理有，则圆的标准方程整理变形可得，该方程对于任意的均成立，则据此可得圆过一定点为.试题解析：(1)由题意，焦点坐标为，由点到直线的距离公式，得，所以抛物线的标准方程是.(2)设圆心的坐标为，半径为，圆在轴上截得的弦长为，所以，圆的标准方程：，化简得：，对于任意的，方程均成立，故有：解得：，所以，圆过一定点为.点睛：求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点21. 已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若函数恒成立，试确定的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式有，结合二次函数的性质分类讨论：当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)可知，满足题意时需，即，结合题意构造函数在，结合函数的性质可得的取值范围是.试题解析：(1)由，得：，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，令，则，得，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即需，即，又由得，代入上面的不等式得，由函数在上单调递增，所以，所以的取值范围是.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，由题意可得，进而可得，两边同乘以，利用 即可得点的