（通用版）2019版高考数学二轮复习 第一部分 专题六 三角恒等变换与解三角形讲义 理（重点生含解析）.doc

专题六 角恒等变换与解三角形卷卷卷2018正、余弦定理的应用T17二倍角公式及余弦定理的应用T6二倍角公式T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式T15三角形的面积公式及余弦定理T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式T17余弦定理、三角形的面积公式T172016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式T5正弦定理的应用、诱导公式T13利用正、余弦定理解三角形T8纵向把握趋势卷3年3考且均出现在解答题中的第17题，涉及正、余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正、余弦公式，难度适中预计2019年会以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换，难度适中卷3年5考，既有选择题、填空题，也有解答题，涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，难度适中预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用卷3年5考，既有选择题，也有解答题，难度适中涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面积公式等预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理在解三角形中的应用横向把握重点1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第49或第1315题位置上3.若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.三角恒等变换题组全练1(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A.B.C D解析：选Bsin ，cos 212sin2122.故选B.2(2016全国卷)若cos，则sin 2()A. B.C D解析：选D因为cos，所以sin 2cos2cos21.3已知sincos ，则cos()A B.C D.解析：选D由sincos ，得sin cos cos sin cos sin，所以cos12sin21.4已知sin ，且sin()cos ，则tan()()A2 B2C D.解析：选Asin ，且，cos ，tan .sin()sin cos cos sin sin cos cos ，tan ，tan()2.5已知A，B均为钝角，sin2cos，且sin B，则AB()A. B.C. D.解析：选C因为sin2cos，所以cos Asin A，即sin A，解得sin A.因为A为钝角，所以cos A.由sin B，且B为钝角，可得cos B.所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B都为钝角，即A，B，所以AB(，2)，故AB，选C.系统方法1化简求值的方法与思路(1)方法：采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一；通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值；(2)基本思路：找差异，化同名(同角)，化简求值2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角；(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示；(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小正弦定理、余弦定理的应用多维例析角度一利用正、余弦定理进行边、角计算(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B.C. D.(2)(2018长春质检)已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c,2asin Bb，b2，c3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD_.解析(1)Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.(2)由正弦定理可得，2sin Asin Bsin B，可得sin A，因为0A1)m，ACt(t0)m，依题意得ABAC0.5(t0.5)(m)在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos 60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得tx12(x1)因为x1，所以tx122当且仅当x1时取等号，故AC最短为(2)m，应选D.答案(1)C(2)D类题通法1解三角形实际应用问题的解题步骤2解三角形实际应用问题的注意事项(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确作出这些角；(2)要注意将平面几何的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)要注意题目中的隐含条件及解的实际意义应用通关1某位居民站在离地面20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20mB20(1)mC10()mD20()m解析：选B如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DEAE20 m，CE20 m，所以CD20(1)m.2.(2018河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60方向上，则C与D的距离为()A20海里 B8海里C23海里 D24海里解析：选B在ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60方向上，所以B180756045，由正弦定理，可得AD24海里在ACD中，AD24海里，AC8海里，CAD30，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8)22248192.所以CD8海里3如图，游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则sinBAC等于_解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB1 040 m，BC500 m，所以，解得AC1 260 m.在ABC中，由余弦定理得，cosBAC，所以sinBAC .答案：重难增分与平面几何有关的解三角形综合问题 考法全析一、曾经这样考1(2015全国卷)与平面四边形有关的边长范围问题在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_学解题法一：分割法(学生用书不提供解题过程)易知ADC135.如图，连接BD，设BDC，ADB，则135.在ABD和BCD中，由正弦定理得，则AB，由得30105，所以2.则AB.法二：极限法(学生用书提供解题过程)如图，动态地审视平面四边形ABCD，边BC2固定，BC75固定，延长BA，CD交于点P.虽然BAD75，但AB边并不固定，平行移动AD边，则容易看出BQABBP.在BCQ中，易求得BQ；在BCP中，易求得BP，则AB的取值范围是(，)答案：(，)启思维本题考查转化与化归思想，将四边形问题转化为解三角形问题是解决该题的关键可利用正弦定理建立函数关系式求解，也可利用数形结合思想，作出图形，分析图形的特点找出解题思路二、还可能这样考2与三角形的中线、角平分线相关的问题在ABC中，AB3AC，BAC的平分线交BC于D，且ADmAC，则实数m的取值范围是_解析：法一：设ACx，则AB3x.由三角形内角平分线的性质可知，BDBC，CDBC.在ABD中，由余弦定理可得29x2m2x223mx2cos.在ACD中，由余弦定理可得2x2m2x22mx2cos.由两式消去BC并化简得cos.因为0，所以cos(0,1)，所以00)，则BD2x.