毕业设计（论文）-实数完备性理论中柯西收敛准则的应用.doc

实数完备性理论中柯西收敛准则的应用数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业2014届摘 要：本文用不同的形式给出了实数完备性的定义、定理，重点介绍了柯西收敛准则的证题方法和思路，并以此证明了与之等价的聚点定理、有限覆盖定理、区间套定理、单调有界定理、确界定理和戴德金分划基本定理，以及闭区间上连续函数的性质.从而加深了对柯西收敛准则的理解，掌握了柯西收敛准则证题的规律.关键词：柯西收敛准则；聚点定理；有限覆盖定理；区间套定理；戴德金分划基本定理中图分类号：O171The Application of the Cauchy Convergence Criterion in theTheory of Real Number CompletenessAbstract: This paper introduces the definitions and the theorems of real number completeness, and the proof ways and thinking of Cauchy convergence criterion, and proves the convergence point theorem, finite covering theorem, nest of intervals theorem, monotone and roundedness theorem, suppress and indium theorem and Dedekind partition theorem; and also proves properties of continuous function in a closed interval. Thus the study deepens the understanding of the Cauchy convergence principle and masters its evidence laws. Keywords: Cauchy convergence criterion; convergence point theorem; theorem of finite covering; nest of intervals theorem; Dedekind partition theorem 目 录1 引言12 利用柯西收敛准则证题的方法及其等价命题的证明1 2.1 寻找一个具有某种性质的点（数）2 2.2 证明上具有某种整体性质83 柯西收敛准则的其它应用10结束语13参考文献14致谢14实数完备性理论中柯西收敛准则的应用1 引言极限理论的问题首先是极限存在问题. 一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关. 如果在有理数集上讨论极限问题，那么单调有界的有理数列就有可能没有极限，如单调数列的极限，通过计算可知它的极限为无理数. 而在实数集上，单调有界的有理数集就一定有极限，其根源在于实数的完备性.对于实数完备性的最早研究可以追溯到毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的破灭. 文艺复兴以后，为解决瞬间变化率切线、函数极值等问题，牛顿和莱布尼茨分别发明了“流数术”和“微积分”，但由于他们使用无限小的随意，出现了逻辑混乱，直到19世纪末，戴德金和康托几乎同时提出了实数理论，至此数学上严格的实数理论才得以建立.证明实数完备性的方法多种多样，这些描述通常称为实数完备性定理，柯西收敛准则就是其中一个定理，运用它可以证明很多有关实数完备性的其它定理. 但大多数教材并未利用柯西收敛准则证明实数完备性的其它定理，本文将以柯西收敛准则为出发点，利用它的证明思想和方法来证明其它六个等价定理. 那么什么是柯西收敛准则和实数完备性定理呢? 为此我们首先引入柯西数列的概念和柯西收敛准则.2 利用柯西收敛准则证题的方法及其等价命题的证明柯西收敛准则描述的是局部的性质，下面我们利用文献2中所介绍的柯西收敛准则证明命题的方法和思路来证明实数完备性理论中其它一些等价命题，以体现柯西收敛准则的主要应用. 