2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷及答案.docx

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，5，则AB= 2（4分）不等式的解集为 3（4分）已知，则= 4（4分）= 5（4分）已知球的表面积为16，则该球的体积为 6（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f1（x）的图象过点（2，4），则a的值为 7（5分）若数列an为等比数列，且a5=3，则= 8（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（ab+c）=ac，则B= 9（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 10（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4时，则的值为 11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=anan+1（nN*）若bn=（1）n，则数列bn的前n项和Tn= 12（5分）若不等式x22y2cx（yx）对任意满足xy0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）设角的始边为x轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“sin0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件14（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交15（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：；和的夹角；和的值都在集合中，则的值为（）ABC1D16（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn1（x），n=1，2，3，则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A2n个B2n2个C2n个D2（2n1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图，设长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2（1）求复数z；（2）设z、z2、zz2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求ABC的面积19（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m（1）设BOD=，试将L表示为的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义20（16分）已知函数f（x）=2x+2x（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设aR，求关于x的函数y=22x+22x2af（x）在x0，+）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）2x+m1在x（0，+）时恒成立，求实数m的取值范围21（18分）已知数列an满足：a1=1，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列bn为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列cn，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列cn2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，5，则AB=2，4【解答】解：集合A=1，2，3，4，B=2，4，5，AB=2，4故答案为：2，42（4分）不等式的解集为（1，0【解答】解：，或，解得：1x0，故答案为（1，03（4分）已知，则=【解答】解：sin=，cos（+）=sin=故答案为：4（4分）=【解答】解：=，=，故答案为：5（4分）已知球的表面积为16，则该球的体积为【解答】解：一个球的表面积是16，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=故答案为：6（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4【解答】解：y=f1（x）的图象过点（2，4），函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，2=1+loga4，即a=4故答案为：47（5分）若数列an为等比数列，且a5=3，则=18【解答】解：根据题意，=a2a8a3（a7）=a2a8+a3a7，又由数列an为等比数列，且a5=3，则有a2a8=a3a7=9，则=9+9=18；故答案为：188（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（ab+c）=ac，则B=【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（ab+c）=ac，即a2+c2b2=ac，又cosB=，B=，故答案为：9（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8=，其展开式的通项=，令82r=0，得r=4该展开式中常数项的值为故答案为：112010（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4时，则的值为【解答】解：函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，又当x2，4时，f（）=f（）=故答案为：11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=anan+1（nN*）若bn=（1）n，则数列bn的前n项和Tn=1+【解答】解：2Sn=anan+1（nN*）当n2时，2Sn1=an1an，2an=2Sn2Sn1=an（an+1an1），a1=1，an0an+1an1=2，（an+1an）+（anan1）=2，anan1=1，数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列，an=1+（n1）=n，bn=（1）n=（1）n=（1）n（+），数列bn的前n项和Tn=（1+）+（+）（+）+（1）n（+），当n为偶数时，Tn=1+，当n为奇数时，Tn=1+（+）=1，综上所述Tn=1+，故答案为：1+12（5分）若不等式x22y2cx（yx）对任意满足xy0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为24【解答】解：不等式x22y2cx（yx）对任意满足xy0的实数x、y恒成立，c=，令，=f（t），f（t）=，当t时，f（t）0，函数f（t）单调递增；当1t时，f（t）0，函数f（t）单调递减当t=2+时，f（t）取得最小值，=24实数c的最大值为24故答案为：4二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）设角的始边为x轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“sin0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【解答】解：角的始边为x轴正半轴，“的终边在第一、二象限”“sin0”，“sin0”“的终边在第一、二象限或的终边在x轴正半轴”，“的终边在第一、二象限”是“sin0”的充分非必要条件故选：A14（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：Al与l1，l2可以相交，如图：该选项错误；Bl可以和l1，l2中的一个平行，如上图，该选项错误；Cl可以和l1，l2都相交，如下图：，该选项错误；D“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；l和l1，l2都共面；l和l1，l2都平行；l1l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；该选项正确故选D15（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：；和的夹角；和的值都在集合中，则的值为（）ABC1D【解答】解：=cos=，=cos=，mN，由与的夹角（0，），知cos2=（，1），故mn=3，m，nN，0=1，m=1，n=3，=，故选：B16（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn1（x），n=1，2，3，则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A2n个B2n2个C2n个D2（2n1）个【解答】解：当x0，时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x（，1时，f1（x）=f（x）=22x=x，解得x=，f的1阶根的个数是2当x0，时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x（，时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=24x=x，解得x=； 当x（，时，f1（x）=22x，f2（x）=2+4x=x，解得x=； 当x（，1时，f1（x）=22x，f2（x）=44x=x，解得x=f的2阶根的个数是22依此类推f的n阶根的个数是2n故选C三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图，设长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，S正方体ABCD=ABBC=33=9，四棱锥A1ABCD的体积V=（2）A1BD1C，D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），B1D1=3，B1C=D1C=5，cosD1CB1=，D1CB1=arccos异面直线A1B与B1C所成角为18（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2（1）求复数z；（2）设z、z2、zz2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求ABC的面积【解答】解：（1）设z=a+bi（a，bR），由已知可得：，即，解得或z=1+i或z=1i；（2）当z=1+i时，z2=2i，zz2=1i，A（1，1），B（0，2），C（1，1），故ABC的面积S=21=1；当z=1i时，z2=2i，zz2=13i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），故ABC的面积S=21=1ABC的面积为119（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m（1）设BOD=，试将L表示为的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义【解答】解：（1）走廊的宽AC=BD=2mBOD=BAC=，；（2）（0，），L0，L为减函数；（，），L0，L为增函数；=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过20（16分）已知函数f（x）=2x+2x（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设aR，求关于x的函数y=22x+22x2af（x）在x0，+）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）2x+m1在x（0，+）时恒成立，求实数m的取值范围【解答】证明：（1）函数f（x）=2x+2x的定义域关于原点对称，且f（x）=2x+2x=2x+2x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2x则t2，22x+22x=t22y=22x+22x2af（x）=t22at2，当a2时，当t=2时，函数取最小值24a，无最大值；此时函数的值域为24a，+），a2时，当t=a时，函数取最小值a22，无最大值；此时值域为a22，+）；（3）若关于x的不等式mf（x）2x+m1在x（0，+）时恒成立即m（2x+2x）2x+m1在x（0，+）时恒成立即m=1=1在x（0，+）时恒成立当x=1时，2x=，此时（2x）22x+1取最小值，故取最大值，故1取最小值故21（18分）已知数列an满足：a1=1，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列bn为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列cn，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列cn【解答】解：（1），则=4，nN*数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n1）=4n3，数列an的通项公式；（2）由（1）可得，（4n3）Sn+1=（4n+1）Sn+16n28n3，=1，数列是等差数列，首项为S1，公差为1=b1+n1，Sn=（b1+n1）（4n3），当n2时，bn=SnSn1=（b1+n1）（4n3）（b1+n2）（4n7），化为bn=4b1+8n11，若数列bn为等差数列，则上式对于n=1时也成立，b1=4b13，解得b1=1bn=8n7为等差数列b1=1，数列bn为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n3解法1：令等比数列cn的公比q=4m（mN*），则cn=c1qn1=54m（n1），设k=m（n1），因为1+4+42+4k1=，所以54m（n1）=53（1+4+42+4k1）+1，=35（1+4+42+4k1）+21，（14分）因为5（1+4+42+4k1）+2为正整数，所以数列cn是数列an中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（mN*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列cn有无数个（16分）解法2：设