在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5，由余弦定理得cosADC.因为CDBADC，所以cosADCcosCDB，即，解得x5，所以AD的长为5.答案：52.如图，在直角梯形ABDE中，已知ABDEDB90，C是BD上一点，AB3，ACB15，ECD60，EAC45，则线段DE的长为_解析：易知ACE105，AEC30，在RtABC中，AC，在AEC中，CE，在RtCED中，DECEsin 606.答案：63.(2018四川成都模拟)如图，在ABC中，AB4，BC2，ABCD，若ADC是锐角三角形，则DADC的取值范围为_解析：设ACD，则CAD，根据条件及余弦定理计算得AC2.在ACD中，由正弦定理得4，AD4sin ，CD4sin，DADC44444sin.ACD是锐角三角形，和均为锐角，sin.DADC4sin.答案：(6,4 高考大题通法点拨三角函数问题重在“变”变角、变式思维流程策略指导 1常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用如：()()，2()()，2()()，2，.2常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的问题，常做换元处理，如令tsin xcos x，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等已知函数f (x)4tan xsincos.(1)求f (x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x)在区间上的单调性破题思路第(1)问求什么想什么求f (x)的定义域与最小正周期，想到建立关于x的不等式以及化函数f (x)的解析式为f (x)Asin(x)或f (x)Acos(x)的形式给什么用什么题干中给出的解析式中既有正切函数也有正弦、余弦函数，利用同角三角函数关系式、诱导公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，再分别利用各种三角函数的定义域即可求出函数f (x)的定义域，利用周期公式可求周期第(2)问求什么想什么讨论f (x)在区间上的单调性，想到正弦函数ysin x的单调性给什么用什么第(1)问中已经将函数f (x)化为f (x)Asin(x)的形式，用整体代换求单调区间，并与区间求交集规范解答(1)f (x)的定义域为.f (x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.所以f (x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ. 由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，B，kZ，易知AB.所以当x时，f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减关键点拨解答此类问题的关键在于“变”，其思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍，幂升一次，角减半”ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长破题思路第(1)问求什么想什么求角C，想到求C的某一个三角函数值给什么用什么题目条件中给出关系式2cos C(acos Bbcos A)c.用正弦定理或余弦定理统一角或边，可求角C的一个三角函数值，进而求出C的值第(2)问求什么想什么求ABC的周长，想到求ABC各边的长或直接求abc的值给什么用什么已知c，ABC的面积为，用SABCabsin C可建立ab的关系式差什么找什么求周长，还需ab的值通过以上步骤可知ABC中C，c及ab的值，利用余弦定理即可求出ab的值规范解答(1)法一：由2cos C(acos Bbcos A)c，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C.因为ABC，A，B，C(0，)，所以sin(AB)sin C0，所以2cos C1，cos C.因为C(0，)，所以C.法二：由2cos C(acos Bbcos A)c，得2cos Cc，整理得2cos C1，即cos C.因为C(0，)，所以C.(2)因为Sabsin Cab，所以ab6，由余弦定理，c2a2b22abcos C，得7a2b22ab，即(ab)23ab7，所以(ab)2187，即ab5，所以ABC的周长为abc5.关键点拨利用正、余弦定理求解问题的策略角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，进而求解边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，进而求解对点训练1(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.2已知函数f (x)sin xcos xsin2x1(0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的值及函数f (x)的单调递减区间；(2)已知a，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，且满足a，f (A)1，求ABC面积S的最大值解：(1)f (x)sin 2x1sin.因为函数f (x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，所以T，即，所以1.所以f (x)sin.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数f (x)的单调递减区间为(kZ)(2)由f (A)1，得sin.因为2A，所以2A，得A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，即()2b2c22bccos ，所以bc3b2c22bc，解得bc3，当且仅当bc时等号成立所以SABCbcsin A3，所以ABC面积S的最大值为.总结升华 高考试题中的三角函数解答题相对比较传统，难度较低，大家在复习时，应“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是解答此类题的关键在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质， 仔细审题，快速运算专题跟踪检测(对应配套卷P177)一、全练保分考法保大分1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，c2，cos A，则b()A.B.C2 D3解析：选D由余弦定理得522b222bcos A，cos A，3b28b30，b3.2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a6，b4，C120，则sin B()A.B.C. D解析：选B在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C76，所以c.由正弦定理得，所以sin B.3已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为()A. B1C. D2解析：选Ca2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A.A为ABC的内角，A60，SABCbcsin A4.4(2019届高三洛阳第一次统考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A. B.C. D.解析：选B由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得cos A，因为A为ABC的内角，所以A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2Bsin Asin Csin C，由正弦定理得，.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B.C. D.解析：选B在ABC中，sin Bsin(AC)，则sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，即sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，cos Asin Csin Asin C0，sin C0，cos Asin A0，即tan A1，所以A.