由于部分命题的证明来自于教材，为了保持本文的简洁性，本文只给出了出处，有意者请查阅教材. 柯西数列的概念和柯西收敛准则.定义2.11 如果数列满足条件：对任给的，总存在某一个正整数，使得当时，有成立. 则称数列为柯西数列.柯西数列反映了这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数. 或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起. 另外，柯西数列把定义中与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛（发散）性. 定理2.11（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是数列为柯西数列.柯西收敛准则表明实数列必存在实数极限，这一性质集中体现了实数系完备性.，而是无理数. 从而说明Cauchy收敛准则在有理数集中不成立.我们再介绍一下实数的阿基米德性质：对任意两个实数、，若，则存在正整数，使得. 在后面的证明中会用到. 2.1 寻找一个具有某种性质的点（数）步骤： 设想所求点是极限点，由性质构造数列； 证明数列是柯西数列； 由柯西收敛准则，得到； 证明具有性质. 下面我们就以与柯西收敛准则等价的几个定理的证明来说明这种证题方法. 定义2.21 设是中的一个数集. 若数满足： 对一切，有，即是的上界； 对任何，存在，使得，即又是的最小上界，则称数为数集的上确界. 记作 .定义2.31 设是中的一个数集. 若数满足：对一切，有，即是的下界； 对任何，存在，使得，即又是的最大下界，则称数为数集的下确界. 记作 .上确界与下确界统称为确界.注1：由上（下）确界的定义可见，若数集存在上（下）确界，则一定是唯一的. 又若数集存在上、下确界，则有.注2：数集的确界可能属于，也可能不属于.关于数集确界的存在性，我们给出如下确界定理.定理2.21（确界定理）设为非空数集. 若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.如果是非空有上（下）界的有理数数集，则在有理数数域内不一定存在上（下）确界. 例如设=，显然既有上界，又有下界，但在有理数域内没有上（下）确界，这正是有理数域的不完备性，同时，确界定理也说明了实数域的完备性.证明 设为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得.分别取，则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得.(1)又对正整数，是的上界，故有.结合(1)式得；同理有.从而得.于是，对任给的，存在,使得当,时有 .由柯西收敛准则，数列收敛. 记.(2)现在证明就是的上确界. 首先，对任何和正整数有，由（2）式得，即是的一个上界. 其次，对任何，由及（2）式，对充分大的同时有，.又因不是的上界，故存在，使得. 结合上式得 =.这说明为的上确界.同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界.定理2.32（单调有界定理）单调有界数列必有极限.单调有界定理是数列收敛的充分条件，即只有数列同时满足单调和有界这两个条件，才收敛，若只满足其中一个条件，则不一定收敛. 反之，若收敛，则必有界（收敛数列必有界），但不一定单调，如数列收敛而不单调. 同样单调有界定理在有理数域内是不一定成立的. 如是由有理数构成的单调有界数列，而是无理数.证明 不妨设数列单调递增且有上界，我们证明是柯西数列. 用反证法，若不是柯西数列，则必存在某正数，对任何正整数，必存在某正整数，使得.现依次取，则有，使.取，则有，使.取，则有，使.把上述各不等式两边分别相加，得到.故 .由实数的阿基米德性质，当充分大时，可以大于任何正数，因而可以大于任何正数，但这与数列有上界的条件相矛盾. 这就证得是柯西数列，由柯西收敛准则，数列必有极限.定义2.42 设是直线上的点集，是一个定点（它可以属于，也可以不属于）.如果的任意空心邻域内总有的无限多个点，则称为数集的一个聚点.