通用版2020高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性讲义文.doc

第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识批注理解深一点1函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为偶函数；(2)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为奇函数2函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(xT)f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二、常用结论汇总规律多一点1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)3函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称三、基础小题强化功底牢一点(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(二)选一选1已知f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)2x，则f等于()A.B.C. D1解析：选B由f(x2)f(x)，知函数f(x)的周期T2，则ff2.2函数f(x)2x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析：选C因为f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)(2x)2xf(x)，所以f(x)2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B.C. D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.(三)填一填4(2019武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x) 2xx2，则f(2)_.解析：法一：函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)f(2)2(2)(2)2(44)8.法二：当x0时，x0时，f(x)f(x)2xx2，f(2)22228.答案：85.设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析：由函数f(x)为奇函数，作出函数在5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)0的解集为(2,0)(2,5答案：(2,0)(2,5 典例判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)由f(x)，可知故函数f(x)的定义域为(6,0)(0,6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，故函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由1x0或0x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数解题技法判定函数奇偶性的2种常用方法(1)定义法(2)图象法口诀归纳奇函数，有中心；偶函数，轴对称 题组训练1(2018福建期末)下列函数为偶函数的是()AytanByx2e|x|Cyxcos x Dyln|x|sin x解析：选B对于选项A，易知ytan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)x2e|x|，则f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)xcos x，则f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)ln|x|sin x，则f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x为非奇非偶函数，故选B.2设函数f(x)，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数解析：选Df(x)，则f(x)f(x)f(x)是奇函数f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 典例(1)(2019福建三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)()A2xB2xC2x D2x(2)(2018贵阳摸底考试)已知函数f(x)a(aR)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)解析(1)当x0时，x0，x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.(2)法一：由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，所以aa，得2a，所以a1，所以f(x)1.因为ex11，所以01，111，所以01，110时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为_解析：法一：当x0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0时，f(x)x2x2，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0的x的取值范围是_解析：当x0时，lg x0，所以x1，当x0时，由奇函数的对称性得1x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解：当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)12设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值解：(1)证明：由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.B级创高分自选1已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9解析：选B因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，所以当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有三个根，即x54，x65，x76，故f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.2(2019洛阳统考)若函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，则实数a_.解析：法一：(定义法)函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，f(x)f(x)，即ln(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.