由得，sin C，又0C，C.6在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1 B.C. D2解析：选A在ABC中，tanBAC3，sinBAC，cosBAC，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，BC3.SABCABACsinBAC，BC边上的高为1.7(2018开封模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan Bbtan A2ctan B，且a5，ABC的面积为2，则bc的值为_解析：由正弦定理及btan Bbtan A2ctan B，得sin Bsin B2sin C，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，亦即sin(AB)2sin Ccos A，故sin C2sin Ccos A.因为sin C0，所以cos A，所以A.因为SABCbcsin A2，所以bc8.由余弦定理，知a2b2c22bccos A(bc)23bc，可得bc7.答案：78(2018福州模拟)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到0.1)参考数据： 1.414, 2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.69(2018长春质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积Sb2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD，a，则b_.解析：由面积公式Sbcsin Ab2sin A，可得c2b，即2.由a，并结合角平分线定理可得，BD，CD，在ABC中，由余弦定理得cos B，在ABD中，cos B，即，化简得b21，解得b1.答案：110(2018昆明调研)已知ABC的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解：(1)因为SABC62sinACB3，所以sinACB，ACB30或150，又ADC45，所以ACB150，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，即，解得CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).11(2018沈阳质检)在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B2ab.(1)求角C的大小；(2)若ab6，ABC的面积为2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B2sin Asin B，又sin Asin(BC)，2sin Ccos B2sin(BC)sin B，2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，2sin Bcos Csin B0，sin B0，cos C.又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28，c2.12(2018长沙模拟)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求角A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围解：(1)ABC，cos(BC)cos A3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A又sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，将代入已知等式，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC为锐角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，(0，)，c(1,4)，SABCbcsin Ac，SABC.故ABC面积的取值范围为.二、强化压轴考法拉开分1(2018成都模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2Asin2C)(ab)sin B，ABC的外接圆半径为.则ABC面积的最大值为()A. B.C. D.解析：选D由正弦定理，得2，所以sin A，sin B，sin C，将其代入2(sin2Asin2C)(ab)sin B得，a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C，所以C.于是SABCabsin C2sin A2sin Bsin3sin Asin Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)cos Ccos(AB).当AB时，SABC取得最大值，最大值为，故选D.2(2019届高三南宁二中、柳州高中联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccos A0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2 B2C3 D3解析：选A法一：由题意可得，sin B2sin Ccos A0，即sin(AC)2sin Ccos A0，得sin Acos C3sin Ccos A，即tan A3tan C.又cos A0.从而tan Btan(AC)，由基本不等式，得3tan C2 2，当且仅当tan C时等号成立，此时角B取得最大值，且tan Btan C，tan A，即bc，A120，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.法二：由已知b2ccos A0，得b2c0，整理得2b2a2c2.由余弦定理，得cos B，当且仅当ac时等号成立，此时角B取得最大值，将ac代入2b2a2c2可得bc.又bc1，所以bc1，a，故ABC的周长为2.3(2019届高三惠州调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4,6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_解析：在ABC中，由正弦定理得，即，c8cos A，由余弦定理得16b2c22bccos A，16b264cos2A16bcos2A，又b4，cos2A，c264cos2A64164B.b(4,6)，32c240，4c2.答案：(4，2)4(2018潍坊模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且，则ABC面积的最大值为_解析：因为，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.设外接圆的半径为r，则r1，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc.当且仅当bc时，等号成立，又因为a2rsin A，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.答案：5(2018陕西质检)已知ABC 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，若ab2，则c的取值范围为_解析：由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，则由(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，则C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c.因为A，所以A，所以sin，则c1,2)答案：1,2)6(2018南昌模拟)如图，平面上有四个点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且AB，P，Q为动点，满足关系APPQQB1，若APB和PQB的面积分别为S，T，则S2T2的最大值为_解析：设PB2x，则12x2，x1，T22x2(1x2)，cosPAB，sin2PAB12，S22(1x2)2，S2T2(1x2)2x2(1x2)，令1x2t，则x21t,0t，S2T2t2(1t)t2t2t，其对称轴方程为t，且，当t时，S2T2取得最大值，此时S