定义2.4有下面的等价定义.定义2.52 设是一数集，为某一常数(它可属于，也可不属于). 如果的任意空心邻域内总有中的数，则称为数集的一个聚点.注意：这里的任意空心邻域内总有中的数，意味着在的任何空心邻域内含有的无穷多点. 定理2.44（聚点定理）直线上的有界无限点集至少有一个聚点.证明 我们首先证明任一有界无限点列，对于任给，至少存在一点，使是无限点集.假若不然，则存在，对于任意，都使是有限点集. 这时，我们任取，则一定存在，使，. 因为 和都是有限点集，所以，一定存在，使 ， ， . 仿此继续进行，我们就可构成的一个子序列，使得对于任意的正整数，当时，就有. 这样一来 .由实数的阿基米德性质，当充分大时，可以大于任何正数. 这就与有界相矛盾. 这一矛盾说明我们希望证明的结论成立.其次，我们证明有界无限点集至少有一个聚点.我们在中任意选取可数个互不相同的点构成一个序列. 取，则一定存在一个，使=是无限点集. 取，则一定存在一个，使=是无限点集. 仿此继续进行下去，得到一序列. 因为当时， 故是Cauchy数列. 由Cauchy收敛准则，有，就是的一个聚点.定义2.62 如果闭区间列满足下列条件： ,; .则称此闭区间列为闭区间套，简称为区间套.定理2.55 (区间套定理) 如果是一个区间套，则存在惟一一个数属于所有闭区间.区间套定理由一个闭区间套来确定惟一的点，其核心思想是把整体的性质收缩到局部某点的邻域. 当把区间套定理中的无限闭区间序列换成开区间序列或者 无限闭区间的序列时，所有区间的公共点就不能保证一定存在，如数列就找不到满足条件要求的. 利用（是无理数）的不足近似值序列和过剩序列可以验证有理数集不满足闭区间定理.证明 不妨设是一列闭区间，满足如下两个条件：.设，则，所以数列是一基本数列. 从而由柯西收敛准则得：. 由于数列单调增加，数列单调减少，可知是属于所有闭区间的惟一实数，从而区间套定理得证. 下面证明闭区间套的公共点是惟一的.若也属于所有的闭区间，则，当时，这与条件矛盾，即区间套的公共点是惟一的.定义2.72 将实数域分拆成两个非空集合和，如果它们能满足条件：每一个实数必落在集合和集合中的一个且仅有一个之内；集合的每一个数小于集合中的每一个数，则把这样的分拆称为实数域的戴德金分划. 集合叫做分划的下组，集合叫做分划的上组，分划记为.用数学语言说，就是把实数分成两个非空集合,. 如果中每一个数都比中每个数小，这一对集合就叫做实数的一个分划. 叫做分划的下集，叫做分划的上集. 实数的分划确定了上下集之间的位置.定理2.66（戴德金分划基本定理）对于实数域的任一戴德金分划必产生这一分划的实数，这实数或是下组中的最大数，或是上组中的最小数. 实数称为分划的界数.戴德金分划基本定理告诉我们，对于实数域的分划只能产生实数，不像对有理数域的分划产生新的非有理数那样(有理数,之间一定存在一个无理数，如)，会产生实数之外的任何数，这正刻画了实数域的完备性.证明 设是实数域的一个分划，因为和非空，故存在实数.若，取；否则取；若，取；否则取；如此下去，得到两个数列和，具有性质：单调递增，单调递减，,；.由于，对于,使时,. 于是，当时，根据柯西收敛准则得收敛，同理可证收敛.又，所以.设，若，则是的最大数. 事实上，如果不是的最大数，则存在，由于，取，则，从而对于一切正整数都有.即对于任意，都有，这与矛盾. 所以为的最大数.同理可证，若，则，那么是的最小数.因为以后将把看作是实数集，所以本定理是说：实数集无空隙，或更通俗地说：如果将实数集看作一条直线，并用一把没有厚度的理想的刀来砍它，那么不论砍在哪里，总要碰着直线上的一点. 戴德金称实数的这个性质为连续性，但有的书也称它为实数的连通性. 2.2 证明上具有某种整体性质步骤：在上选取一数列，使具有与性质相反的性质； 证明是柯西数列； 由柯西收敛准则，得到； 证明在附近产生矛盾.定义2.82 设为直线上的点集，是一开区间集（即的每个元素都是形如的开区间). 若中的任何一点都包含在中至少一个开区间内，则称为点集的一个开覆盖，或说覆盖. 若中的开区间的个数是无限的，则称为的一个无限开覆盖. 若中的开区间的个数是有限的，则称为的一个有限覆盖.定理2.72（有限覆盖定理）设为闭区间的一个开覆盖，则在中必存在有限个开区间，它们构成上的一个开覆盖.