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,二面角,二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,一、二面角的定义,二面角,2、二面角的表示方法,二面角AB,二面角l,二面角CABD,二面角CABE,1、定义,二面角,二、二面角的平面角,1、定义,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围:0180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,注意:,(与顶点位置无关),APB=A1P1B1,2、作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线(逆)定理法,垂面法,二面角,C,D,解：,在PB上取不同于P的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连结CD，可得：,设PO=a，BPM=BPN=45,CO=a，DO=a，PCa，PDa,又MPN=60,CD=PCa,COD=90,因此，二面角的度数为90,二面角,例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。,COD是二面角的平面角,一“作”二“证”三“计算”,定义法,二面角,C,O,三垂线定理,解：,O,二面角,例3如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,垂面法,二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。,二面角AB二面角CABD二面角l,1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量,1、定义法2、三垂线（逆）定理法3、垂面法,1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角,一“作”二“证”三“计算”,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的
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