有限覆盖定理又叫海涅-伯雷尔（Heine-Borel）定理. 它把某点邻域中“局部”性质扩充到整个区间上，它的重要作用在于把有限转化为无限，从而具有重大的理论价值. 对闭区间成立的有限覆盖定理，在开区间和半开半闭区间中是不成立的. 如开区间集合是开区间的一个开覆盖，但从中不能取出的有限子覆盖. 由此可见，有限覆盖定理反映了闭区间的一种特性：紧性，故有时称有限覆盖定理为紧性定理.证明 假如不能被中的有限个开区间覆盖. 则一定存在一点，使不能被中的有限个开区间覆盖；否则的话，就被中有限个开区间覆盖了. 同理，又一定存在一点，使不能被中的有限个开区间覆盖.如此继续进行下去，得到一个数列，使不能被中的有限个开区间覆盖.因为，所以是柯西数列. 由柯西收敛准则，存在.显然，. 存在开区间，使. 又有，一定存在一点，使,这就与不能被中的有限个开区间覆盖产生矛盾. 从而定理得证.3 柯西收敛准则的其它应用 柯西收敛准则除了能推证实数完备性外，也能推证一些非常有用的推论，同时也能证明一些闭区间上的连续函数的性质，其证明方法和思路同上. 定理3.17（闭区间上连续函数的有界性）若为上的连续函数，则在上有界.证明（反证法）假设在上无界，记. 将二等分为二个子空间，其中至少有一个子区间，使得在该子区间上无界. 将该区间的2个端点记为满足：（1） ；（2） ；（3） 在区间上无界.再将二等分，同样在所得的二个子区间中至少有一个子区间，使得在该子区间上无界，并将该区间的2个端点记为满足：(1) ；(2) ；(3) 在区间上无界； .如此一直进行下去，可以得到一数列，满足：；在区间上无界.下证满足柯西条件.由及得，对，,当时，.因此，对,取,当时，由得，从而，即满足柯西条件.由柯西收敛准则，存在极限并记为，即. 显然，且对，当时，有.由在任意区间上无界，所以在上无界.但在点连续，故的邻域，使得在有界. 这就相矛盾了，所以假设不成立，从而在上有界.定理3.28（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.证明 由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时，有.考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在的一个有限子集，覆盖了. 记,对任何，必属于中某个开区间，设, 即，此时有.故有，同时有和. 由此得，所以在上一致连续. 定理3.33（介值定理）若函数在闭区间上连续，且是介于与之间的任何数，则在内至少存在一点，使得. 证明 假设有 设，显然和非空（因为, , 所以）且. 将区间二等分，若，则记左半个区间为；若，则记右半个区间为.总之有, 如此继续下去，得到数列, 满足： ； ； .取数列，则数列满足柯西条件，即对，存在正整数，当时，.事实上，当为数列中的项时，由于该数列有上界，从而有上确界为，对于，存在正整数，有. 当时，根据数列的递增性，有.同理可得,为数列中的项的情况.当,一个为数列中的项，一个为数列中的项时，由（2）得：对存在正整数，当时，有. 当时，有.由柯西收敛准则得数列收敛, 设.由于在上的连续，所以数列收敛于或. 不妨设，根据数列极限的保号性，存在正整数, 当时，即.然而当时，有, 这与矛盾. 从而假设不成立，因而，使.结束语 实数域的完备性是人类经过漫长的历史发展过程逐步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此而建立了极限理论，微积分等许多重要的数学成果.关于实数的完备性，几位数学家从不同角度，用不同的方法给予了描述，连续性是实数集的许多重要特性之一.由于有理数集扩充到实数集的方法很多，故对实数连续性的叙述也多种多样，但彼此等价，因此可用等价命题互相代替.在本文中主要以柯西收敛准则为基础，证明实数完备性的其它等价命题，并给出它们的应用及有关的评价.用柯西收敛准则来证明其余的等价性命题成立，能让读者更好地掌握一种证明方法，有效地证明某些具有特殊性的点的存在性，这为讨论某些特殊点的存在性提供了重要方法，同时这种方法也广泛地运用在科学研究和日常生活中，从而为以后进一步学习分析学奠定了良好的基础.参 考 文 献1华东师范大学数学系.